多面体的欧拉公式 球

1、多面体的欧拉公式球 多面体的欧拉公式： 一重点、难点提示 1多面体的概念 若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体一个多面体至少有四个面 2正多面体每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体叫做正多面体 正多面体分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体共五种，其中正四面体、正八面体和正二十面体的各个面都是全等的正三角形，正六面体又叫做正方体，其各个面都是全等的正方形而正十二面体的各面是全等的正五边形 3. 欧拉公式如果简单多面体的顶点数为V，面数为F，

2、棱数为E，那么V+F-E=2 二考点指要 理解多面体、凸多面体、简单多面体和正多面体的概念，能运用欧拉公式进行有关的判断和计算 球： 一重点、难点提示 1球面的概念 半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，半圆的圆心叫做球心连结球心和球面上任意一点的线段叫做球半径，连结球面上两点且经过球心的线段叫做球的直径 球面也可以看作与定点(圆心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合，如果一个球的球心为O，我们可以把这个球记作球O 2球的概念 球面所围成的几何体叫做球体，简称球 3球的截面及其性质 用一个平面截一个球，截面是圆面，球的截面有如下性质： (1)球心与截面圆心的连线垂直于截面； (2)

3、球心到截面的距离d与球的半径及及截面的半径r有下面的关系：。 4球面上的大圆和小圆 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆，地球上的赤道就是一个大圆，北极圈就是一个小圆。 球面上两点距离的概念： 在球面上，两点之间的最短连线的长度即经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，叫做两点的球面距离。 球的表面积和体积： 若球的半径为R，则它的表面积S=；它的体积。 二考点指要 理解球的有关概念和性质，掌握球的表面积和体积公式，并能运用这些公式进行计算 例1C70 分子有70个顶点，以每个顶点为一端有三条棱，各面是五边形或六边形求C70 分子中五边形和六边形的个数

4、思路分析：若有x个五边形和y个六边形，则简单多面体的面数Fx+y而这个简单多面体的棱数量E。从而，根据欧拉公式可以求出x和y的值 解：设C70分子中五边形有x个，六边形有y个 则 Fx+y 依题意可知棱数 E= 105。 V=70， 有70+(x+y)107, 即 x+y37. ，则有5x+6y=210, 由 ，解得x=12, 且 y=25. 答：在C70分子中有12个五边形、25个六边形。 例2若一个简单多面体的每一个面都是凸n边形，每一个顶点上都有m条棱。求证：。 思路分析： 设这个简单多面体的面数为F，棱数为E，顶点数为V，则有，且。于是根据欧拉公式，便可以找到m与n的关系。 证明：设多

5、面体的面数为F， 每个面有n条边， 即是这个多面体的棱数，即，则。 每个顶点上有m条棱，设多面体的顶点数为V，则即是多面体的棱数，即，则， E+2=V+F， ， ， E>0, . 例3晶体硼的基本结构单元是由20个等边三角形组成的正二十面体，其中每一个顶点是一个B原子，问这个基本单元是由多少个B原子所组成的？其中含有B-B键有多少个？ 思路分析； 由于每一个面有三条边，且共有20个面，所以可求得这个正二十面体的棱数（即B-B键的个数）。因为在数F=20，所以由欧拉公式V+F-E=2。可求得顶点V=12，即B原子的个数为12。 解： F=20， 每一个面是正三边形， 棱数， 设顶点数为V，

6、 V=E-F+2=12，即这个正二十面体共有12个顶点，30条棱。 答：晶体硼的基本结构单元由12个B原子组成，共含30个B-B键。 例4在半径等于25cm的球内有一个截面，它的面积是49cm2，求球心到这个截面的距离 思路分析：由截面的面积求出截面半径r，根据截面的性质求出球心到截面的距离。 解：设截面半径为r r2=49cm2, r=7cm, 设球心到截面的距离为d . 答：球心到截面的距离是24cm。 例5 三个球的半径之比是1:2:3，求证：最大球的体积等于其他两个球体积和的三倍 思路分析: 由三个球的半径之比等于1:2:3，可设三个球半径分别为r、2r和3r，则三个球的体积都可以表示

7、有关r的代数式，然后再研究它们体积的数量关系. 解： 三个球半径之比为1:2:3，于是可设三个球的半径分别为r, 2r和3r 则最大球的体积，其他两个球的体积之和为。 所以最大球的体积等于其他两个球的体积之和的三倍。 例6轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1cm，求球的体积。 思路分析： 根据球与圆锥内切的关系，找出球半径与圆锥的底面半径以及母线之间的关系，以便于求出球的半径。 解：如图，作出轴截面， ABC是正三角形， ， CD=1cm, AC=2cm, , RtAOERtACD, , 设OE=R，则， ， ， 。 答：球体积等于。 例7在一个轴截面是正三角形的圆锥形容器中注入高为h的水然后将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，求这个铁球的半径。 思路分析：解决问题的关键是找到圆锥的体积等于球体积和水的体