线性代数重要知识点及典型例题答案

1、线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式N阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和 n =送（-汕“富莓jl j2jn（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：行列式行列互换，其值不变。（转置行列式 d = dt） 行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 常数k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。 推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 行列式具有分行（列）可加性 将行列式某一行（列）的 k倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式 M

2、j、代数余子式 4 =（1）宀皿耳定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则：非齐次线性方程组:当系数行列式 D = 0时，有唯一解:XjDj才（1、2n)齐次线性方程组:当系数行列式D =1 = 0时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D等于零特殊行列式:a11a12a13a11a21a31a21a22a23Ta12a22a32a31a 32a 33a13a23a33转置行列式:对称行列式:aij = a ji反对称行列式：aj - -ajj奇数阶的反对称行列式值为零ai1ai2ai3三线性行列式：a21a220方法：用k£22把a21化为零，。化

3、为三角形行列式a310上（下）三角形行列式行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章矩阵矩阵的概念:Am.n （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n阶方阵、相等矩阵）矩阵的运算:加法（同型矩阵）交换、结合律数乘 kA = (kaj)m*n分配、结合律lA* B = ( aik )m*l * (bkj )|*n =(瓦 aikbkj )乘法1m*n注意什么时候有意义般AB=BA，不满足消去律；由AB=0，不能得 A=0或B=0转置（at）t 二 A(A B)tat bt(kA)T =kA(AB)T =Bt At （反序

4、定理）方幕：AklAk2 =Akl k2(Akjk2 = Ak 也几种特殊的矩阵：AB都是n阶对角阵对角矩阵:若 AB 都是 N 阶对角阵，k是数，则 kA、A+B、数量矩阵：相当于一个数（若）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方是0分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设 A是N阶方阵，若存在 N阶矩阵B的AB=BA=I则称A是可逆的,'二B（非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵乘某一行（列）3、将某行（列）的 K初等矩阵都可逆倍乘阵倍加阵）初

5、等变换 1、交换两行（列）2.、非零 k加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵等价标准形矩阵Dr二Ir OQ o矩阵的秩r（A）:满秩矩阵 降秩矩阵若A可逆，则满秩若A是非奇异矩阵，则 r （AB ） =r （ B）初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵（kaj）n = k（ajj）n，行列式 kaj ” = k" a,”逆矩阵注：AB=BA=I则A与B 一定是方阵 B

6、A=AB=I则A与B 一定互逆；不是所有的方阵都存在逆矩阵；若A可逆，则其逆矩阵是唯一的。矩阵的逆矩阵满足的 运算律：1、 可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的，且（A）"* = A-11-12、 可逆矩阵A的数乘矩阵kA也是可逆的，且（kA） Ak3、 可逆矩阵A的转置AT也是可逆的，且（AT）=（A）T4、两个可逆矩阵 A与B的乘积AB也是可逆的，且（AB）'二BA但是两个可逆矩阵 A与B的和A+B不一定可逆，即使可逆，但（A B） = A， B，A为N阶方阵，若|A|=0，则称A为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。5、若A可逆，则A=|A伴随矩阵：A为N阶方阵，伴随矩阵：£

7、 = 1A1 A12 "（代数余子式）VA21 A22 丿特殊矩阵的逆矩阵：（对1和2，前提是每个矩阵都可逆）A B'_4/ A _A BC1、分块矩阵D =1则D =2 c丿2c，丿AA2 -4a2_i2、准对角矩阵A =，则A =A3A'、A4 J<a/* I I 13、 AA = AA=AI4、A =| A A （ A 可逆）5、A （A可逆）* TT *7、（A ） =（At ）* * *8、AB B A判断矩阵是否可逆：充要条件是 A = 0，此时AA*IAI求逆矩阵的方法：定义法AA丄=1*A伴随矩阵法A二IAI初等变换法 A| In = In |A

8、J 只能是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系：设A=?aj m*n是m*n阶矩阵，则对 A的行实行一次初等变换得到的矩阵，等 于用同等的m阶初等矩阵左乘以 A:对A的列实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同种 n阶初等矩阵右乘以 A(行变左乘，列变右乘)第三章线性方程组消元法 非齐次线性方程组：增广矩阵t简化阶梯型矩阵r(AB)=r(B)=r 当r=n时，有唯一解；当 r Hn时，有无穷多解 r(AB)芒 r(B)，无解齐次线性方程组：仅有零解充要r(A)=n有非零解充要r(A)<n 当齐次线性方程组方程个数<未知量个数，一定有非零解当齐次线性方程组方程个数=未知量个数，有非零解充要 |

9、A|=0 齐次线性方程组若有零解，一定是无穷多个N维向量：由n个实数组成的n元有序数组。希腊字母表示(加法数乘)特殊的向量：行(列)向量，零向量 0,负向量，相等向量，转置向量向量间的线性关系：I线性组合或线性表示向量组间的线性相关(无)：定义R79向量组的秩：极大无关组(定义 P188)定理：如果G i ,3，.巴 是向量组G a .叫的线性无关的部分组，则它是j2Jr°极大无关组的充要条件是：牛,g2,.叫中的每一个向量都可由 口人,a J?,.线性表出。秩:极大无关组中所含的向量个数。定理：设A为m*n矩阵，则r（A）二r的充要条件是：A的列（行）秩为r。现性方程组解的结构：齐

10、次非齐次、基础解系 线性组合或线性表示 注：两个向量a 0若G =kB则a是B线性组合单位向量组任意向量都是单位向量组的线性组合 零向量是任意向量组的线性组合任意向量组中的一个都是他本身的线性组合 向量组间的线性相关（无）注：n个n维单位向量组一定是线性无关一个非零向量是线性无关，零向量是线性相关 含有零向量的向量组一定是线性相关 若两个向量成比例，则他们一定线性相关向量0可由r,2,.n线性表示的充要条件是 rC 2nT ） = r（>2丁.； nT ： T）判断是否为线性相关的方法：1、定义法：设k1k2.kn，求k1k2.kn （适合维数低的）2、向量间关系法R83 :部分相关则整

11、体相关，整体无关则部分无关3、 分量法（n个m维向量组）Rs。：线性相关（充要）二（。.丁耳丁）£ n线性无关（充要）=（汀:丿.：）二n推论当m=n时，相关，贝U （/色丁丁 =0 ;无关，则口1°2%3丁式0当m<n时，线性相关推广：若向量 冷，2,.s组线性无关，则当s为奇数时，向量组： 1叱2,2叱3,.； s叱1 也线性无关；当s为偶数时，向量组也线性相关。定理：如果向量组：一一讥，：线性相关，则向量：可由向量组 r,.线性表出，且表示法唯一的充分必要条件是：二：工,.:' 线性无关。极大无关组 注：向量组的极大无关组不是唯一的，但他们所含向量的个数

12、是确定的；不全为零的向量组的极大无关组一定存在； 无关的向量组的极大无关组是其本身； 向量组与其极大无关组是等价的。齐次线性方程组（I）解的结构：解为-1/-2.(I)的两个解的和1亠"：2仍是它的解;(I)解的任意倍数还是它的解；(I)解的线性组合c：-1 c- 2 - . - c.：is也是它的解，c1,c2,.cs是任意常数。非齐次线性方程组(II )解的结构：解为叫，2(II)的两个解的差 叫一亠2仍是它的解；若丄是非齐次线性方程组 AX=B的一个解，v是其导出组AX=O的一个解，则u+v是(II ) 的一个解。定理：如果齐次线性方程组的系数矩阵A的秩r(A)二r : n，则

13、该方程组的基础解系存在，且在每个基础解系中，恰含有n-r个解。若是非齐次线性方程组 AX=B的一个解，v是其导出组 AX=O的全部解，则u+v 是(II)的全部解。第四章向量空间向量的内积实向量定义：(a 3)丁 = aQ+a2b2+.十 anbn性质：非负性、对称性、线性性(a,k 3)=k( a 3)；.2(k a,k3)= k ( a, 3)；(a+ 3)=( a, )+( a - )+( 3, )+( 3 ')；rsrs(一 ki ： i, _ I j - j)八 ki 一 l j i, j)i 珀j =1i =1 j =1向量的长度a =0的充要条件是a=0 ； a是单位向量

14、的充要条件是(a, a) =1单位化向量的夹角正交向量：a3是正交向量的充要条件是(a, 3) =0正交的向量组必定线性无关正交矩阵：n阶矩阵AAAT 二 AT A = I1 t1性质：1、若A为正交矩阵，则A可逆，且 A=A ,且A也是正交矩阵;2、若A为正交矩阵，则 A =±1 ;3、若A、E为同阶正交矩阵，则AE也是正交矩阵；4、n阶矩阵A=（ aj ）是正交矩阵的充要条件是A的列（行）向量组是标准正交向量;第五章 矩阵的特征值和特征向量特征值、特征向量的一A是N阶方阵，若数入使AX= hX，即（入I-A ） =0有非零解，则称九为A 个特征值，此时，非零解称为A的属于特征值丸

15、的特征向量。|A|= /'i * Z'2 * .务注：1、AX= X2、求特征值、特征向量的方法入I A = 0求人 将人代入（& I-A ） X=0求出所有非零解3、对于不同的矩阵，有重根、单根、复根、实根（主要学习的）特殊：（九l）n的特征向量为任意 N阶非零向量或C2 （Ci不全为零）I0丿4、特征值:若，二 0）是 A则A41k则Amm A则kAk若A2 =A则 -o 或 1若A2 =1则- .n-1或1若Ak -0则 -0的特征值迹 tr（A ）:迹（A）=印1 +a?2 +ann性质：1、N阶方阵可逆的充要条件是A的特征值全是非零的12、A与人一有相同的特征

16、值3、N阶方阵A的不同特征值所对应的特征向量线性无关4、5、 P281相似矩阵定义P283: A、B是N阶矩阵，若存在可逆矩阵 P,满足PAP二B，则矩阵A与B 相似，记作AB性质1、自身性：AA,P=I2、 对称性：若 AB 贝y BAPAP 二 B A=PBP，(PJBP1 二 A3、 传递性：若 AB、BC 贝U ACPAR = BF2BP2 = C -1-(PPD A(RP2)=C4、若AB，则A与B同(不)可逆5、 若AB，贝U ABPAP二B两边同取逆，PAP二B"16、 若AB，则它们有相同的特征值。(特征值相同的矩阵不一定相似)7、 若AB，则r(A)=r(B)初等变

17、换不改变矩阵的秩例子：PAP =B 则 A100 二 PB100P1P AP =0 A=O1P AP 二 I A=IP APIA= I矩阵对角化定理：N阶矩阵A与N阶对角形矩阵相似的充要条件是A有N个线性无关的特征向量注：1、P与人中的人与打顺序一致2、AA,则A与P不是唯一的推论：若n阶方阵A有n个互异的特征值，则 Aa ( P281)定理：n阶方阵Aa的充要条件是对于每一个Ki重特征根'i，都有r ( 'i I - A) = n - Kj注：三角形矩阵、数量矩阵I的特征值为主对角线。约当形矩阵k 1约当块：形如J=的n阶矩阵称为n阶约当块；Z 1 jJi约当形矩阵：由若干个

18、约当块组成的对角分块矩阵J = J2IJn称为约当形矩阵。定理：任何矩阵 A都相似于一个约当形矩阵，即存在n阶可逆矩阵PJAP第六章二次型二次型与对称矩阵只含有二次项的n元多项式f（）称为一个n元二次型，简称二次型。 标准型：形如的二次型，称为标准型。规范型：形如的二次型，称为规范型。线性变换矩阵的合同：设 AB是n阶方阵，若存在一个 n阶可逆矩阵C,使得 则称 的，记作A B。合同的性质：反身性、对称性、传递性、秩、（Ji是约当块）A与B是合同化二次型为标准型：配方法、做变换（二次型中不含有平方项）第一章行列式.行列式的定义和性质1.余子式M ij和代数余子式Aij的定义-1例1行列式第二行

19、第一列元素的代数余子式A. -2C. 1-1B.D.测试点余子式和代数余子式的概念-1解析-1-11-111-11-101=0-121-1000-1-1,A21= ( -1)M 21 匚答案B2行列式按一行或一列展开的公式nn1) A = aij n =aj Aj, j 二1,2, illn;( A =妙 n =为 aj A”，i = 2n)i =1jm2)n无 aij Aiki 1例2设某3阶行列式的第二行元素分别为-123,对应的余子式分别为-3,-2,1则此行列式的值为.测试点 行列式按行(列)展开的定理解 D =(一1) A21 2A22 3A23 =(T)(T)2 1M21 2(-1

20、)2 2皿 22 3( 1 )2 3 M23-3- 4- 3- -10例3已知行列式的第一列的元素为1,4,-3,2，第二列元素的代数余子式为2,3,4, x问x二_-测试点行列式的任意一行（列）与另一行（列）元素的代数余子式的乘积之和为零解因第一列的元素为1,4, -3,2，第二列元素的代数余子式为2,3,4, x,故1 2 4 3 3） 4 2 0壱拾3. 行列式的性质1)2)用数k乘行列式的某一行（列）所得新行列式=原行列式的k倍.推论3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数.推论4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0.5）行列式可以按任一行（列）

21、拆开所得新行列式与原行列式的值相等a11a12a132a112a122a13例4已知a21a22a23=3，那么a21a22a23a31a32a332a312a322a33（列）上,6）二（行列式的某一行（列）的 k倍加到另一行A. -24B. -12C. -6D. 12测试点2a112ai22a13a11a12a13a21a22a23= 2"-2)a21a22a23_2a31_2a32_2a33a31a32a33行列式的性质解析-12.例5设行列式a1b1=1,a 1c=2,则a2b2a 2C2答案Ba1a2b1b2C1c2A.-3B.C. 1D.测试点行列式的性质a b g a2

22、 b2 C2a1biaC1=+a2b2a2C2-3故应选答案D二.行列式的计算1. 二阶行列式和三角形行列式的计算.2. 对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算3对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开4. 行列式中各行元素之和为一个常数的类型5. 范德蒙行列式的计算公式壱拾壱= A.1114例6求4阶行列式113 112 11的值.1111测试点1114113 112 111111行列式的计算1100解01-3-33-3-3十3)123233计算3阶行列式2494993676771232331002331002032494

23、99200499200409十二)(2)石)367677300677300607000-3解ax例7=0.a a例8计算行列式:=6xaaax +3aaaax +3aaaaaxaax +3axaa0x a00aaxax +3aaxa00x a0aaaxx +3aaax000x -a测试点各行元素之和为常数的行列式的计算技巧解 D =(x 3a)(x - a)3.例9计算行列式Dn -IIIIIIIIIIIIIII测试点行列式中有一行只有两个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算壱拾弐ab0III000abIII00解Dn =0+04a4IIId0i0h二aA +bAn1=aM11+b(_

24、1)nM n1 = an +(_1)nbn000IIIabIb00III0a00IH00IH例10计算行列式d6 =+bF+05IH60IH0 00120+4+1+0000III 0III 2 q+4III 0III 010+I00(1)、 (5) 1(4)10I-000 HI2 IIIp+FI0 III0 III0 00 0frrr5 00 6x2 x3 x24839274166411例 11 设 D(x)=11问（1） D（x）中，x3项的系数=?2）方程D（x） =0有几个根？试写出所有的根。测试点1.范德蒙行列式的判别和计算公式2行列式按行（列）展开的定理1解（1）x3项的系数=几4

25、=（一1）5 112 43 9 =-(3-2)(4 -2)(4 -3) = -24 16因为 D(x) =(2 -x)(3 -x)(4 -x)(3 -2)(4 -2)(4 -3) 所以方程D(x) =0有三个根：捲=2,x2 =3, x3 =4.第二章 矩阵一、矩阵的概念1. 要弄清矩阵与行列式的区别2. 两个矩阵相等的概念3. 几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）、矩阵的运算壱拾参1.矩阵A, B的加、减、乘有意义的充分必要条件例1设矩阵A =（1,2）, B二(1 2（1A. ACBC. BAC<3 4<4B.D.，则下列矩阵运算中有意义的是（ABCCAB测试

26、点：矩阵相乘有意义的充分必要条件 答案：B(120、n0O'210, B =021e0h13>例2设矩阵A二，则 A 2B =q 2 0、z2 0 0 x勺2 0 '解 A+2B =2 1 0+0 42=2 521° 0 b1° 2 6>1° 2 7测试点：矩阵运算的定义，则 AtB 二例3设矩阵A二1、测试点：矩阵运算的定义解AtB=(1,2)二 8.2矩阵运算的性质比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律；）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公

27、式与数的运算的公式的不同点(A_B)2 工A2+AB BA B2;(A B)(A - B) = A2 + BA - AB - B2;(AB)k = ABABlHAB = AkBk;( A_E)2 二 A2 _2A E如果AB =0，可能A-= O, B = O.例如A =1 I B=22 I都不为零，但AB = O.T1-2 -23. 转置 对称阵和反对称阵1）转置的性质（A _b）t =at _bt； （ a）t =?； at；（abc）t =ctbtat2）若AT =A（A -A），则称 A为对称（反对称）阵例4矩阵A, B,C为同阶方阵，则（ABC）T=（壱拾四A. atbtctb. c

28、tbtatc. ctatbtd. atct bt答案：B"11、解因为A =aT 0=2-22I<3 -3 3J测试点矩阵乘法的一个常用技巧,所以A5例 5 设:.=(1,2,3) =(1,-1,1),令 A二试求 A.1、1、1-1们_1-111=(0(丁)5(/目=(1, _1,1)252(1,-1,1) =25 2-22=32 2-226'3-33 一1 ?-33_TT I上丄 T |上丄 T IT ： = : T (I上 J )(I上 J)(I上丄 T )(I上 J) !：:,_111答案 32 2-226-33_1例6 A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵

29、的是（）A. A+ATB. A-Atc. aatD. AtA解析(A + AT)T = At+(at)t =at + a = a+at.故 a+at 为对称阵(A -at)t 二 At - A =-(A-At).故 A_A 为反对称阵.(AAT)T = aat.故 aat为对称阵同理ata也为对称阵答案Bj 们例7已知矩阵A=E为2阶单位矩阵，令B = A23A + 2E求B23 一'测试点方阵多项式的概念；2 _1 -11 -1 _1 -1 _1 01B = A2 -3A+2E= | Ii3 |+2 I'2 3 '2 3'2 3'0 1TY I 3-3

30、 I20 |-2-1 It7 一 69o2204. 方阵的行列式的性质at =|a|；卩a =打 a； AB = a|b壱拾伍A1|A；例7设A为n阶方阵,为实数，则A =A. AB.D.n扎I-I IA解析atbAT Bi 11A|百十2)：2(-3)3答案5.逆矩阵1）方阵A可逆（也称非异,A满秩）的充分必要条件是A =0.当A可逆时,答案：Cfl2)2)例8矩阵A =,B =，则行列式atb24丿<45丿A其中方阵A的伴随阵A的定义A '二AA2A>1A22IIIIIIAn1 IAn2A2nIIIAnn- b特别当ad-bc=0时，:c djdadbe |Lc-b重要

31、公式AA 二 A A 二 A E ； A2）重要结论：若 n阶方阵A, B满足AB二E，则A, B都可逆,3）逆矩阵的性质:1 1 1 1 1 1 11(A )二 A;当 J 0 时，(A) A ;(AB) = B A ；(at)4=（a'）t； A_ 1=A.（若不知A可逆,4）消去律：设方阵 A可逆，且 AB二AC（ BA二CA），则必有仅知A = 0结论不一定成立。）6.分快矩阵矩阵运算时，分快的原则：保证运算能顺利进行（包括分块矩阵和子块的运算）如壱拾六A 二 A11A2A3ILA21A22A23BJ,B = B2,ABf11B1 ' A12B2A13B3 IA21 B

32、1A22 B2A23 B3 |分快矩阵的运算规则；特别是分快矩阵的转置AI2A22IHIIIAk TAT1A；A2kA21A：IIIIIIAmi I 心Am2IHAkIIIA,A2,|(, A都是可逆阵，则AO川of -k o川o 1O+A2+川O+44=o+A2R川oFF+2+O44川AkJ1+oofrIII心准对角阵的逆矩阵:如果，则 A =(9二阶矩阵)A-db 'B.-dc1-ca丿<b-a丿z-db、1D.rd-c'1lc a.丿-ba丿d丿2A.C.伴随矩阵的定义,二阶方阵的伴随阵测试点答案：A'1例10三阶阵A = 20 02 0，则 AA =3 3

33、 ?测试点重要公式AA = a*a = a e.6 0 0答案6E = 0 6 0 0 0 6 一*2 0 0、例 11 A = 3 63，则 A<5 3 2 丿解= A =6 =36例12设A为2阶可逆矩阵，且已知(2A)4 = 12，则A =(3 4壱拾七A 213B.23C 21一3D.23测试点逆矩阵的性质解 由 (2A)J214A 二1 12 |324答案 D例13设A =10,求 A"*.-3一5丿测试点求逆矩阵的方法广101100 ' +(- 2)(1)101100"Iae 】=210010(3)+3(1)、01-2-210C32-500b<

34、;02-230b_101100舟10110001-2-210_、01-2-210'0027-21-0017-11-22 一-（2） 、所以A4IL2注意定要验算例14已知 A2 -2A -8E =0,则(A E)4测试点关于逆矩阵的重要推论B,B若A,B都是n阶矩阵，且满足 AB =En,则A,B都可逆，且A"1解 由 A2 2A8E =0 得 A2 A3A 3E 5E =0，即(A E)(A3E) =5E，壱拾八测（A3E）斗i 1即（A E）E，故（A E）（A -3E）.5 51答案（A E） （A-3E）.5例15设A是n阶方阵，且（A - E）2 =0，证明A可逆.

35、测试点 若AB = E则A,B都可逆，且AJ -B,B-A.证 因为（A E）2 =0 ,即 A2 2A 0,所以 _A（A 2E）二 E故 A可逆，且 AA -（A - 2E）.例16设n阶方阵A满足A” =0，其中m为正整数，证明E - A可逆，且（E - A）二 E A A2|l（ AmJ分析只要检查（E - A）（E A A| Am）二E即可证 因为 （E _A）（E A A| AmJ）=E _ A A_ A2 A2 _ 川 _ Am二 E _ Am 二 E.故 （E _ A）=E A A2|l（ AmJ1三、矩阵的初等变换和初等矩阵1 初等变换的定义和性质称矩阵的下列三种变换为初等行

36、变换：(1) 两行互换；(2) 某一行乘一个非零的数；(3) 某一行的k倍加到另一行上。类似地可定义初等列变换，初等行变换，初等列变换统称为初等变换方阵经初等变换后的行列式是否变化？(分别就三种初等变换说明行列式变化的情况)初等变换不改变方阵的可逆性；初等变换不改变矩阵的秩；行初等变换必能将矩阵化为行最简形，初等变换必能将矩阵A化为标准形 Er 0 ，其中r为矩阵A的秩.HO 0如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B,则称矩阵A与B等价.等价矩阵有相等的秩，从而有相等的等价标准形.2. 初等矩阵的定义和性质1) 初等矩阵的定义；初等阵都可逆，且其逆也是同类型的初等阵.2) 初等变换和矩阵乘法之间

37、的关系3) 对任意m><n阶矩阵A，总存在一系列 m阶初等阵R,pJH,pk和一系列n阶初等阵Q1,Q2II,Qi,使得壱拾九RP2 山PkAQQilQm阶初等阵R,P2,|H,Pk和一系列n阶初等阵4）矩阵m n阶A与B等价的充分必要条件是存在一系列Q1，Q2 , I 11 , Ql,使得 pP2 | I ( p AQ1 Q2 | I ( Q| = B.例17下列矩阵中，是初等矩阵的为（A. ?0 0 一1 0 0C.0101 0 1测试点初等矩阵的定义和性质)01-1B.-101001010D.00 310 01 0 0解析C. 010是由单位矩阵经第三行加第一行得到的，故是初

38、等矩阵。1 0 1 一an例18设三阶矩阵A= a21a12a13a22a23,若存在初等矩阵P,使得答案C100A.010B.-201一_10 -2l- 1 0 00 1 0C.-2 1 00 0 1 一0 0 1D.1-20010001一a32a33-a11 -2鬼1a12 - 2a32a13 一 2a33PA =a21a22a23,则P =a31a32a33测试点矩阵的初等变换和用初等矩阵乘的关系 答案B四、矩阵的k阶子式和矩阵秩的概念，求矩阵秩的方法1矩阵的k阶子式的概念2矩阵秩的概念 定义O矩阵的秩为0，对于非零矩阵 A，如果有一个r阶子式不等于0,而所有的r 1阶子式（如果有的话）

39、都等于 0,则称矩阵A的秩为r .显然n阶可逆矩阵的秩等于 n，故可逆阵又称是满秩的.阶 梯形矩阵的秩等于其非零行的个数.3. 等价矩阵有相等的秩（初等变换不改变矩阵的秩）；从而矩阵A左乘（右乘）可逆阵其秩不变 .反之两个弐拾同形矩阵只要秩相等，则二者必等价4.求矩阵秩的方法q 0-10例19设矩阵A =0-234，贝U A中( ),0 005JA.所有2阶子式都不为零B.所有2阶子式都为零C.所有3阶子式都不为零D.存在一个3阶子式不为零测试点矩阵的k阶子式的概念答案D广10例20设矩阵A = 021° 01、°，矩阵B = A E，则矩阵B的秩r（B） b测试点矩阵秩的

40、概念0 0 1解B=A-E=0100 0 0答案r(B)=2广12例21设矩阵A = 482 6-13-4 12 ，问a为何值时,3 a j(1) 秩(A) =1 ；(2) 秩(A) = 2.测试点求矩阵秩的方法q 2A= 48<3 6-4-312(2) (_1-13 _11 2 -10 0T0 0 00 a9_0 0 03 1a 90所以当 a = 9时，秩（A） = 1 ；当 a9时，秩（A）=2例22设A为mK n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，则矩阵B二AC的秩为测试点 用可逆矩阵左（右）乘任意矩阵 A,则A的秩不变. 答案 r例23设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵

41、为（）G 1 1 "*111"A.0 0 0B.0 1 10 0<00 0弐拾壱1 1 1勺11、C.2 2 2D.2 2 2<0 0 °<3 3 3>答案 B测试点 矩阵等价的概念；等价矩阵有相等的秩；反之同形的两个矩阵只要其秩相等，必等价 解 因为A,C,D的矩阵的秩都为1，B的矩阵的秩等于2.故答案应为B.五、矩阵方程的标准形及解的公式AX =B二 X =AB;XA 二 B 二 X二 BA；A-|XA2 = B =X 二 “BA.2 1、"3、A =,B =5 3'g °，求矩阵方程XA二B的解X .例24

42、设矩阵测试点 解矩阵方程的方法解 X二BA13 13I2 0 丽 1-5-1-1252fJ6 -2验算!例25设代B均为3阶矩阵，E为3阶单位矩阵12,且满足：AB + E = A + B .若已知A= 0T0 -120 ,求矩阵0 1B.测试点解矩阵方程的方法解因为 AB E 二 A2 B，故 AB - B 二 A2-E2从而(A_E)B=A _E=(A_E)(A E)，又_1 0 -1 '1 0 00 0 -110 2 00 1 0=0 1 0'-10 1 一0 0 1一-1 0 0,显然A-E可逆，应用消去律得A _E =-110_201验算 AB + E = 0.一1-

43、111十01弐拾弐_303100一40-3060+010=07003 一001 一t-304 一-202_20 -11_40-32A +B =040+030=070-202 一1 i-102 一L-304所以确有 AB E =A2 B例 26已知Af 3J0-一1-1DOX1-IIIJ阵O矩B X D 求 X。测试点求矩阵方程的解由 AX BX 二 D -C 得(A B)X1X =(A B) (D -C)其中A1 2_-1 13-2IA B D C I- _1 2 1 -1 1-2-11-2-3-21 11_0-5112-2115-2-1 -31所以 X1_1-31-2验算弐拾参第三章 向量空

44、间一、n维向量线性运算的定义和性质；例 1.已知-5 22】3 二:其中，：1 二（3,4, -1）, ： 2 二（1,0,3）, ： = （0,2, -5）,贝H a 3 =.测试点n维向量线性运算的定义和性质解因为-5 2 23二-,所以-103 j 111必=-（BT -a； +5t；）=- 2-4 +50=|-122-5厂1故 3二仆，,1”请验算）11答案：3 =（1,-1,2）.（0,1,1）则B由0（1/23线性表出的表示式为测试点 向量由向量组线性表示;组合系数的求法解 考虑为务*2。2 +x3a3 =0该线性方程组的增广矩阵_1 1 1 01A =瓦 a2 a3B= 1 1

45、0 1 1 0 0 1 一_1 1 1 0 1_1 1 0 1 1-*011-1；0 10 0-0 0 1-1 一】° 0 1 T一例 2 设向量.3 =（1,1,1；,二2 二（1,1,0；匸3 二（1,0,所以 _ _-二3 答案' =宀-3 （验算!） 二、n维向量组的线性相关性1110T 0011 T0-1-11 一1001*0100'0 01-1 一1向量组的线性相关性的定义和充分必要条件:弐拾四1) 定义：设宀，2,|l(,m是一组n维向量.如果存在m个不全为零的数 m|l(,'m，使得* 丨1(mm =0,则称向量组>1,2,| 1(, ：

46、'm线性相关，否则，即如果1 * '22 丨1mm = 0，必有1 =，2 = |1( =，m = 0，则称向量组-：”,-：込,| I ( , -m线性无关.2) m个n维向量冷，： 2,丨I (,m(m _ 2)线性相关的充分必要条件是至少存在某个二是其余向量的线性组合即:'1,2, 111,m(m 2)线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合例3设向量组 冷，2,|l(,s线性相关，则必可推出()A.鳥1 , .±2 , I I (,鸟中至少有一个向量为零向量B->1,2,川，-s中至少有两个向量成比例C 1,2,川，：s中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合D 1,2,丨1|, ： s中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合 测试点向量组线性相关的概念 答案C例4向量组 冷，2l