线性代数习题答案第一章.doc

1、第一章习题A1. 1设有三阶行列式D,其中第3列元素依次为1,3,-2,它们对应的余子式依次为3,-2,1,求D解:由 £>” = axjAxj + a2jAj +. + a njAnj(j = 1,2,.,n)有:a】+ kb、b + q qa2 + kb 2 b2 + C2 C2a3 + kb 3 b3 + c3 c3kb、 b、+ q cx+ kb2 b2 + C2 C2kb3 Z?3 + C3 C3D = a* 人口 + a% A% =1x3 一 3 x ( 2) + ( 2) x 1 = 7ax + kb、b、+ qax b、C2.证a! + kb 2 b2 + C2

2、 C2=“ 2 2明a3 + kb 3 b3 + C3 C3a3 $ C3% b + C q二 ” 2 +C2 C2Q3 $ + C3C3abq=“2Sc?a3b3C3% b qax q qkb、 b q“ 22+5 C?kb2 b2 C2a3 b3 C3a3 C3 C3kb3 b3 C3+肋2cb3C3kb、333.利用性质计算下列二阶行列式20 112 + %31-4 -1(2)1%2 + a?3 +-13o色+2 +他3專8Q3Q3abacax-l-1 0eadcdd;-1% -1bfcder(40-1 x-lef332 0解:1-4-1 8-l=2x_4-11 + lx -1;=2x(

3、 4) + 1x4 = 43=abcdef x (-2) x1 + Q 2 + %31 2 + %3 +Q 2 + Q 3 + Q+ %1 + A2 2 + Q? 3 + A2=Q+ A2 3 + A2+6Z22 + 色 3 +1 + 他 2 +他 3 + 他1 2 + 他 3 +A22 +3 +1 2 3 + %1 2 3 + 勺1 2 3 + 色+1 ax 3 + %1 a2 3 + 色1他3 +他+ax 2 3 + %a】 ax 3 + %a2 2 3 + 色A3A2 aa2 3 1+AA2a3 2 3 + 他AA3 AA3 3 21 Q 3 + Q1 a2 3 + a 21 a3 3

4、+ 他ax 2 3 + %a2 2 3 + 勺色2 3 +他八八31 % 31 a】 axa】2 3ax 2 ax1 tZ2 3+1 AA2a2 2 3AA21他31"A?a3 2 36X3 2AA3CI3=0-ab ac ae-a a-a abd -cd debeed d d-beed d dbfcf -eff f -ff f -f11020-11=abcdef0-221-11-abcde !f11=4abcdef1 1=(x- l)(x 2- x-1) - (x-1) = (x- l)(x 2 _ x- 2)=(x-2)(x2-1)x-1 -1014.0 -1x-1计算下列四阶行

5、列式x-1 =(X 1), 1-10x-114.-1 -1-1 0-1201102-99980-1-120-1-1211-102 =1-102=1X(-2-1001-121尸1110031-2 1 1解：42-1131 -1-1-2-40 -24-104-10-2=4-1021112111421-632020102-991854-19701215430263254-=00200a0?010a?00D,=00?a05.计算下列”10?0a-200x阶行列式(1)2=1x(1)5a0 ?01a0?00a ?0001?00解:D”n-a00 ?a000?1010 ?0a10?0aa a-197=-1

6、8001 .000 .0 1=a" J (a0 .10+ 1x(-l)"+i1 000 .0a0 .1 0=?H'2(?2 +(-|),+1 xlx(-l) H) = aH-2(a2 -1)Xa ? a1a.aD”ax? a=(x+( n-l)tz)1X ?.aaa ? X1a .?Xa=(x+(n_l)a)0 x-ax-a=(x+ (n- l)a)(x- a)"6.判定齐次线性方程组£+3X2+2*3 = 0,< 2% -X2 + 3X3 = 0,3.t + 2X2 - X3 = 07.设齐次线性方程组有无非零解.解：齐次线性方程组的系数

7、行列式为：1 3 21 3 21 3 2A2 -13=0 -7 -=0 -7 -=42工=1103 2 10 -7 10 0 6而齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式不等于零.则该齐次线性方程组没有非零解.3X + kx2 -X3 = 0,4X2 + X3 = 0,kxx -5X2 -x, = 0有非零解，求常数匚解:有非零解的充要条件是|3-1D= 04It 一=3x+ kx(-l)4-5-1_1 = (k+3)(k+l) = 0-1故点=1或点=一 3时，有非零解.1.填空题：习题B?11。设21。31ai2-213°322=2,则再色12021_2务2-2色2-2A22

8、-2勺32色3-2A232d2a2 2a色12 他 22A33-2A21-2A22-2A23a3°23解=(-2)3(2)三阶行列1 + A21 +6Z11 +a,1(3).四阶行列AA11CI3 AA12AA13AA32AA33AA1 21。22。23=(-8)(-1)21222AA31AA33=8x216=(1 + aja? a?1 +1 I +Q36(3(1 + % )(色 + a 卫§ + 他)+(A3 6Z2)+1X(厅% 2他+ %色+色。3 +他3a2-a0-a00-aa12341234334解：a0003a3a4=a-100_Qa00_aa0C i0-110

9、0_Q00_aa=a3(3x 10 + (-1)(-3 4 )=10?-1 1)3-1 1 3其中元素CZ(7的代数余T式为Ag1(4阶彳丁列式DuAij + a2iA2j + + aniAnj =解:由 +a i2aj2 + . + a inAjn = D8 tj = <+ ? + a,A.j= 0(1 工 j),D(i = j)35 22.设D= 110,州为D中闯的代数余子式，-1 31(1) An + A 12(2) An + A 12 + A 13(3) 3A n +5A 12 + 2A 13l+l 1 0 1+9 1 0?:(1) A11+A12=(-l) 1+13 +( 1

10、 严 _=1 1 :=01+l101+910中11 A,1+A 0+A, = (-l)31+l3 1+ (-l) 1+2+( l)z =l-l + 4 = 4-11-13i+i 1 0 1+0 10 i+, 1 1 3Ah+5A12+2A13=3x(-1) 1+13 +5x(-1 严】+2x(-1 严 _ §=3 5 + 8 = 63.用性质6证明% b、 证明：a2 b2a3 $C2+C3A+qb2+C 2$ +C3C3-%0b+qbi1-E+C2 2a2b24 弘松+G %1的c2州a q bQ bx C% C bC2 “2C2a3 b3 C3C3“3C2 b2I為5爲I4.计算

11、下列行列a2 (a+(a+ 2尸(a+a100b)2 + 1)2 3+22尸 +-b103)2 c 2 (c + l)2 (C +(21-112)2 ( C + 3) 20cd (d + IF (d + 2)200-1d (d + 3)21 X1 1111 1111-x1ab cd111 + y1(41 ak2 2b cd211 11-y3 a.33b cd3(3a4a+6a+22a +149b2b + l4b+6b +49c4 4c+96c+22c + ld2d44 4d+96+ l 4+9a(a+ 2(a+32(a+ 1)2尸尸b +(b + 2)2+勺-2c21)2(C + F(c +

12、2)23)2(c+ClJ=2,3,4d2(d +厅(d+2)2 (d+ 3)3)2解a2aQ3aa10bb£+3C3-C2hb1022c1cc + 13C4 -3C3c2c10ddd +3dd10112C2C3C4 -2C22a +1Q2a +2b+ 1b-+3b+13c +2c+ 1c + 12d + ld +3d+31a2b2c1d2如 33 c11111 1111=0=xy2+x(xy2 + (-1)(-1) 30y0+ (-i)(-i) 4一0 0+(-i)(-i) 5一00XX)0000 0y0-1(2 ).-1=a( b1 +0b101 00=ax (-1)?-c1+ (-1)(-1) 3-c111ddd010 -1> 10)