第7章参数估计

1、第7章参数估计一、根本要求1理解参数的点估计、估计量与估计值的概念，了解评选估计量的根本标准一一无偏性、有效性最小方差性与相合性一致性的概念，并会证明估计量的无偏性；会比拟两个无偏估计量的方差；会利用 大数定律证明估计量的相合性.2掌握求估计量的方法一一矩估计法和最大似然估计法；矩估计法一般只涉及一阶和二阶矩.3掌握建立未知参数的单侧或双侧置信区间的一般方法，掌握正态总体的均值、方差、标准差和矩，以及与其相联系的特征的置信区间的求法.4掌握建立两个正态总体的均值差和方差比，以及与其相联系的特征的置信区间的一般求法.二、内容提要统计推断，就是由样本推断总体，是统计学的核心内容，其两个根本问题是统

2、计估计和统计检验统计推断的众多分支、应用、方法及原理都是围绕着估计与检验建立和展开的参数估计，就是根据样本来估计总体的未知参数，分为点估计和区间估计.评选估计量的标准点估计是用统计量的值估计未知参数的值；作估计用的统计量称为估计量；估计量是随机变量，它所取的具体值称为估计值例如，对于任意总体X，可以分别用样本均值 X和样本方差S2做总体的数学期望EX和方差DX的估计量.我们用统计量 彳二g XX2,，Xn 有时简记为 孑做未知参数二的估计量， 其中g Xi,X2/ ,Xn是简单随机样本 Xi,X2,，Xn的函数.同一个未知参数 二一般有多个可供选择的估计量评选估计量的标准，是对于估计量优良性的

3、要求，考试大纲要求掌握无偏性、有效性最小方差性、相合性.1、 无偏性 称估计量役为未知参数二的无偏估计量，如果 E彳2、 有效性 假设耳和$都是日的无偏估计量，那么如果D目兰D区，那么称估计量色比色更有效在 未知参数 二任何两个无偏估计量中，显然应该选更有效者 方差较小者.3、相合性 称估计量 彳=g Xi,X2,，Xn为未知参数 二的相合估计量，如果金依概率收敛于 二.换 句话说，当 n充分大时，相合估计量 彳以十分接近1的概率近似等于它所估计的未知参数-，即pq, w相合性一般是大数定律的推论.求估计量的方法考试大纲要求掌握最常用的两种求估计量的方法：矩估计法和最大似然估计法.1、矩估计法

4、矩估计法，是用样本矩估计相应的总体矩、用样本矩的函数估计总体矩相应函数的一种估计方法矩估计法无需知道总体的分布总体的k阶原点矩和k阶中心矩定义分别定义为:-k =EXk 和 人=E X -EX k(k=0,1,2,).考试大纲只涉及一阶矩和二阶矩矩估计法的步骤为：(1)用k阶样本原点矩？k估计k阶总体原点矩-：:k，用k阶样本中心矩 ?k估计总体的k阶中心矩% 例如，用一阶样本原点矩一一样本均值X =?1估计总体的数学期望 EX =宀，用二阶样本中心矩一一未修正样本方差S： = ?2估计总体的方差DX = "2 (2) 设V - f ： 1 / 2是一阶原点矩-1和二阶原点矩2的函数

5、，那么= f ?1,：?2就是二-f12的矩估计量(见例7.19) (3) 设= fi(i=1,2)是一阶原点矩：'1和二阶原点矩 I 2的函数，那么 呀二fi -?1，-?2就是耳二fi m/'2 (i=1,2)的矩估计量(见例7.5、例7.187.20) 2、最大似然估计法最大似然估计法要求事先知道总体分布的数学表达式.我们用概率函数f X门表示总体X的概率分布，其中 二是一维参数或31 -刊门2是二维参数.对于离散型总体X,其概率函数为f(X；日)=*QX =X"，假设x是X的可能值；0,假设x不是X的可能值对于连续型总体X，其概率函数 f x；d就是概率密度.

6、(1)似然函数设总体X的概率函数为fXJ，X1,X2/,Xn是来自总体X的简单随机样本，那么称函数L J - f Xi f X2P f Xn；d为参数d的似然函数；称函数In L v -1n f X 时 v In f X2； vIn f X n ； v为对数似然函数，亦简称似然函数.2最大似然估计量 对于给定的样本值 x1,x2 / ,xn，使似然函数Lr或InLr到达最大值的参数值？，称做未知参数 二的最大似然估计值.对于几乎一切样本值 x1,x2- ,xn，使似然函数Lili或InLr 到达最大值的估计量称做未知参数 二的最大似然估计量， 即最大似然估计量 J 以概率1决定于条件：L?二L

7、Xi,X2, ,Xn； T? =maxL Xi,X2, ,Xn； ： a3似然方程由函数有极值的必要条件，得方程0chdInL r1 df XjR 0dr 一 y f Xi 门 dr 一 '称做参数的似然方程；假设未知参数二-宀，匕是二维的，那么得似然方程组皿0,_-0；辽;dnL，二亠yfXiC rn 1 汗 XiC _0i f Xi-乜-在相当广泛的情形下，似然方程的解就是最大似然估计量一般，要用微积分中判断最大值的方法来 判断似然方程的解是否最大似然估计量有时，只能用近似计算的方法求解似然方程在有些情形下，似然函数对二的导数不存在，这时应采用其他方法求最大似然估计量见例7.19，

8、例7.21和例7.27 4最大似然估计量的函数假设参数二的函数.有唯一反函数， 而彳是二的最大似然估计量,那么1? =g 是的最大似然估计量.参数的区间估计未知参数o的区间估计，亦称“置信区间，是以统计量为端点的随机区间冈，压2,它以充分大的概率包含未知参数 日的值，其中区间的端点 &和$是统计量.辽东学院?概率论与数理统计I?教案1、置信区间设二是总体X的未知参数，X1,X2/ ,Xn是来自总体X的简单随机样本， 乡,纟是两个统计量，满足P fc? £日 £铠=1 Ct，那么称随机区间？，区为参数日的置信度为 心的区间估计或置信区间，简称为 日的1 F 置信区间；

9、区间 的端点一一统计量 ?1tff2分别称做置信下限和置信上限对于具体的样本值为公2；、，Xn,农，祕是直线上一个普通的区间，称做置信区间的一个实现.置信度是随机区间§,£ “包含或“覆盖未知参数二的值的概率.置信度一般选充分接近1的数,例如1 - :- = 0.95 直观上，如果屡次使用置信度为95%的实现包含 二的值，不包含 二值的情形大致只有0.95的置信区间呂，傀估计参数日，那么该区间平均有5%左 右.2、 单侧置信区间设 & b和a, ff都是参数e的1 -G置信区间，其中 a和b是常数或无穷大， 那么？,b称做下置信区间，而a,询一一上置信区间.7.26

10、 和例 7.27 ):3、置信区间的求法 设二是总体X的未知参数，X = Xi,X2，Xn是来自总体X的简单随机样本.建立未知参数 门的1 -:-置信区间的一般步骤为见例1选择一个包含参数二的样本的函数 T = f X;二，但是其分布不依赖于参数二；假设二-g X; T2对于给定的置信度1 -a，根据T的概率分布选两个常数分位数耐，扎2使之满足条件P '1 : T 2 =1 -；3利用v - g X; T和T =f X; 之间的反函数关系，由7.11式可得1a =卩打 T C2=日皿其中，假设T=f X;日是日的增函数，那么q=g X;人，马=g X; ；假设T = f X;日堤日的减

11、函数,那么=gX;人，$ =gX;，2;由此得参数日的1一a置信区间$1尼注 式7.11中I, 的选择有一定任意性，因此具有相同置信度的置信区间并不惟一.对于对称分布如正态分布、t分布以及偏度不大的分布如 2分布和F分布，通常按如下原那么选取'1/ 2:p I" P 七. 正态总体参数的区间估计正态总体参数的置信区间，主要是一个正态总体均值和方差的置信区间，以及两个正态总体均值差和 方差比的置信区间.1、一个正态总体参数的区间估计假设总体XN d；2 , Xi,X2/ ,Xn是来自总体X的简单随机样本；X是样本均值，S2是样本方差.表7-1列岀了二和二2的1 置信区间.表7-

12、1和二2的1 -：置信区间未知参数1 -a置信区间分位 数42 2 =°0区一电/衍,x +电0"0/亦附表22石未知区-tan4 s/石,X +02 S旺附表2CT2：n -1 S2n-1p2、72, y2l / «2, n4I憨2,n丿附表32、两个正态总体参数的区间估计 假设X Na2，丫NbQ： ； X1,X2/i ,Xm 和Y,Y2,，Yn分别是来自总体 X和Y的简单随机样本，X，S2，丫，Sy是相应的样本均值和样本方差；S：是联合样本方差见6.16式.ab和 2/坊：的1a置信区间列入表 7-2 .表7-2 均值差ab和方差比牡的1 -a置信区间未知参

13、数1 a置信区间分位数ab2 2或，byX -Y ux + y , x 一丫+u唧 2 + yI m n m nIJ附表22 2 x , y未知er2 “ yxyX 一丫 一匕宀丫丄中丄，X 丫*如s jIVmnHmn,附表2Y = m +n 2a2xyFQm-1, n-1皐，尸心n-1,m-1負<SySy J附表4三、典型例题及其分析例设Xj，Xn是从正态总体 NC,2)中抽岀的样本，要求估计 和二2.2 2 2【解】 "=E(X), D(X) =E(X ) - E (X).因此可用样本一阶原点矩和二阶原点矩去估计 A J、Xin i 二i1 n:?2 二 A2 _A；=八

14、X： 一(丄XJ2n i 二n y1 n21 n2Xi -X(Xi -X)2.n i 吕n i 二【解毕】实际上，不管总体服从什么分布，其总体均值的矩估计量都是样本均值X二1 J Xj，总体方差的矩n i吕估计量都是二阶样本中心矩，即1 nB2(Xi-X)2.n y例722设Xi,Xn是从区间0,二上均匀分布的总体中抽岀的样本，求的矩估计.解eE(X),2因此 An1'，Xi =X.2n i m4_所以二_ 2X,就是二的矩估计量.【解毕】例 设总体XN( = ；2)，样本值x1/ xn，求=；"的极大似然估计值解总体分布密度2)2-e卍2(x J)2样本的似然函数为Ln(X

15、i,n -=(/2 广口 e 2cF二;i =1取对数，得对数似然函数In Lnnn-In(2 二) In 匚22对二二求偏导数，并令其为零，得似然方程组In Ln；:C2n 1 、 /、2 c区2* 肓 t/X)2 1 n 2Xi =X,* = 送(x X). n in i丄2这就是与二2的极大似然估计值(数学上可以验证，Ln确实在，二 处到达极大值)I,匚2的极大似然估计量为【解毕】丄、Xj 二乂,；：?2 二1' (XX)2.n i 二例7.2.4 设总体XU 0门，来自总体X的样本Xn .求二的极大似然估计.【注】此例说明了求未知参数极大似然估计的方法1【解】X的分布密度f (

16、x; R - J0,其他.样本为，Xn的似然函数为Ln(XX2人；力二-【0,n, 0 X!,X2Xn 汀其他.由此式可见，要 Ln最大，只要最小，而由Ln的表达式知，当 v -max(x,X2xj时，为最小,此时Lp最大.故二的极大似然估计值为v - max(x-!,x xn)，而似然估计量为【解毕】二-maxgX Xn).1例7.3.1 设X!，Xn是从某总体中抽岀的样本，那么样本均值 XXi是总体分布均值 二的无偏估计.n巳【证明】设总体X的分布的期望E(X) 7，每个样本Xi的分布与总体分布相同，因此其均值E(XJ = v而 E(X)3=n2jn因此，样本均值 X是总体均值的无偏估计量

17、【证毕】2 1【注】 由此例题可知：在正态总体中，用X估计弋在指数分布总体中，用X估计一指3x 0数分布密度函数为fx=<'；在二项分布总体中用X/N估计p 二项分布概率分布为0,x"px =k =cNpk1pN七k = 0,1,2;_ N，以及在泊松分布总体中用X估计九泊松分布概率分布i ke为 P(X 二k)二一Aj,k = 0,1,2，等，都是无偏估计. k!1 n例 的无偏估计.样本方差S2Xj _x2是总体分布方差n 1 i -1【思路】2将样本方差S表达式分解，再求期望【证明】设总体分布期望为，方差为c2，那么n_n_2' (Xj -X)2 二

18、9; (X： -2XjX X )i 4inn2 + Xi2 -2X' Xi nXi 1iXi2 -nX2.E(X：)二 D(XJ E2(XJ 二 D(X) E2(X) = ；222 2E(X ) =D(X) E2(X),其中D(X) =D( XJ 舌 D(Xi)n y nD(X)冷nn所以2 1E(X )22. 于是n2 1 n 2 1n 22肓E(X)E(X )n 2 n 2J E(X-E(X ) n -1 in -1_2n 2|2| 22 = n Tn故S2是匚2的无偏估计.【证毕】【注】二阶样本中心矩 B2二丄 Xi - X 2是正态总体N C，二2方差二2的矩估计和极大似然估计

19、.但n i壬是，它却不是二2的无偏估计，因为E (B2)二E(n_1(XiE(S2)二例733 设总体X的样本Xj，Xn，那么当D(X)=O时，Xk比Xk有效.【思路】 首先想到样本均值是总体均值的无偏估计，那么比拟哪个有效的问题就转化为方差大小的比拟问题1 k _ 1 k【证明】XkXi,XkdXi.k i_1k 1 i由例7.3.1 知， E(Xk) =E(X),E(X k J )= E(X).1 1 由例 7.3.2 知，D(Xk)D(X), D(Xkj)D(X).kk 1显然D(Xk) ： D(Xk),所以Xk比XZ有效.例试证：样本均值Xi是总体均值n i 二J的相合估计【证明】由大

20、数定律知，样本的算术平均值是依概率收敛于总体均值的，即对于任给；0，有lim P(Xn -卫 g =0. n'【证毕】因此，X n是"的相合估计1 n 一例7.3.5试证明二阶样本中心矩B2( n)(Xj-Xn)2是总体方差C2的相合估计n i#【思路】此题只要能证明limP( B2( n)-坊2王 =0.即可，仍要基于大数定律来证【证明】 设总体X的均值为 巴方差为2.nn_、(Xi)2 八(Xi -Xn)2 (Xn)2i :1inn八(Xi -Xn)2 n(Xn)2 2(Xn)' (XXn),i =1i dn_那么、(Xi -Xn)二nXn -nXn =0,所以i

21、 =1_n_2(Xn(Xi -Xn) =0.il因此 B2( n)二丄V (Xi Xn)2(Xi)2 (Xn)2.nn i 二1 n_依大数定律(Xj - 92依概率收敛于E(X - 92二C-2，而Xn - L依概率收敛于 o,故B2(n)依概率n i 4收敛于匚2，即它是总体方差 c2的相合估计.【证毕】【注】样本方差S2也是总体方差二2的相合估计.例7.4.1用某仪器间接测量温度，重复测量5次，得1250 ,1265 ,1245 ,1260 ,1275.试问，温度的真值在什么范围内？【思路】先把问题化为数学问题.用表示温度的真值，X表示测量值.X通常是一个正态随机变量, 假定仪器无系统偏

22、差.E(X) - '-.现测量5次，得到X的5个样本值.问题就是在未知方差(仪器的精度) 的情况下，找 的置信区间.设二=0.05.【解】禾U用式(7.2)，的置信区间为X “0.025 (n - 1)-,x+t°.025(n - 1)孚.Jn寸nn =5,而1x (12501275)=1259,5S2L (1250-1259)21275-1259)25-1=92 62 142 12 162二570于是4 4=5.339,n 1=4.查 t分布表得 t0.025(4) = 2.776,故S t:./2(n - 2.776 5.339 =14.8,Sx -t：./2(n -1)

23、一 1259 -14.1244.2,_sx t-./2(n T)= ： 1259 14.8 =1273.8.Vn【解毕】于是温度真值J的0.95置信度的置信区间为1244.2,1273.8.【注】X-1“( n_1)莘,X+t&2( n- 1)莘.QnQn(7.2)综例设总体X，其简单随机样本为 X1/ Xn,Xn1,那么分别用Xn,X-x Xi, n i 二Xn1 Jn 1X Xi，估计总体的数学期望时( n 1 y)最有效.【思路】 先看它们是否是总体均值的无偏估计，如果是,那么进一步比拟其方差的大小，方差最小者最有效.【解】设总体期望为为方差为；2.样本与总体同分布.所以 E(X

24、n)二，E(Xn)二，E(Xn 1)=，三者均是J的无偏估计.D(Xn) =D(X) =：;2. 21 2 ；-D(Xn)2n；二nn1 2DE【解毕】x1,x2/ xn为样本的观察值.三者比拟，X n .1的方差最小，故为最有效综例7.5.2 设总体X的概率密度函数为f(X) = 0,其中0和都是参数.又假设X1/ Xn,Xn 1,为总体的简单随机样本，而(1)设 人，求 卩的极大似然估计卩.(2)设.二，求的矩估计.【思路】此题是考察点估计的两个根本方法，逐一解之【解】 (1)，写岀似然函数(nLn(X1,Xn；A 'ne i1 ,当 Xi时(i =1,2/ n),0,其他.nnl

25、n 丸4(迟人一n»),当x 工卩时(i =1,2： n),ln Ln 二二u其他.这说明lnLn是随的增加而增加的.由于N，x2, 人均大于等于 ，所以要使lnLn最大，只须 最大,而Jax二mi ng,Xn),此值即为的极大似然估计，即二二min(Xpxn).(2)直接求E(X)- _ 1E(X)二 x e-'xdx二(y： ；)eiydy由矩估计法，这里，故的矩估计为亠 41'L其中XZ【解毕】【技巧】 求的矩估计，可利用指数分布的期望公式，做变换:令Y = X -讥于是Y的概率密度为f (y八 0,yy 0.1因此，丫的期望E(Y) ，从而1e(XXE(Y)“

26、 * 利用 X=E(X),故一 一综例7.5.3 设总体x 4 N(1,b2)®未知,抽取简单随机样本 X1r xn,xn41,，问金=丄元区一1是否为二的无偏估计?【思路】要判断一个估计量是否无偏估计，就是要求估计量的数学期望，此题估计量个和式，根据数学期望的性质，首先求其中每一项的期望，然后求岀期望的和【解】设随机变量 丫二X -1,因为XN2),所以丫N(0f2),E X -1y22；'dy-COy2=2 . y 尸dyE(»n131匚送EXi -1=-JmEn=2： T 二；(因为样本Xi与总体X同分布)，故为二的无偏估计.【解毕】综例7.5.4 设总体XU

27、0, r( U为均匀分布)，来自该总体 X的样本X1,X2/ Xn,在例和例7.2.4 中已求岀过0的矩估计量日=2X和极大似然估计量 0? = max(X1Xn),试判断他们的无偏性和比拟有效性.【思路】对极大似然估计量 住求期望和方差，需要先求岀处的概率密度函数.要用到极值分布，然后利用积分求极值和方差解E(另=E(2X) =2E(X) =2,所以二是二的无偏估计量.2由于 g =max(Xj，Xn),而XX2，Xn,独立与总体X同分布.由xU0,日，所以1f (x) - V【0,0, x c 0, xF (x), 0 乞 x 乞其他.-61, X X(z)二 Fx,(z)Fx2(z)卩冷

28、(z)二F (z)n,fg (z) = Fa (z) = nF n(z) f (z)=zn' n - n0,其他.日“-E何)=zn|dz=詩百严n -1Zn4, 所以不是无偏估计.但是. n 14假设令"山儿那么nE(g)4 - .因此-1是二的无偏估计.n n 1D(的二 D(2X) = 4D(X) = 4 D (X )nn 12.2D(dL)二 E(vl) -E2(vl),日n -1E何2)字n养论2-24D(=l)= 2 _(亠旳2 二n于n 2 n 1 (n 1)2(n 2)D&) =(n 】)2D(和二1nn(n 2)4当n>1时，总有n(n 2)3

29、n,故除非n = 1,小的方差总比4二的方差小，且不管未知参数V取什么值都对，故在“方差小者为优这个准那么下,力优于二，当n =1时，二与r i重合.44对于-L，由于-L不是无偏估计，可计算其均方误差444E(dL 一专2 二 D(m) El) T2n *(亠 n+12(n 1) (n 2)")2( n 1)( n 2)'所以，从均方误差小者为优来看，4E(dL 一汀，与E口 -旳2二DG) 比拟，当n 3时3n44E(vl -二)？ ：: E(v - J)?,故当 n 3 时,44n =1,2时，二与二l重合.4综上分析可知：矩估计v是二的无偏估计，当 n42-3时，均方

30、误差 E& -门)较大；极大似然估计量4呀二max(X1，Xn),是二的有偏估计，但当 n 一 3时，均方误差小于前者 .即二l的误差平均讲比前者小【解毕】综例7.5.5 设总体X U(0, e)，X1,X2,X3是X的一个容量为3的样本，X的分布函数为1 X,XF(D, X (0门)，I00, x_0.4试证：一 maxXj,4min Xi都是的无偏估计，并比拟它们哪个更有效？3 1唸1« i【思路】要讨论无偏性和有效性，就要计算估计量的期望和方差，这就必须知道它们的概率密度函数于此题的两个估计量，其概率密度是极大值、极小值分布.亠 44 亠【解】设二 1 max Xi m

31、 ,二2 = 4mjn Xi = 4N.由于1, X,xF(xy), x (0J),I90, x 乞 0.故统计量M的分布函数为1,xjFm (x)珂F(x;d)3 = (f)3,x (0J),0,x_0.而统计量N的分布函数为Fn(x) =1(1 F(x;R)3 = 1-(1-为3,X (0,0°，从而m二maxXi,N二mXi的密度函数分别为工3x2fMx=疗 X 呻0 其他3( 1-x )2fM(x)二二0x (0,"其他.e故 E(M )二 x0日3 x1E(N x-(-)2d-A4A因此 E(R)=E(M)-> E(T2) = E(4N)3故V 1,2均为无

32、偏估计.22& 2 3x23D(M)=E(ME (心。如沪D(小 E(N2)E2(N)x2» 为気亡)-看2因此由于D(g) =D(4M )二16。 )=址2日2 =丄日2399 80D(纟)二 D(4N) =16D(N) =1628044A AD(x) ： D(h2)，所以 X较二2更有效.155【解毕】综例设X1,X2/ Xn,是来自总体X的简单随机样本，X的概率密度为-1x：'f(xwx e，当 X 0, 当x岂0.其中0为未知参数，-为常数，求'的极大似然估计.【解】 设一组样本值为 ,X2,xn，似然函数为n(益押 n n n(-.J)i j.Ln(

33、Xi, X2,Xn； J -X 一 e -,nln Ln 二 n In ； ：； n In 二 n n ( :- -1) In x；=x,7d in | n nn.将样本值以样本随机变量替代,巳1巴=丄_7 xf=O得，=n/v x< ,次即为的极大似然估计值 d 几'. i 4i A【解毕】那么得的极大似然估计量为综例7.5.7 箱中有100个球，其中只有红色和白色两种球，现从箱中有放回地每次抽岀一球，共取6次.如岀现红球记为1，岀现白球记为 0,得数据1,1, 0，1，1，1.试用矩估计法估计红球的个数r.【思路】 为有放回抽球 6次，相当于作n =6的独立重复试验，设每次抽

34、岀的红球个数为X个，其可能取值为0，1,那么X服从参数为p的两点分布，其中 p为每次抽到红球的概率，这里 p = r/100，因此 只要估计岀p，即可得r的估计值.【解】 由两点分布可知，E(X) = p,x =E(X),而X15(110111),所以0®6.由 p"100，于是，10" 10>.6 6故8红球的矩估计值为r = 83个.【解毕】 综例7.5.8 设X1,X2/ X2n,为来自总体 N(j二2)的简单随机样本，现有未知参数 的两个估计量,1£ =Xi,T2' X2i,问T|,T2是否为亠的无偏估计？假设是，哪一个更有效?n

35、7【思路】求两个估计量的期望和方差，然后比拟2n解T X =2n1 Xi,i -1E(T二E(Xi)2n1 n1E(T2)E(X2i) (E(X2) E(X4) E(X2n)n i 二n1n -n故Ti ,丁2均是I的无偏估计量.D(TJ1 2n二 D(L Xi)2 n i 二1 o 2戸2n二4n2122n D(X) 4n22CT2n，1 ni_ 2二 D(丄' X2i)D(X) =n ynn故D(TJ ： D(T2)，久较丁2更为有效.【解毕】综例7.5.9 设XX2,Xn,和YU Ym是两组简单随机样本，分别取自总体XN(巴1)和nmYN(»22),的一个无偏估计有形式

36、TXiYj,那么a,b应满足条件 ；又当i吕ja =， b =时，T最有效.【思路】因为要讨论无偏性，要求E(T)-，从而可求岀 a,b应满足的条件.要求T最有效，那么应使其方差最小，此时 a,b应取一特定值.nmnm【解】E(T) =E(a、Xi b、Yj)=a、E(XJ b、E(Yj)i =1j =1i =1j =1=an 二订 bm=(an bm ).当 an bm =1时，E(T)二故a,b间应满足an bm = 1的条件.nmD(T)二a2' D(XJ B2' D(Yj)二 a2n b24m,=1j =1代入an bm =1关系式，得D(T) =(1-bm)2/n 4

37、mb2.求 dDIKdb一如(1 bm) 8bm =0,得b 1 ,a m 4n=(1 -bm)/ n = 4/m 4n = 4b.因为曽旦伽0,dbn故当b 二 m 4n11一，a=4b时，D仃最小.即此时估计量 T最有效.【解毕】综例设X1,X2/ Xn,是来自正态总体 XNO,；2的一个简单随机样本，试求二2的极大似然估计量，判断是否为 c2的无偏估计量，并求估计量的方差【解】样本联合密度函数即似然函数为n qx2L為，X2，召；二e 2二i二寸2兀坊两边取对数，得n21In LIn(22)222crn 2瓦x ,i生2对二求导，得d I n L ndL) 一 2；2令斜=0,得唯一驻点

38、少1n丄x2.n i a<0,故&为极大值点也为最大值点，所以2 1 n 2 2x为二的极大似然估计值.n i吕1 n匚2的极大似然估计量为：:?2X：.，为判别：？2是否为匚2的无偏估计，对：？2求期望n im1 n1 n1E(；?2)=E(' Xi2)-1' E(x2)=丄门匚2=；2n yn yn1 n故；？2Xi2.是二2的无偏估计量.n i #1 n1D(；?)=D(v Xj2)2nD(X：)(易证 X；, , X；相互独立)，n巳n而 D(X；) = E(Xi4)-E2(X：),y；x241 時&e dx., 2 二；xLE(X：)= Jx4e

39、2Cfdx=2 Jx q (2g0用分部积分法易算得 E(Xi4 = 4,因此D(X：)-(；2)2 =2，,从而DC'?2 .【解毕】n综例7.5.11设某种电缆有内外两个绝缘层记外绝缘层的寿命为 X，内绝缘层的寿命为 Y,(X,Y)有联合密度.f (x, y) = 2v 2e 4x y)/: x y ；：.设(XjM),(Xn,YJ为(X,Y)的一组简单样本， 求二的极大似然估计.此估计是否为无偏估计？说明 理由.【思路】这是二维总体随机变量(X,Y)，总体分布是联合密度函数，样本也是二维独立随机变量对，欲求极大似然估计，应取样本值，即(Xi , yj(Xn, yn),判断无偏性会

40、涉及到二维随机变量的数学期望计算【解】二的似然函数为nL(R -ji.Ii =1nf (人$;旳：丨2二o 一；(士 xi 云 )e i 1 n In L(v) = n In 2-2n In ('d In L 2n 1 八n2 (Xi“ iyi).d l n L1 n令0,解得(Xj ' yi),易判断二为极大值点，也是最大值点，故所求极大似然dr2n id1 n估计量为，一(Xi .丫).2n i m亠 1 n 1Eg礼(Eg) E(Y)匕(E(X) Eg.分别求岀E(X), E(Y).先求X ,Y的边缘概率密度fX(：f(x,y)dyPeIdy#/x 0,XfY(y)彳e Jx 二(eWe令),y .0,0廿廿'迓 2_3xE(X)二 x0日E(Y)= y2(eMe3dy=2 寸2->1/3 '所以E(r)= ( ) - v,故v是v的无偏估计量.2 2 2【解毕】综例 7.5.12 设某种清漆的9个样品，其枯燥时间以小时计分别为6.0,5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,6.1,5.0.设枯燥时间总体服从正态分布N,；2，求的置信度为0.95的置信区间方差；2未知.解由于巴坊2均未知，应选随机变量 T =Mt n-1s/Jn从而有p(S/2 卜0.025 (8)=0.