第五章-一元函数微积分的应用(20220216040228)

1、第五章一元微积分的应用5.1函数图象的几何性质根本概念定义1极值点与极值：1极大值点极小值点：函数y f(x)在x0的某邻域内有定义，假设x U(x0) 有f (x) f (Xo) f (x) f (Xo)，那么称x0为f (x)的极大值点极小值点；函数值f(x0)为f (x)的极大值极小值.2极大值点和极小值点统称为 极值点；极大值和极小值统称为 极值.f(Xi X2) f(xQ f(X2)2 21定义2凸凹函数：函数f (x)在I上有定义，假设对任意的 x,X2 I，有f (王_xi) f(Xi) f(X2)2 2那么称f (X)在区间I上是凹函数凸函数. 公式1可以改写为：f ( X1X

2、2)f (X1)f (X2) f ( X1X2)f (X1)f (X2)2其中，(0,1)，且1 .定义3拐点：如果函数f(x)在点Xo的左右邻域的凸凹性不同，那么称点(Xo, f (Xo)是函数f (X)的拐点；定义4渐近线： 假设曲线y f(x)上的点M，沿曲线无限远离原点时，它与定直 线L的距离趋于零，那么称直线 L就是曲线y f (x)的渐近线。注1极值点和最值点的区别和联系：1极值点未必是最值点，最值点也未必是极值点；2最值点假设是在区间内部，最值点就是极值点；3假设函数在定义域区间内仅有唯一极值点，那么此极值点就是最值点.注2拐点是曲线上的点(Xo, f (Xo)，并非是数轴上的点

3、 X Xo .根本方法1求极值点有两类点可能成为极值点：导数等于o的点和导数不存在的点仅仅可能是极值点判断上述两类点是否为极值点的具体方法1几何方法：假设Xo的左右邻域的单调性不同，那么 Xo是极值点，f(X。)是极值;在Xo的左邻域(Xo, Xo)上,Xo为极大值点.在Xo的左邻域(Xo, Xo)上,f (x) o ;在Xo的右邻域(Xo,Xof (x) o ;在Xo的右邻域(Xo,Xo)上，f (x) o ,)上，f (X) o ,Xo为极小值点.2代数方法：求Xo的导数，假设f (Xo)f (Xo) | f"n1)(Xo) o ,而f (X。)o，那么(a) 如果n是偶数，xo

4、是极值点，假设f (n)(xo) 0 , xo是极小值点，假设f")(X。)0 ,Xo是极大值点；(b) 如果n是奇数，xo不是极值点.2求函数y f (x)的单调区间1求函数f (x)的定义域；2在定义域内求出一阶导函数f(X)等于零的点和一阶导函数不存在的点；3用上述两类点将定义域分成假设干区间，并判断导函数f (x)在每个区间的符号,从而得到单调区间.3求函数y f (x)在区间a,b或(a,b)上的最值：|,Xn，那么函数yMm特别的，求函数y 具体方法：求函数Xi,X2，川,X 1具体方法：求函数f(x)在闭区间a,b上一阶导函数等于 0点和一阶导函数不存在的点：令，那么函

5、数y f (x)在a,b的最大值与最小值分别为max f(xj, f(x2)J ,f(Xn), f(a), f(b)；min f(xj, f(X2)，f (Xn), f(a), f(b)。f(x)在开区间(a,b)上的最值：f(x)在(a,b)上的一阶导函数等于0点和一阶导函数不存在的点：令max f(xj, f(X2),，f 区) max f (a), f (b) 或maxlim f(x),lim f (x)x ax b那么f (x)在(a,b)上存在最大值,最大值就是max f (xj, f(X2),f (Xn)2假设 min f (x1), f (x2),., f (xn) min f

6、(a), f (b) 或 minlim f (x),lim f (x)x ax b那么f (x)在(a,b)上存在最小值，最小值就是min f (xi), f(X2),，f (Xn)否那么，不存在最值.4求凹凸区间和拐点具体方法：1求函数f (X)的定义域；2求二阶导数f (x)等于零的点和二阶导数不存在的点；f (X)在每个区间的3斜渐近线：假设3用上述两类点将定义域分成假设干区间，并判断二阶导函数 符号，从而得到凹凸区间和拐点.5求曲线的渐近线1水平渐近线：lim f (x) a , lim f (x) a或 lim f (x) a，那么 y a是水平渐近XXX线.2铅直渐近线：lim f

7、(x) a , lim f (x) a 或 lim f (x) a，那么 x a 是铅垂XX)XX)x X0直渐近线.k , b lim f (x) kx，那么 y kx b 是斜渐近线.X6函数在区间上的平均值函数f(x)在闭区间a,b上的平均值:f (x)dx2，求a， b，并求y f (x)所有2a b 0，解得 a 0， b 3。例1f (x) x3 ax2 bx在x 1处有极值 极大值、极小值和拐点。解根据有f(1) 1 a b 2，f (1) 3 从而函数解析式为 f(x) x3 3x 。求导 f (x) 3x2 3 3(x2 1)，令 f (x) 0,解得稳定点为 x 1，f (

8、x) 6x， 于是f (1) 6 0，f ( 1)6 0。所以x1分别是极小值点和极大值点，极小值为f(1)2，极大值为f( 1)2。由于f (x) 6x，令f (x)0，那么x 0，由于f (x)60，所以(0,0)是拐点。例2求曲线y In x的一条切线，使得曲线、切线与 x 1，x e2所围成的图形面积 最小。解 设曲线y In x上的点(a,ln a)的切线方程是y In a (x a)。a1 2那么由y In x， y In a (x a)， x 1和x e2所围成的图形的面积为 ae21S(a) In a (x a) In xdx1a21 12e2x)e2In a (e 1)_ (

9、_ xax)! (xIn x1a 221e22(e1)(I na1) e1。2a对a求导，得到S (a) (e21)(-1e2)，令 S(a)0，解得a°-(1 e2)。而a2a2八/1/ 22 .S (a°)(e21 e、e 11)(飞Ar3 )42 2 0aa(1e )1所以S(a)在a a。处取极小值，即最小值。于是所求切线方程为y Ina。 (x a。)，a。即In1e2 x例3函数f (x)对一切实数x满足微分方程xf (x)3x f (x)(1)假设函数f(x)在点x c(c 0)有极值，证明它是极小值;(2)假设函数f(x)在点x 0有极值，它是极大值还是极小

10、值?解得到1因为f (x)在点x c(c 0)有极值，所以f (c)0，将x c代入方程中，cf (c) 3c f (c)1 e c1 e 因此f (c)0，所以f(c)是f(x)的极小值.c2因为f (x)具有二阶导函数，f(x)在x 0有极值，所以f (0)0,limf(x) 0x 0 /f (0)xm0f (x)xf(0)0xm0f (x)xlim0 f (x)3f (x)2f(0)是函数f(x)的极小值.X 22例 4 函数 f (x) 2a o (t a )dt (0 a 2)，求1f (x)的极大值M用a表示出来；2将1中的M看作a函数，求M的最值.解1因为f (x：x2a2, f

11、 (x) 2x.令 f (x)0 ,得到稳定点xa ,f ( a)2a 0 ,于是xa是极大值点，极大值Mf(a 2a) 2a(t2a2)dt2a -a3.32由于dM22人dM 2a ,令0 ,解得在区间0,21稳定点是a 1，所以dada4 44MmaxmaxM (0), M (1),M (2)max0,3,334 44M minminM (0), M (1),M (2)min0,3,33 .例5设对任意实数x有 f ( x) xf (x)1，且f(0)0,求f (x)的极值.解首先求函数f (x)的解析式.依题意有f (x)xf (x)1,f (x)xf (x)1解方程组，得到f (x)

12、-2x xx2 1.所以f(x)2 xxdx1ln(12x2)x arcta n xC ,2 xdx1由于f (0)0，所以C0，于：曰是f(x)1| n(1 x2)2x arcta n x.令 f (x)0 ,解得x10, X21,而fx2 2x1所以 f (0)10 ,(x)(1 x2)2f ( 1)1-0,所以2f(0)0是极小值，f( 1)3n2241为极大值.练习i在数列i,、2,3、3,.,:n,.中，求出最大一个数.最大数：13 3，提示：问题归结到函数f(x) xx(x 0)的最大值x+2 求函数f(x) ° (2 t)e 'dt的最大值和最小值最大值：f1

13、e 2，最小值 f(0)0i 223求函数f(x) ox t dt , x 0的最大值和最小值最小值：f (-)，无最大值 243.求曲线y Inx在2,6内一条切线，使得该切线与直线 x 2 , x 6，和曲线y In x 所围成的图形面积的最小值.13 答案：y x 1 2ln 243 2 25.求方程2y 2y 2xy x1所确定的函数y(x)的极值。当x 1时，y(1)1是极小值6. 求通过点1, 1的直线y f (x)中，使得答案：y 2x 17. 设函数 f(x) x acosx(a 1)在区间(0,2 区间(0,2 )内有极大值.答案：2maxo x2 f (x)2dx为最小的直

14、线方程.)内有极小值，且极小值是0，求函数在的y 0。该曲线与x轴以及x 1所围成的图8. 设y ax bx c过原点。当0 x 1时，1形的面积为-，试确定a,b,c，使此图形绕x轴旋转一周的立体的体积最小。353答案：a8求函数fi(x)9设函数答案：y区工和(x 1)2y(x)是由方程23f2(x)x21 e一巳=的渐近线.答案：y x 5和y 1,x0 .1 e x2xy 0确定，试求曲线 y y(x)的渐近线。10.设函数f (x)13门，ln(1 x2),1x31,x 1,，求曲线y f (x)的渐近线.答案：水平渐近线：y 1;垂直渐近线：x 1, x 1 ;斜渐近线：y x I

15、n 3 1 .微元法在计算面积、体积、弧长应用1.计算面积公式1直角坐标系下，由f (x) , g(x) , x a和x b围成区域D (x, y) g(x) y f (x),a x b的面积为bS af(X)g(x)dxb特别的，由f (x) , X轴，X a和X b围成图形的面积是S a f(x)dx .2极坐标系下，由r,( ) , r2(),围成区域D (r,)臥)r 以),12的面积为1 2 2s r；( )r：( )d特别的，当r(),2,围成图形的面积是 S - r2( )d23边界曲线为参数方程的图形面积x (t),y(t)，tit t2，S (t) (t)dt其中(t)在ti

16、t上不变号，假设积分值为负值，交换积分上下限.2计算弧长公式1平面曲线用参数方程表示：x x(t) , y y(t) (a t b) , x(t), y(t)具有连续导数，那么曲线弧长S：Jx2(t) y2(t)dt ；2平面曲线用一般方程表示：y f (x) (a x b), f(x)具有连续导数，那么曲线弧长S a 1 f 2(x)dx ；3平面曲线用极坐标方程表示：r r( ) () , r()具有连续导数，那么曲线弧长S.J2( ) r2( )d ；3.计算曲率、曲率半径公式数三不要求曲率是对曲线y f (x)的弯曲成度的描述：曲率假设曲线用参数方程表示:Klims 0sy(12 3/

17、2y )x x(t)，yy(t)，那么曲率为(t)(t)(t) (t)lK2(t)2(t)3/2曲率半径:4.计算体积公式1设立体介于平面x a和x b之间，对 x(a, b)，过x且垂直于x轴的平面截立体，其截面面积为 S(x)，那么的立体体积为bV S(x)dx ；ax轴、x a和x b围成曲边梯2旋转体的体积：连续曲线 y f(x)(f(x) 0)、 形，该平面图形绕x轴旋转的旋转体的体积：b 2Vxa f (x)dx ；平面图形绕y轴旋转的旋转体的体积：bVy 2 a xf (x)dx。5旋转面的面积在x轴上方有一平面曲线AB绕x轴旋转一周得到的旋转曲面的面积。1平面曲线用参数方程表示

18、：x x(t)， y y(t) (a t b)，那么旋转曲面面积S 2：y(t)、.,x2(t) y2(t)dt2平面曲线用一般方程表示：yf(x) (ax b)，那么旋转曲面面积S 2：f(x) .1 f 2(x)dx。3平面曲线用极坐标方程表示：r r()()，那么旋转曲面面积S 2 r( )sin . r2( ) r 2( )d 。2每 1围成图形的面积.b4倍，于是解曲线关于x轴和y轴都对称，所以整个图形的面积是第一象限的aS 4 0 ydx例2求摆线x a(t 解sin t), ya(11 4ab2 2cost)的一拱0 t 2与轴所围成的面积4ab 02 cOs2 dab 。根据公

19、式t2St1a2(t)2(10(t)dt2costa(1 cost)a(1 cost)dtcos2t)dt 3 a2.r)的直线旋转而成的圆环体的体积。x2 (y R)2 r2，那么圆环体可以看作是曲线3求半径r圆绕距离中心为 R(R适当建立坐标系，圆的方程为r2 x2和y R . r2 x2分别绕x轴旋转体体积的差。所以 V ' (R r2 x2)2dxr8 R I r2 x2dx 8 R0r14(Rr2r2 x2 )2dx2 2r2R。例4设一容器是 水，求水面上升到 64cm时,33曲线y x (0 x 80)绕y轴旋转而成。现以8cm /s速度向容器注 水面上升的速度和液面面积

20、的扩大速度。2yy3dy 8t。对t求导：解 设时刻t(s)时液面高度为y(cm)，那么yx2dy2-3yy- Id -"曰Alz疋当64cm 时,dydt64(cm/s)。即液面上升到64cm 时,、 1水面上升的速度(cm / s) °2由于液面面积Sx22£，所以dsdty 64dydty 64(cm/ s) °12习题5.21、求以下曲线所围成的图形的面积:1yXXe , y e , x 1 ;2、Xjy 1和两坐标轴；3yx(1 x2)与 x 轴；4yx3 6x 和 y x2 ；52a cos ；6 (x2!2、32/ 44、y ) a (x

21、y ).答案：1e1 1e 12 ； 261(3)，提示:2曲线与253x轴有三个交点；4253，两个11曲线有三个交点；(5)a2326a .提示:将曲线转化为极坐标方程：2 2 1 2 r a (1 sin 2 ).22、求由以下曲线绕轴旋转的旋转体的体积:1y24 x及y 0所围成的图形绕直线 x 3旋转一周；2(x2 21) y4绕y轴旋转一周；3xya , xa , x 2a , y 0分别绕x轴和绕y轴旋转一周；,2 a2°23. 曲线：y 1 x2 1 ,试求：1 与x轴所围成的图形 D的面积；2图形D绕x轴旋转一周的旋转体的体积；3图形D绕y轴旋转一周的旋转体的体积。

22、2 18(、2 1) ; (2)兰(4.2 5); (3) 16.315154. 求曲线r 3cos和r 1 cos所围成的公共图形的面积.54答案：545. 求心脏线r a(1 cos )所围成图形的面积和弧长.3 a2, 8a6. 求曲线x a cos t , y a si nt的全长.6a7. 设容器由y 2； x绕y轴旋转而成。令注入 V方水后，水面的高度是 h，再注入V方水后，问水面高度提高了多少？答案：(32 1)h5.3微元法在物理上的应用解决实际问题的根本方法：微元法，即细分、累加、求极限，根据极限形式，确定所 求量的定积分。但在实际问题中，我们只需确定被积表达式即可，没有必要

23、严格按照细分、 累加、求极限，再确定定积分，于是在微元的处理上，往往采用：建立适当的坐标系或坐标 轴，在整体量任意选定一个位置 x ,给出改变量dx ,在从x到x+dx 一段上，把所求量如压力、作功、引力、质量看作常量：于是得到微元的量，即确定了定积分的被积表达式， 从而得到所求量的定积分。1液体压力 设一平面薄板放在均匀的静止的密度为的液体中，那么液体对薄板的侧压力bP xf(x)dxa微元法：在薄板中任意选取一个位置 x也是水深，薄板的宽度为dx，薄板的长度为 f (x)，于是微元面积为 f (x)dx，微元所受压力 xf (x)dx密度 深度 受力面积，即 是被积表达式。2物体引力质量分

24、别为mi,m2相距为r的两质点的引力大小为F k 5严，其中rk为引力常数，引力的方向沿两点的连线方向.3变力作功 设一物体，在外力 F的作用下，沿x轴从a点移动到b点，那么外力所 作的功bW F(x)dx a微元法：在a,b上任意选取一个位置 x，移动距离为dx，在力F(x)作用下，物体从 x到x+dx所作的功为F(x)dx力 位移，即是被积表达式。4物体质量设一物体，其密度函数(X)是连续函数，那么物体质量为bM(x)S(x)dx a微元法：适当建立坐标系，在物体上任意选取一个位置x，作一个截面S(x)，在这个截面上密度相等，给出切片的厚度为dx，于是微元体积为 S(x)dx，微元质量(x

25、)S(x)dx密度 切面面积 厚度，即是被积表达式。例1设半径为R的球体体密度u r2，求球体的质量1 r是球内的任意一点到球心的距离；2 r是球内的任意一点到直径的距离；3 r是球内的任意一点到过球心的平面的距离.图5-6yxc1X dx»_ V1/ h1图5-8解1由于r是球内的任意一点到球心的距离，所以为计算质量的方便，将密度相等局部分割到一起，分割方法是：以原点为圆心，以x和x dx为半径作两个球面组成球壳,所以体积微元球壳近似为：dV 4 x2 dx体积夕卜表积4 x2厚度dx于是质量微元2224dM dV x 4 x dx x 4 x dx所以质量为R445M 4 x d

26、x R o52由于r是球内的任意一点到直径的距离，建立坐标系，同样为计算质量的方便，将密度相等局部分割到一起，分割方法是：以直径为轴，以x和x dx为半径作两个柱面组成具有厚度为dx的柱面，于是体积微元近似为dV2 x 2 R2x2 dx体积 柱面外表积2x 2 . R2x2厚度dx于是质量微兀dM dVx2 2 x 2 . R2 x2 dx x24 x3 .Rx2dx所以质量为R.M 04 X役 R24 r5 sin'tcoftdt4 R5"sin3tdt迈sin5tdt R300153由于r是球内的任意一点到过球心的平面的距离，建立坐标系，同样为计算质量的方便，将密度相等

27、局部分割到一起，分割方法是：距平面的距离为x和x dx，作两平行于定平面的平面，平面薄板是圆面，厚度为dx，于是体积微元近似为2 ， 2dV, R2 x2dx体积 圆面面积厚度dx于是质量微元dM dV x2R2 x22dx x2x2(R2 x2)dx所以质量为R722、4£M2 0 x (Rx )dxR015例2由抛物线y x2及y 4x2绕y轴旋转一周构成一旋转抛物面的容器，高为H，现于其中盛水，水高为 H/2，问要将水全部抽出，外力需做多少功？中取出，需做多少功？W W W2，其中W是水下作功， W2是出水作功W 3 r3(1)(H 2R)，dW2 - R3h2(R -)dx，

28、h 是球缺的高，333h 2R x例5边长为a和b矩形薄板a b丨，放于与液面成角的液体内，长边平行于液面位于深h处，设液体的比重为，求薄板所受的压力P.宽度为:当x的增量为 x时，薄板对应的，面积为a dx ，静压力sinsindPdx xa.x.a.dxsin sin所以有hPh例bsindPbsi nxadx ab (h sinb . -sin2a图 5-10b h bsinJl 16闸门的上局部为矩形，下局部为二次抛物线与线段围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形局部所承受的水压力与闸门下局部承受的水压力之比为5: 4,求闸门的矩形的高度应是多少米？解设抛物线方程为 矩形局部承受的水压力为h 12 1 g(hPi闸门抛物线局部承受的水压力为12o g(hP2根据空P2例7质量为Mx2，闸门矩形高度为 h ,y)dygh2 ;,1 yh. ydy12g(3h 很，-，得到h4设有质量均匀的细直杆 AB，其长为I ,图 5-111在AB的延长线上与端点 B的距离为a处有一质量为 m