决战2020年中考数学压轴题综合提升训练《三角形》(含解析)

1、?三角形?1 .,ABC等边三角形,过点C作CD/AB且CD=AR连接BD交AC于点O(1)如图1,求证：AC垂直平分BD(2)如图2,点M在BC的延长线上,点N在线段CO±,且ND=NM连接BN求证：NBNM(1)证实：ABC等边三角形,. ./ABC=/ACB=ZCAB=60°,.CD/AR且CD=AB. CD=CA=BC/ACD=ZACB=60°,. B0=DOCOLBD. AC垂直平分BD(2)由(1)知AC垂直平分BD,.NB=ND.ND=NM.NB=NM2 .等腰RtABC点D为斜边AB上的中点,点E在线段BD上,连结CDCE彳AHLCE垂足为H,交C

2、N点GAH的延长线交BC于点F.(2)假设点H恰好为CE的中点,求证：*ZCGRZCFG证实：(1)在等腰RtABO43, 点D为斜边AB上的中点,.CD=-ABCDLAB AD=一AB -AD=CD.CDLAB .ZADG=/CDE=90,.AHLCE /CGH/GCH90, /AGD/GAD=90,又./AGD=/CGH/GAD=/GCH在AADGF口CD计./ADG=ZCDE=90,AD=CD/GAD=/GCH.AD年CDE(ASA,(2) AHLCE点H为CE的中点,.AC=AE,/CAH=/EAH/CAHZAFC=90,ZEAH-ZAGD=90,/AGa/CGH.ZAFG=/CGH即

3、/CGF=/CFG3.如图,在ABO43,ADLBCMBD=DEEF垂直平分AC交AC于点F,交BC于点E.(1)假设/BAE=32,求/C的度数；(2)假设AC=6cmDC=5c3求ABC勺周长.BDE解：(1).ADLBCBD=DEEF垂直平分AC.AB=AE=EC.C=/CAEBAE=32(180°-32°)=74°AED=37;(2)由(1)知：AE=EC=AB,.BD=DE.ABhBD=EGDE=DC.ABCW周长=ABbBCAC=ABfBD-D&AC=2DGAC=2X5+6=16(cm).4.如图,在ABC,/BAC/ABC勺平分线相交于点Q过

4、点O作EF/AB交BC于F,交AC于E,过点O作ODLBC于D.(1)求证：/AOB=90°+：/C;(2)求证：ABBF=EF;ab(直(3)假设OD=a,CEhCF=2b,请用含a,b的代数式表示CEF的面积,8cef=接写出结果).证实：(1)OA0叶分/BACm/ABC/AOB=180-ZOAB-/OBA=1800-yZCOB-yZABC180&=(/COB+NABC)=180*-(180°-ZO=(2) EF/AB/OAB=/AOE/ABO/BOF又/OAB=/EAO/OBA=/OBF/AO号/EAO/BOF=/OBF.AE=OEBF=OF.EF=OmOF

5、=ARBF;(3) .点O在/ACB勺平分线上,点O到AC的距离等于OD.Sace=(CEfCF)?OD=?2b?a=ab,故答案为：ab.5.如图,在ABC3,AB=ACAD为BC边上的中线,DELAB于点E.(1)求证：BDAD=D日AC(2)假设AB=13,BC=10,求线段DE的长.(3)在(2)的条件下,求cos/BDE勺值.证实：(1)AB=ACBD=CD.ADLBC/B=/C,DEIAB.ZDEB=/ADCBDPCADDEAD'BA?A>D曰CA(2) AB=ACBD-CD.AD£BC在RtADB中,A>g2gp2=-13252=12,?AD?BD-

6、一?AB?DE22DE=6013(3) ./ADB=ZAED=90,/BDE=/BADAnio.cos/BD蜃cos/BAd偌喏.Ab136.如图,在ABO,AB=AC以AB为直径作半圆Q交BC于点D,交AC于点E.(1)求证：B>CD(2)假设弧DE=50°,求/C的度数.(3)过点D作DUAB于点F,假设BC=8,AF3BF,求弧BD的长.(1)证实：如图,连接ADAB是圆O的直径,ADLBD又AB=AG.BD=CD(2)解：二.弧DE50°,./EOD=50°./DAE=*DOE=25°.由(1)知,ADLBD那么/ADB=90°,

7、ABD=90°-25=65.AB=AC.C=/ABD=65°.(3)BC=8,BD=CDBD=4.设半径OD=x.那么AB=2x.1AB=4x,g3由AF=3BF可得AF=AB=-x,BF=ADLBDDF!AB,bD=BF?AB即42=yx?2x.解得x=4.OB=OD=BD=4,.OBD1等边三角形,弧BD的长是:亘D60兀然44兀1807 .阅读下面材料:数学课上,老师给出了如下问题:如图,AD为ABC线,点E在AC上,BE交ADT点F,AE=EF.求证：AC=BF.经过讨论,同学们得到以下两种思路:思路一如图,添加辅助线后依据SASI证彳#ADC4GDB再利用AE=E

8、F可以进证得/G=/FAE=/AFE=/BFG从而证实结论.G图思路二如图,添加辅助线后并利用AE=EF可证得/G=/BFG=/AFE=/FAE再依据AAS可以进一步证得AD室4GDB从而证实结论.完成下面问题：(1)思路-的辅助线的作法是：延长AD至点G使DG=AD连接BG;思路二的辅助线的作法是：作BG=BF交AD的延长线于点G.(2)请你给出一种不同于以上两种思路的证实方法(要求：只写出辅助线的作法,并画出相应的图形,不需要写出证实过程)解：(1)延长AD至点G,使DG=AD连接BG如图,理由如下：.AD为ABC中线,.BD=CD在AADCF口AGDE,?/ADO/GZB,ebd .AD

9、CGDB(SAS,.AC=BG.AE=EF,/CAD=/EFA./BFG=/G,/G=/CAD/G=/BFG.BOBF,.AC=BF.故答案为：延长AD至点G,使DG=AD连接BG作BG=BF交AD的延长线于点G,如图.理由如下：.BG=BF,/G=/“BFG .AE=EF,/EAF=/EFA./EFA=/BFG./G=/EAFNcaw/g在AD修口AGDE,i/ADC=/GDB,.AD笫AGDB(AAS,.AC=BG.AG=BF;故答案为：作BG=BF交AD的延长线于点G(2)作BG/AC交AD的延长线于G如图所示:那么/G=/CAD.AD为ABC43线,.BD=CD2cAD/在MDCF口G

10、DEJ,1ZADC=ZGDB,1cl>BD.AD小GDB(AAS,.AC=BG.AE=EF, /CAD=/EFA/BFG=/G,/G=/CAD./G=/BFG.BG=BF,.AC=BF.8 .如图1,直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点,00¥分/AO皎AB于点C,点D为线段AB上一点,过点D作D日0C交y轴于点E,A0=3B0=n,且mn满足n28n+16+|n2m=0.(1)求A、B两点的坐标；(2)假设点D为AB中点,求0E的长；(3)如图2,假设点P(x,-2x+4)为直线AB在x轴下方的一点,点E是y轴的正半轴上一动点,以E为直角顶点作等腰直角PEF使点F在第一象限

11、,且F点的横、纵坐标始终相等,求点P的坐标.解：(1)/n2-8n+16+|n-2n|=0, .(n-4)2+|n-2n=0, 1(n-4)2>0,|n-2nn>0, .(n-4)2=0,|n-2n=0,1. m=2,n=4, 点A为(2,0),点B为(0,4);(2)延长DE交x轴于点F,延长FD到点G使得DG=DF,连接BG设OE=x,.O什分/AOB /BO匿/AO匿45,.DE/OC /EFO/FEO=/BEG=/BOG=/AOG=45°,.OE=OF=x,在ADFWBDGhrAD=ED/ADF二NBDG,晔DG .ADgBDG(SAS, .BG=AF=2+x,/

12、G=/AFE=45°,.G=/BEG=45°,.BG=BE=4-x, -4-x=2+x,解得：x=1,.OE=1;(3)如图2,分别过点F、P作FMLy轴于点MPN±y轴于点N,设点E为(0,所,一点P的坐标为(x,-2x+4), .PN=x,EN=n+2x-4, ./PEF=90°, /PEN/FEIM=90°,.FMLy轴, ./MFEZFEIM=90°, ./PEN=/MFE在EFMKPEN43,'/MFE:/PET；叱EPEF阵PEN(AAS,.ME=NP=x,F阵EN=n+2x-4,点F为(n+2x-4,n+x),

13、F点的横坐标与纵坐标相等,n+2x-4=n+x,解得：x=4,点P为(4,-4).9.在等边ABC43,线段AM为BC边上的中线.动点D在直线AM上时,以CD为一边在CD的下方作等边CDE连结BE1假设点D在线段AMh时如图1,那么AD=BE填或“=",ZCAM=30g;2设直线BE与直线AM勺交点为O当动点D在线段AM的延长线上时如图2,试判断AD与BE的数量关系,并说明理由；当动点D在直线AM上时,试判断/AO配否为定值？假设是,请直接写出/AOB勺度数；假设不是,请说明理由.解：(1)ABCWDECT是等边三角形.AC=BCCD=CE/ACB=/DCE=60°/ACD

14、/DCB=/DCBZBCE./ACD=/BCE在ADG口BEC43产BCZACD=ZBCE,lcD=CE.AC挈BCE(SAS, AD=BE.ABB等边三角形, ./BAG=60°. 线段AM为BC边上的中线 ZCA的士/BAC2 ./CAM=30°.故答案为：=,30;(2)AD=BE理由如下：ABCCDE1B是等边三角形.AB=BCDC=EC/ACB=/DCE=60°,./ACD=/AC3/DCB/BCE=/DCE/DCB./ACD=/BCE.AC挈BCE(SAS.AD=BE/AO提定值,/AOB=60°,理由如下：当点D在线段AM上时,如图1,由知

15、ACBBCE那么/CBE=/CAD=30°,图1又/ABC=60°,.ZCBEZABC=60°+30=90,.ABB等边三角形,线段AMBC边上的中线,AM¥分/BAC即N网二/BAGTQ.,/BOA=90°-30=60°当点D在线段AM勺延长线上时,如图2,ABCWDEO是等边三角形AC=BCCD=CE/ACB=ZDCE=60°/ACBZ；DCB=/DCBZDCE ./ACD=/BCE在ACDF口BC计|AC=ECZAOZBCE,lcD=CE .ACDBCE(SAS ./CBE=/CAD=30,同理可得：/BAIW30&#

16、176;,/BOA=90°-30°=60°.10.数学课上,王老师出示了如下框中的题目.小明与同桌小聪讨论后,进行了如下解答： 1)特殊情况？探索结论：在等边三角形ABC中,当点E为AB的中点时,点D在CB点延长线上,且ED=EG如图1,确定线段AE与DB的大小关系.请你直接写出结论AE=DB; 2)特例启发,解做题目王老师给出的题目中,AE与DB的大小关系是：AE=DB.理由如下：如图2,过点E作EF/BC交AC于点F,(请你完成以下解答过程) 3)拓展结论,设计新题在ABC3,AB=BC=AC=1;点E在AB的延长线上,AE=2;点D在CB的延长线上,ED=E

17、C如图3,请直接写CD的长1或3.A解：1如图1,过点E作EF/BC交AC于点F,/AFE=ZACB=ZABC=60°,AEF为等边三角形, ./EFC=/EBD=120,EF=AE.ED=EC ./EDB=/ECB/ECB=/FEC ./EDB=/FEC在BD丽FEC43,'Need:/efcZED&=ZFEC,ED=ECBD降FEC(AAS,.BD=EF,.AE=BD故答案为：=;2解答过程如下：如图2,过点E作EF/BC交AC于点F,图2 ABC等边三角形, /AFE/ACB=ZABC=60.,AEF为等边三角形,ZEFG=/EBD=120,EF=AE ED=E

18、C ./EDB=/ECB/ECB=/FEC ./EDB=/FEC在BD丽FEC43fZEED=ZEFC/EDB=/FEC,Ied=ecBD摩FEC(AAS,BD=EF, .AE=BD故答案为：AE=DB(3)解：分为四种情况：.B是AE的中点,.ABB等边三角形, .AB=AC=BC=1,AACE是直角三角形根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 ./ACE=90°,/AEC=30°,.ZD=/ECB=ZBEG=30°,/DBE=/ABG=60°,：.LDEB=180°-30°-60°=90°,即DE盟直角三角形.

19、BD=2BE=230°所对的直角边等于斜边的一半:即CD=1+2=3.如图4,过A作AN!BCTN,过E作EMLCDTM等边三角形ABCEC=ED.BN=CN=4bC=,CM=M氏-CDAN/EMBANTBEM,旭郎AEMN'.ABC&长是1,AE=2,上1J2,.MN=1,.CM=MN-CN=1-二=子.CD=2CM=1;如图5,E左k图5/ECD>/EBC(/EBG=120°),而/ECD5能大于120°,否那么EDCT符合三角形内角和定理,此时不存在EC=ED如图6,./EDR/ABC/ECB>/ACB又./ABC=/ACB=60

20、,./ECD>/EDC即此时EAEC,此时情况不存在,答：CD勺长是3或1.故答案为：1或3.11.定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍,那么称这样的三角形为“倍角三角形.(1)如图1,ABC43,AB=AC/A=36°,求证：ABC是倍角三角形；(2)假设AABC倍角三角形,/A>/B>/C,ZB=30°,AC=W2,求ABC0积；(3)如图2,ABC勺外角平分线AD与CB的延长线相交于点D,延长CAiU点E,使得AE=AB假设ABfAC=BD请你找出图中的倍角三角形,并进行证实.(1)证实：AB=AC./B=/C,/A+/B+/C=180

21、°,ZA=36./B=/C=72°,/A=2/C,即ABB倍角三角形,(2)解：.一/A>/B>/C,ZB=30°,当/B=2/C得/C=15°,过C作CHL直线AB,垂足为H,可得/CAH=45°,4.AH=CH=_AC=.BH=473,.AB=BH-AH=4/3-4,.S=-4：.当/A=2/8或/八=2/.时,与/A>/B>/C矛盾,故不存在.综上所述,ABO积为取巧一丸(3).ADW/BAE/BAO/EAD.AB=AEAD=AD.AB挈AED(SAS,.ZADE=/ADBBD=DE又AB-AC=BD.AEfAG=

22、BD即CE=BD.CE=DE.C=/BDE=2/ADC.ADO倍角三角形.12.如图,在平面直角坐标系中,OA=OBAC=CD两点A(4,0),C(0,7),点D在第一象PM内,/DCA=90.,点B在线段OC上,AB的延长线与DC的延长线交于点MAC与B改于点N.(1)点B的坐标为：(0,4);(2)求点D的坐标；(3)求证：C限CN解：(1)A(4,0),.OA=OB=4,B(0,4),故答案为：(0,4).(2).C(0,7),.OC=7,过点D作DELy轴,垂足为E,./DEG=/AO匿90,./DCA=90°,/ECD/BCAEECD/EDC=90°/BCA=/E

23、DCDE白COA(AAS,DE=OC=7,EC=OA=4,.OE=O(+EC=11, D(7,11);(3)证实：BE=OE-OB=11-4=7BE=DE .DB既等腰直角三角形, ./DBE=45°, .OA=OB ./OBA=45°,DBA=90°, ZBAN/ANB=90, /DCA=90°, ./CDNZDN690,./DNC=/ANB/CDN=/BAN ./DCA=90°, /ACM/DCN=90,DC即ACM(ASA,.CM=CN13.如图,在ABCp,BDLAC垂足为C,且/Av/C,点E是一动点,其在BC上移动,连接DE并过点E

24、作EFLDE点F在AB的延长线上,连接DF交BC于点G(1)请同学们根据以上提示,在上图根底上补全示意图.,求/C的度数.(2)当ABD1<FDEi:等,且AD=FE,ZA=30°,/AFD=40(2) DELERBD±AC ./DEF=/ADB=90°.ABDWDEFi:等, .AB=DF,又AD=FE,/ABD=/FDE.BD=DE在RtABD中,/ABD=90°-ZA=60° ./FDE=60°. ./ABD=/BDF+ZAFD ./AFD=40°, ./BDF=20°.,/BDE=ZBDF+ZFDE=

25、20°+60=80./DBE=/BED=180°/BDE=50°在RtBDC中,ZC=90°-ZDBE=90°-50°=4014.如图.CP是等边ABC勺外角/ACE勺平分线,点D在边BC上,以D为顶点,DA为条边作/AD已60°,另一边交射线.河F.(1)求证.AD=FD;联结AF,当ADF的面积为,求BD的长.证实：(1)如图1,连接AF,图1.一/ACB=60,(2)假设AB=2,BD=x,DF=y,求y关于x的函数解析式;(3)ZACE=120,.CP平分/ACE./ACP=/PCE=60, ./ADF=/ACP=60, A、DCF四点共圆, ./AFD=/ACB=60°, ./ADF=/AFD=60°, .ZDAF=60°,ADF等边三角形,.AD=FR(2)如图2,过点A作AHLBC.ABB等边三角形,AHLBC,AB=2,BH=1,AH=三BH=二.HD=BD-BH=x-1,DF=掠"五年h)%,y=V/g+4(3).ADF是等边三角形,且ADF的面积为2=x2x+415