一阶电路和二阶电路的时域分析

1、第 7 章一阶电路和二阶电路的时域分析教研室：基础教研室教师姓名：课程名称授课内容目的要求重点与难点讲授内容及时间分配电路（一）授课专业及班次电气工程及其自动化换路定律， 初始值的求法， 由换路后的电路求时间常数。 经典法求零输入响应、 零状态响应和全响应。 一阶电路的三要素法， 阶授课方式及学时讲授、讨论， 12 学时跃函数和阶跃响应， 冲激函数和冲激响应。 经典法求二阶电路零输入响应。熟练掌握一阶电路的经典法和三要素法。掌握二阶电路的经典法。 了解一阶电路的阶跃响应和冲激响应。重点：一阶电路的经典法和三要素法，二阶电路的经典法。难点：用戴维宁定理求一阶电路。求含受控源电路时间常数。（ 1）

2、换路定律，初始值的求法。 （ 2 学时）（ 2）经典法求零输入响应、零状态响应。 （ 2 学时）（ 3） 全响应、一阶电路的三要素法。 （ 2 学时）（ 4）阶跃函数和阶跃响应，冲激函数和冲激响应。（ 2 学时）（ 5）经典法求二阶电路零输入响应。 （ 2 学时）（ 6） 习题讲解（ 2 学时）教具黑板、粉笔参考资料§7-1 动态电路的方程及其初始条件一、动态电路的方程1.动态电路 ：含有动态元件（电容或电感）的电路。2.动态电路的方程： 电路中有储能元件（电容或电感）时，根据 KCL、KVL 和 VCR 所建立的电路方程是以电流 、电压为变量的微分方程或微分 -积分方程，方程的阶数

3、取决于电路结构和动态元件个数。一阶动态电路：仅含一个动态元件的电路。3.换路和过渡过程 ：当电路的结构或元件的参数发生改变时（如电源或无源元件的断开或接入， 信号的突然注入等），称为换路，换路可能使电路改变原来的工作状态，而转变到另一个工作状态，这种转变需要经历一个过程，在工程上称为过渡过程。t0 ：换路时刻，换路经历的时间为0_ 到0 ；t 0 ：换路前的最终时刻；t 0 ：换路后的最初时刻；4.经典法（时域分析法） ：根据 KCL ，KVL 和 VCR 建立描述电路的以时间为自变量的线性常微分方程，然后求解常微分方程，从而得到所求变量（电流或电压）的方法。用经典法求解常微分方程时，必须根据

4、电路的初始条件确定解答中的积分常数。电路独立初始条件：uC (0 )和i L (0 ) ，其余称为非独立初始条件。二、电路的初始条件1.电容的电荷和电压tqC (t ) qC (t0 )t0 iC ( )d1 tuC (t ) uC (t0 )C t0 iC ( )d取 t 0 0 , t 0, 则0iC ( )dqC (0 ) qC (0 )010uC ( 0 ) uC ( 0 )iC ( )dc0若 i C有限 ， 则00 ，且iC ( )d0qC (0)qC (0)uC (0)uC (0)2.电感的磁链和电流L (t)L (t 0 )tu L ( )dt01 ti L (t )i L (

5、t 0 )L t0 uL ( )d取t 00 , t0 ，则L(0 )L(0 )0uL ( )d010i L (0 ) i L (0 )u L ( )dL00若 uL（有限）， 则0u L ( )d0 , 且L(0)i L (0 )L(0)i L (0 )3.换路定则uC (0 )uC (0 ) 和iL (0 )iL (0 )4.非独立初始条件 （电阻电压或电流、电容电流、电感电压）需要通过已知的初始条件求得。5.确定初始值的方法(1) 由t0时的电路， 求出 uC(0-), i L(0-)；(2) 求出独立初始条件；(3) 把电容用 uS uC (0 ) 的电压源代替，把电感用 i S i

6、L (0 ) 电流源代替；画出0+等效电路；(4) 由0+等效电路，求出各电流、电压的初始值。例7-1 见教材 p139例7-1§7-2 一阶电路的零输入响应零输入响应：无外施激励，由动态元件的初始值引起的响应。一、RC 电路的零输入响应电路的微分方程为RC duCuC 0t 0dtuC (0 )uC (0 )U 0i (t)C du CtU 0 e RCt 0dtR这里，特征方程 RCs + 1 = 0，特征根 s1，时间常数RC 。RC，换路时， i (0 ) 0 ，但 i (0 )U 0 ，电流发生跃变；R 时间常数越小，电压、电流衰减越快，反之，则越慢；t 0 时， uC (

7、 0)U 0 e0U 0 ；t时 ,uC ( )U 0 e 10.368U 0 。过渡过程的结束，理论上； 工程上 t (3 5) 。 RC ，可用改变电路的参数的办法加以调节或控制； 能量转换过程：电容不断放出能量，电阻不断消耗能量，最后，原来储存在电容的电场能量全部为电阻吸收并转换为热能。二、 RL 电路的零输入响应一阶 RL 电路如图 (a)所示， t=0- 时开关 S闭合，电路已达稳态，电感 L 相当于短路，流过 L 的电流为 I0。即 i L(0-)=I0，故电感储存了磁能。在 t=0时开关 S打开，所以在 t 0时，电感 L 储存的磁能将通过电阻 R放电，在电路中产生电流和电压，如

8、图 (b)所示。由于 t>0 后，放电回路中的电流及电压均是由电感 L 的初始储能产生的，所以为零输入响应。由KVL 得uLuR0uLL diL , uRRi Ldt根据换路定律，得初始条件为tRtRiLiL (0 )e LI 0e Lt0令 =L/R，它同样具有时间量纲，是R、L串联电路的时间常数。这样，上式可表示为ttiLiL (0 )eI 0et0由L ，L 越小，或 R 越大，则电流、电压衰减越快。R 零输入响应是在输入为零时， 由非零初始状态产生的， 它取决于电路的初始状态和电路的特性； 零输入响应都是随时间按指数规律衰减的，因为没有外施电源， 原有的贮能总是要逐渐衰减到零的；

9、例题 见教材 p144 7-2 至 7-3§7-3 一阶电路的零状态响应零状态响应：零初始状态下，由在初始时刻施加于电路的输入所产生的响应。一、 RC 电路的零状态响应如图所示一阶 RC电路，求解其电容两端的电压 UC。(t)i (t)U suC (t )RuRuCU si C duC ,uRRiRC duCdtdtduC1uC1 U sdt RCRC其初始条件为uC (0 )0通解为uCuCh(t )uCp(t )tuCh (t)AeRCt0uCp (t)QU St0uC (t ) uCh (t)uCp (t )t0Ae RCU St其中uC ( 0 ) A U S0AU Sttu

10、C (t)U S e RCU SU S (1 - e RC )t0uCp (t) 为稳定分量，与外施激励的变化规律有关，又称强制分量； uCh (t) ( 对应齐次方程的通解 ) 取决于特征根， 与外施激励无关， 也称为自由分量，自由分量按指数规律衰减，最终趋于零，又称为瞬态分量。二、 RL 电路的零状态响应类似于 RC 电路，可求出零状态响应为R tiL (t )I S (1 e L ) t 0 当电路达到稳态时，电容相当于开路，而电感相当于短路，由此可确定电容电iL ( ) 相当于 L支路的短路电流压或电感电流稳态值；稳态值)相当于 C；uC (支路的开路电压、uC , i L 从零向某

11、RC RL 电路，输入直流电，贮能从无到有，逐步增长，所以，一稳态值增长，且为指数规律增长；§7-4 一阶电路的全响应线性动态电路的全响应是由来自电源的输入和初始状态分别作用时所产生的响应。全响应= 零输入响应+ 零状态响应全响应也可以分解为暂态响应和稳态响应全响应= 暂态响应（固有响应） + 强制响应（稳态响应） 暂态响应：随时间按指数规律衰减，衰减快慢取决于固有频率； 稳态响应：常量（不随时间变化）, 取决于外加输入；在有损耗的动态电路中， 在恒定输入作用下， 一般可分两种工作状态 过渡状态和直流状态，暂态响应未消失期间属于过渡期。三要素法 （适用于直流输入）一阶直流电路内任意响

12、应f (t) 是由 f (0 )， f () 和三个参量所确定的， 只要算得这三个参量，就可根据上式把解答直接写出，不需要求解微分方程。f (0 )， f () 和分别是任意响应的初始值、稳态值和时间常数三要素法：求得电压、电流的初始值、稳态值和时间常数后，直接写出其解答式的方法。a、初始值的求取：独立初始值依据换路准则；非独立初始值的求取用电压为uC (0 )的直流电压源置换电容， 用电流为iL (0 )的直流电流源置换电感，画出t = 0+时的等效电路（直流电阻电路） ，可求出任一非独立初始值；b、稳态值的求取：用开路代替电容或用短路代替电感，画出t = 时的等效电路（直流电阻电路），可求

13、出任一稳态值；c 、时 间 常数的求 取： 求出戴维 南或 诺 顿等 效电 路中 等效电阻 Req ，则ReqC或LReq；td、写出解答式：f (t )f ()f (0 )f () et0例 见p154例 7-4、 7-5§7-5 二阶电路的零输入响应二阶电路：用二阶微分方程描述的动态电路。在二阶电路中，给定的初始条件应有两个，它们由储能元件的初始值决定。RLC 串联电路和 GLC 并联电路为最简单的二阶电路。LC d 2uCRC duCuC 0dt 2dt特征根p1 .2R( R)212L2LLC一、 R 2 L ,非振荡衰减放电过程 （过阻尼情况）C当R 2L1和p2是两个不相

14、等的负实根。图见教材158 页图 7-19C时，固有频率 puC ,i L 始终不改变方向， uC0,i L 0 ，电容放电；lnp2u L 改变一次方向，电感电压的过零时刻 ttmp1时，回路电流达最大值；p2p1 t tm ，电感吸收能量，建立磁场； t t m 电感释放能量，磁场逐渐衰减，趋向消失；二、 R2L ，衰减振荡放电过程 （欠阻尼情况）C如果 R2L ，则固有频率为共轭复数。C能量转化关系见教材161 页图 7-22 和表 7-2。L三、 R2临界情况 （临界阻尼情况）C当 R 2 L 时， p1, p2 为相等负实数，微分方程的解为CuC (t ) A1 e p1 tA2 t

15、 ep2 tp1p2- R2L电路的响应仍然是非振荡性的，如果电阻稍微减小，以致R2L，则响应将为C振荡性的。当符合R2L时，响应处于临界振荡状态，称为临界阻尼情况。C例 见教材 p159 7-6、p161 7-7、7-8§7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应单位阶跃响应：单位阶跃函数输入的零状态响应。1 单位阶跃函数.0t0单位阶跃函数 (t )t01延时单位阶跃函数 (tt0 )0tt 01tt02.阶跃函数表示电源作用3.阶跃函数可用来 “起始 ”任意一个函数f (t) (tf (t )tt0t0 )tt004.阶跃函数和延时阶跃函数可表示分段常量信号，如方波等波形f (t)(

16、t )(tt0 )5.阶跃函数的求解步骤 阶跃响应 s(t ) ：单位阶跃输入的零状态响应（即换路后电源为单位电源）； 把实际电源部分用阶跃响应的线形组合表示出来 用单位阶跃响应s(t ) 和其延时函数替换电源中的阶跃函数和延时阶跃函数。例 参见教材 169 页 7-11、 7-12§7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应一、冲激函数.(t) 是一种奇异函数1 单位冲激函数(t )0当（ t0）(t) dt12.单位脉冲函数p (t ) 单位脉冲函数p (t )所围的面积为 1， 其高度为1 ； (t ) 函数可看成单位脉冲函数 p (t ) 的一种极限，当一个单位脉冲函数的宽度变得越

17、来越窄时，它的幅度越来越大，当0 时，幅度就变为无限大，但其面积仍为 1；3.单位延时冲激函数(t t 0 )0当（ tt 0）(tt0 )dt1二、冲激函数的性质1.冲激函数是阶跃函数的导数t)d1t0(0t0t)d(t )(d (t )(t)dt2 筛分性.f (t) (t )f (0)(t )f (t ) (t )dtf (0)(t) dtf (0)(t )dtf (0)f (t) (tt 0 )dtf (t 0 )三、电容电压和电感电流的跃变1.电容电压的跃变零状态条件下uC (t)1tidC uC (0)10Cidt0-若在 t0时，流过电容的电流为单位冲激电流i (t) ，则uC (0 )1C2.电感电流的突变零状态条件下i L (t)1tLudt 0 iL (010)udtL0 -若在 t0 时，施加于电感的端电压为单位冲激电压u (t) , 则i L (0 ) i L (0 - )1L四、冲激响应1.冲激响应 h(t) ：零状态电路对单位冲激信号的响应；2.计算冲激响应的两种方法 ：先计算由 (t)产生的在 t0时的初始状态，然后求解由这一初始状态产生的零输入响应（前述方法），即为 t0时冲激响应h(t) ；由阶跃响应求冲激响应： 线性非时变电路的冲激响应是它们的阶跃响应的导数，dh(t)s(t ) ，求冲激响应的另一种方法，先求阶