第三章练习题

1、第三章练习题1 一根长直导线载有 5.0A直流电流，旁边有一个与它共面的矩形线圈ABCD,l=20cm,a=10cm,b=20cm;线圈共有 N=1000匝，以v=3.0m/s的速度离开直导线，如下图。试求线 圈中的感应电动势的大小与方向。由于为稳恒电流,所以它在空间各点产生的磁场为稳恒磁场.当矩形线圈运动 时不同时刻通过线圈的磁通量发生变化,故有感应电动势产生取坐标系如图(a) 所示.设矩形线圈以速度从图示的位置幵始运动经时间荷线圈的位置如图所示, 取面积元羽=徐，距长直导线的距离为兀按无限长直载流导线的磁感应强度公式可勉 该面元处啲大小为2托h通过该面积元的磁通量为2处于是通过线圈的磁通量

2、为 ®屮护厂座加空厂竺J盘如2城弄Jfl+n x2k a +vi由法拉第电磁感应定律可知，H匝线圈内的感应电动势为十国肉UN a +v£ (a +v£)v- (B +vfjvE = _N =-:7di 2 b + vt(a +vi)J 气&N (a + vi)v - (b + vi)v2 菇(b +vt)(a + v/)令"0,并代入数据，那么得线圈刚离开直导线时的 感应电动势di |f_0 2rz a b2nab_4irxl0-7xl03xQ.2x5.0x3.0x(0 2-0 1) 2xQ,1x0.2= 3.0xW3(V)按楞次定律可知我方向为

3、图(b)中的顺时针方向。2如下图，无限长直导线中的电流为I,在它附近有一边长为2a的正方形线圈，可绕其中心轴- 以匀角速度旋转，转轴一一与长直导线的距离为b。试求线圈中的感应电动势。由于线圈ABCD在磁场中旋转，穿过其上的磁通量发生变化，那么由法拉第 电磁感应定律可知，将在线圈中产生感应电动势,当线圈转过任意角度 炉臥时,如图所示，这时通过线圈的磁逋量与逋过匪0位置时某一等 效线圈的两侧磁通量相等，此等效线圈的两侧分别与长直导线相距兀占， 那么通过此等效线圈的磁通量为式中7叼可余弦定理求得q2 =去 - 2abcos8 - a1 +b2 - cos at= dr2 +b2 + 2ab cos

4、9 = a2 +b2 + 2(s6cos dt代入上式，得壬 却、+b2 +2dticos di3 111 aH_3加 a +/> 2ab cos 61不难看出，随时间变化。于是，线圈中的感应电动势为d0 £=- dt地应蛰曲，冗 a2 + b1 - 2ab cos dis=)sm 6Jta +酌方向作周期性变化。3.如下图，一无限长的直导线中通有交变电流，它旁边有一个与其共面的长方形线圈 ABCD，长为I,宽为ha 。试求：1 穿过回路ABCD的磁通量-；2回路ABCD中的感应电动势 匸无限长直导线通有交变电流，其周围空间产生交变电场根据无限长直流导线 产生磁场的公式可知，此

5、交变磁场的磁感应强度的表达式是2兄丁 2环尸在距导线砸处，取面元衍r,穿过该面元的磁通量为 de = B cos = BdS -sin crfUdr在f时刻穿过回路血的磁通量为 二 fdP -f 丛 sm 曲口drJ2irr2r a J2根据法拉第电磁感应定律，将9对时间求导数"得回路中的感应电动势dt 2 a其方向作周期性变化。4一无限长直导线，通电流为 I。在它旁边放有一矩形金属框，边长分别为a b，电阻为R，如下图。当线圈绕轴转过180。时，试求流过线框截面的感应电量。设流过导线截面的感应电量为如那么q = j* 诚=其中&为感应电动势为感应电流。由法拉第电磁感应定律可

6、剜£=琵dt带入上式得q = -=d% = 31J Rdtw R由此可见，感应电量只与磁通量的变化有关，而与磁通量的变化快 慢无关&由于因此厂竺必扫公R 宛R 叟2假设此题中线框保持不动，而无限长直导线中的电流1=4曲 经历一段时间上后流过的感应电量如何呢？由前面的知识可知ql那么有a2所以q = (sina/tsinoTt J1 2Rd+-仆丄25.如下图为具有相同轴线的两个导线回路， 小线圈在大线圈上面 x处，大、小线圈半径分别为R、，且x>> R，故当大线圈中有电流I流动时，小线圈所围面积内的磁场可近似视为均匀的。设大小线圈在同轴情况下，其间距x以匀速V =

7、出变化。试求：1穿过小线圈的磁通量和x之间的关系；2当x=NR时N为一正数，小线圈内产生的感应电动势；3假设v>0，小线圈内的感应电流的方向。OTC1由载流线圈在轴线上产生的磁场公式可知.小线圈所在处的磁场为当疋口 R时.上式可改与为由题设小线圈内磁场可看作是均匀的，故通过小线圈的磁通量为C2由法拉笫电磁感应定律，小线圈中的感应电动势为把x =皿、v =代入，得dt3丙琢产£ = V2出材3假设那么减小.由楞次定律可知，小线圈中感应电流的方问应与 大线圈中电流方向相同。6如下图，在均匀磁场 B中放一很长的良导体线框，其电阻可忽略。今在此线框上横跨一长度为I、质量为m、电阻为R的

8、导体棒，并让其以初速度'：运动起来，忽略棒 与线框之间的摩擦，试求棒的运动规律。1F1hr x&xL-dX、vw aw KmX如图Cb所示十取坐标轴 坐标原点0在棒的初始位置，并选运 动的初始时刻为时间啲原点。在某时刻棒的速度为H其上的动生电 动势为f = Blyf其上的电流为“恥所受的磯力兀在X轴上的投影 为由牛顿运动定律得dv=m dfR範2)00 11(b)所以dv= ULv Pm根据初始条件，将上式两边积分Rm Jo得心-叱vc Bm那么甘=vce血又由于範 2 - 100 B(c)所以i£2- JOOEifd)卩随时间f变化的规律如图所示評逐渐减小，直至为零

9、,工随时间的变化规律如图所示，燿渐增大，直到增大到容处&7.如下图，在电阻为零，相距为I的两条平行金属导轨上，平行放置两条质量为电阻为R/2的匀质金属棒AB、CD，他们与导线相垂直，且能沿导轨做无摩擦的滑动。 整个装置水平地置于方向垂直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B。假设不考虑感应电流的影响，今对AB施加一恒力F,使其从静止开始运动起来。试求： 导轨上感应电流恒 定后的大小，以及两棒的相对速度。设t时刻AB,CD棒的速度分别为仏吟加速度分别为贝IM5CD两棒上的动生电动聘分别为气=vQ习=诃于是，由欧姆定律可知,回路中的感应电流为I-爲E _山时刃RR导体应CD受到的洛伦兹力为RAB

10、,CD运动的加速度分另'J为(F-F) B -r-aY =wsm° _严_厲-叫炉沪口H mRin当回路中的电流稳定时，有Bl dvj dv27"坯"_1T=od； - d (丫-巴)別 也逊 R9所以号哼即宀心业f 辭因此,&3心'mRm即两棒的相对速度为FR叫乃= 2BP将其代入感应电流的公式中可得感应电流的大小为2BI8一金属棒OA在均匀磁场中绕过 O点的垂直轴OZ作锥形匀角速旋转，棒OA长为】， 与OZ的夹角为卩，旋转角度为，磁感应强度为,方向与OZ的方向一致，如图 所示。试求OA两端的电势差解法一用动生电动势的公式求解。如图a所示

11、，将金属棒看 成为由许多线元组成，选取距0点为囂长度为应线元.动生电动势 ds =CvxjQ/,由题意分析可知，直于E且v = Zsin 而皆的 方向与战方向垂直，与线元洲夹角鹫弋所以d s = (yx B)EHZ = I sincos( - ®=I ojB sin2 B超loB sin2对于整个金属棒来说，其电动势为结杲说明，小,即与卩“的方向一致，即熊电势高于糜电势，电动势 的方向由M旨向4解法二 也可以用法拉第电磁感应定律求解。从图b中可以看出，棒Q啲川端从奉到& CM把过的锥面的磁逋量等于图b中扇形°。方面内 的磁通量，设勿与少之间的夹角为隔贝叼由楞次定律可

12、知，刼方向由刖旨向九 该结果与解法一相同。9.如下图，一长为L的金属棒OA与载有电流I的无限长直导线共面，金属棒可绕端 点0在平面内以角速度匀速转动。试求当金属棒转至图示位置时即棒垂直于长直导线，棒内的感应电动势。无限长直导践在金属棒转动平面内激发的磁场是非均匀的,方向垂直纸面向外©在全属棒上沿远向任取一线元弘dZ至0点的距离为人距无限长直 导线的距离为八由无限长直载流导线产生的磁场的公式可知，该 处的磁感应强度大小为空力向垂直纸面向外)2k r当棒转至图示位置时，金属棒0。吐各线元的速度方向均垂直各线元 沿平面向上，其夹角2(讣£)的方向沿0Q4方向，即SE)与皿间夹甬为

13、零。由于线元出速度大小 v=所以刃上的动生电动势大小为 de = (vx B)LH/ = (vsm ) cosOd? = 金属棒上总的励生电动势大小为 咼，=fg = J®x 占)EHZ =箱 tuBidl =苗：Idl在上式中，匚/均为变量，必须先统一变量后才能进行积分，由图可知.1 = r -爲山=dr将其带入上式故2耗由张?0或由(yB)可知，电动势的方向从呀旨向A即必点电势高°10. 如下图，在均匀磁场中有一金属框架aOba, ab边可无摩擦自由滑动，已知： 5匚，- - -，磁场随时间变化的规律为：_。假设t=0时，ab边由x=0 处开始以速率v作平行与X轴的匀速

14、滑动。试求任意时刻t金属框中感应电动势的大小 和方向。由于0随时间变化，同时加吕线切割磁场线！故回路中 即存在感生电动势，又存在动生电动势。由法拉第电磁感应定律可知，耐刻金属框中感应电动势的 大小为丝=迥"迥Y世dl dt dl dt喝的方向从腐旨向6电的方向为逆时针方向。将X =卩山=兀tan召二许tan夕代入上式，贝I11 - fa ( va£a tan 切 + vafa tan S (-£2)鬥 I 2 dt 22dt 2-v2? tan T我方向为逆时针方亂11. 如下图，电磁 涡流制动器由电导率为、厚度为t的圆盘组成，圆盘绕通过其 中心的轴旋转。覆盖面积

15、为皿'的磁场B垂直于圆盘，设面积皿'在离轴r处。当圆盘 的角速度为3时，圆盘将受转矩使其速度减慢。试求转距M。在圆盘上.沿径飢 长度为血线段因切割磁场线而产生的 感应电动势近似为s=-Bav = Baur面积为厚度的这一小块金属沿径向的电阻为at B因此，在这一小块金属上产生的沿径向的感应电流为, e Baosr -I -二一-=BagratR 1ai由安培公式dF - 2陀,这一小块金属在磁场占中受到的作用力与径向垂直， 大小为F=laB这个力对转轴的力矩起着制动圆盘的作麻其大小为M = rF - rlaB=rBaojrtjlaB=PS? 少edB_=k12. 在无限长螺线管

16、中，均匀分布变化的磁场 B(t),设B以速率儿 变化(防： , 且为常量)，方向与螺线管轴线平行，如下图。现在其中放置一直角导线abc。假设螺线管截面半径为 R, 一二一' ，试求：(1)螺线管中的感生电场；(2)；：两段导线 中的感生电动势。1由于系统具有轴对称性.如下图.可求出感生电场。在磁场中取圆心为。，半径为的圆周Ny 根据感生电场与变化磁场 之间的关系SB可得2 452月»匹加尸=一盘F =一耐赴有&匚上A YQ2由楞次定律可以判定感生电场为逆时针方冋。2解法一用法拉第电磁感应定律求解。连接花，厉和丞，在回路0处。中, 穿过回路所围面积的磁通量为1 1p八二

17、甌-1/a2 2AJ那么可一哎丄心s竺'曲 2 '47±而今=%十殆# + %所以 知p扣?叫方向由口指向阮 同理可得秽押冷严上方向由b扌目向c解法二 也可由感生电场力作功求解。由于1中己求出爲，那么13如下图，在无限长直螺线管的磁场中放一段直导线ab,轴0到ab的垂直距离为h ,£垂足P为ab的中心，P对0点的张角为：，试求ab上的感生电动势。解法一用ef坊凹求解d? = d(/ztan G) = Ad (tan G)亡广1 d5 hlfl 2 dz cos®所以 s = fcos 少d(tan 6)2 d 4%二丄竺d(tan0 解法二用“补回

18、路法求解。可将1段直导线a竦卜成三角回路Oab,如下图。abOa的绕向为回路的正向，那么此回路上的磁通量为负，有0二-E讣 tan %d® 站，2c£=-=h tan ftd/ d/勺因Oa边上和少上无感生电动势，故上式的结果是一段直导线必上的感生电动势。也可将一段直导线揺卜成回路必加，如下图。圆弧爾半径为心 选的必c勿绕向 为回路的正绕向，那么此回路的磁通量为正，有卅 tan 见)a氐血回路上的总电动势为d dB o o s=-=-3qRtan龟)因为EVW +0-E(r 7)2叭+0(EVW- R2 =- (3- tan%)故上“啲感生电动势是与前面的结果相同。导电14

19、. 如下图，将一个圆柱形金属块放在高频感应炉中加热，设感应炉产生的磁场是均 匀的，磁感应强度的方根值为 B,频率为仁金属柱的直径和高度分别为 D和h 率为，金属柱的轴平行磁场。设涡流产生的磁场可以忽略，试求金属柱内涡流产生 的热功率。按题意可设线圈磁场的感应强度Bt = B択 sin ai- =sin2网北乞为最大值金属圆柱可看作是由一系列半径逐渐变化的薄圆筒组成°每层薄圆 筒自成一闭和回路、其内产生涡流，涡流因距离不同而不同°在圆筒 体内取半径为巩0力叫2,厚为"的薄圆筒，它的电阻为曲竺2cjjdr由法拉笫电磁感应定律可知，薄圆筒内的感应电动势为-丁网2阮虑 -

20、22jr2Bm cos2jrj4在此薄圆筒上的涡流瞬时功率为2常严彳-泞力迟曲2以鬥pmor=2肚分咕如茅：化ftdr 故整个金属体内涡流的瞬时功率为£P = |d/?辭:co J(2览卫)1 n*=2'f2ahBl cos(2ft)'-,稲4 16在一个周期内的平均热功率为3冷f嗣存争咕Q * f必找申3脚=/丹W7*护32其中丘为磁感应强度的方均根值。15. 如下图，二同轴无限长的导体薄壁圆筒，内筒的半径为1 ,外筒的半径为,筒上均匀地流着方向相反的电流，电流的强度皆为 .。试求二筒单位长度上的自感系解法一用自感系数的定义求解因为二筒上的电流值反向，这就构成了一个

21、电流回路。此电流 系统的磁场仅分布在二筒之间，磁感应强度的大小为3=也Xr由磁通量的关系式可得图中阴影局部所示的长度为的矩形上的磁通 量为 二& Bldr = J代入自感系数的定义式，二筒单位长度上的自感系数为II 2 砒解法二用磁场能量公咖=扣气因二筒之间在长度为的区间的磁场能量£Li解.12JF-2=丄广世耳& =型？血也.2脳2济4瑁 R、因为w =故二筒单位长度上的自感系数为2 R、结杲与解法一相同。M。试求16. 如下图，两线圈的自感系数分别为一】与二，他们之间的互感系数为 两线圈串联时等效的总自感系数 L(线圈串联叭可有两种联接方法；图G)表示顺接，图(b)表示反接。解法一用虚义式帖立朋解在图中Gh 2与3端连结为顺解。设电菰估1端流入，从4端流出，那么总的磁通量 茗二妙十岁口 *吒!十琶璋= L1Z+Aff+J + iaZ所以 7>芋=厶仏+沏在图中，2与4端连结为反接，电流由1端流入 从3端流也 那么总磁通量尸旳-灶_灼+吆 二厶一购_购+邙 所以才厶+G-站17. 试求小电流线圈在磁场中的能量。解：利用功能原理可以求出小电流圈在外磁场中的能量。i殳有一水电流圈放置在均匀磁场E中，磁矩几与成召角，在磁力拒涮