教师用：全等三角形问题中常见8种辅助线作法

1、全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1. 等腰三角形“三线合一”法： 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2. 倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3. 角平分线在三种添辅助线4. 垂直平分线联结线段两端5. 用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6. 图形补全法：有一个角为60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形7. 角度数为30、 60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另

2、一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90 的特殊直角三角形，或40-60-80 的特殊直角三角形, 常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2) 遇到三角形的中线，倍长

3、中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法( 1)可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点 再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.6）已知某线段

4、的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.、倍长中线（线段）造全等 例1、（“希望杯”试卷）已知，如图 ABC中，AB=5, AC=3则中线AD的取值范围是 解：延长 AD至E使AE= 2AD,连BE,由三角形性质知例2、如图， ABC中，E、F分别在 AR AC上，DEL DF, D是中点，试比较 BE+CF与EF的EG= EFAB-BE <2AD<AB+BE 故 AD的取值范围是 1<AD<4在 BEG中，由三角形

5、性质知EG<BG+BE故：EF<BE+FC例3、如图， ABC中，BD=DC=ACE是DC的中点，求证： AD平分/ BAE.解：延长 AE至G使AG= 2AE,连BQ DG,显然 DG= AG/ GDC= ACD由于 DC=AG 故 / ADCN DAC在人口8与4 ADG中,BD=AC=DG AD= AD/ ADB之 ADC它 ACDh ADC吆 GDG= / ADG故 ADB ADG 故有/ BAD4 DAG 即 AD平分 / BAE应用：1、(09崇文二模)以的两边 AB、AC为腰分别向外作等腰AABC Rt MBD和等腰(1)如图当 凸ABC为直角三角形时，AM与DE的位

6、置关系是， 线段AM与DE的数量关系是；(2)将图中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转0 (0<0 问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.二 1<90)后，如图所示，(1)M二RtAACE, /BAD =/CAE =90 口,连接 de, m、n 分别是 BC、DE 的中点.探究：AM 与 DE 的位置关系及数量关系.4 / 11二、截长补短1、如图，AABC 中，AB=2AC AD平分/BAC,且 AD=BD 求证：CDL AC解：（截长法）在 AB上取中点F,连FD ADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知DF± AB,故/ AFD= 90°

7、; AD阵 ADC （SAS/ ACD= / AFD= 90 ° 即：CDL AC2、如图，AD/ BC, EA,EB分别平分/ DAB,/ CBA CD过点 E,求证。AB= AD+BC解：(截长法)在 AB上取点F,使AF= AD连FE AD® AFE (SAS/ADE= / AFEZADE-hZ BCE= 180°ZAFE+Z BFE= 180°故/ ECB= / EFB FBE CBE (AAS故有BF= BC从而。AB= AD+BC03、如图，已知在 ABC内，/BAC=60 , /C=40°, P, Q分别在 BC, CA±

8、;,并且 AP,BQ分别是/BAC, /ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP解：（补短法，计算数值法）延长 AB至D,使BD= BP,连DP 在等月BPD中，可得/ BDP= 40°从而/ BDP= 40° =/ ACP AD国 ACP (ASA故 AD= AC又/ QBC= 40° =Z QCB 故 BQ=QCBD= BP从而 BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形 ABCD43, BO BA,AD= CD B叶分/ABC,求证： A C =1800解：(补短法)延长 BA至F,使BF= BC连FD BD阵 BDC (SAS故/ DFB= / DCB

9、 , FD= DC又 AD= CD故在等腰 BFD中/ DFB= / DAF故有/ BAD吆 BCD= 180°5、如图在 ABC中，AB>AC, / 1 = /2,P为AD上任意一点,求证。AB-AO PB-PC连PD解：(补短法)延长 AC至F,使AF= AB) AB国 AFP (SAS故 BP= PF由三角形性质知PB- PC= PF PC < CF = AF AC= AB- AC应用：1、如图所示，已知 ABC中AB>AC, AD是/ BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证： MB-M(k AB- AC.（答案与解读）证明：: AB> AG 则在 A

10、B上截取 AE= AC,连接 ME在 MB科,MB- ME< BE （三角形两边 之差小于第三边）.'AC =AE （所作），在AMC4AME中，</CAM =/EAM （角平分线的定义），AM = AM （公共边）,.AM挈 AME （SAS.MC= ME （全等三角形的对应边相等）.又 BE =AB- AE,BE =AB- AC,. MB -MCX AB- AC.（点评）因为AB> AC,所以可在 AB上截取线段 AE= AC这时BE= AB- AC,如果连接EM在 BME中，显然有 MB- ME< BE.这表明只要证明 ME= MC则结论成立.充分利用角平

11、分线 的对称性，截长补短是关键.、平移变换例1 AD为 ABC的角平分线，直线 MNL AD于A.E为MNL上一点， ABC周长记为 PA , EBC周长记为PB .求证PB > PA .解：（镜面反射法）延长 BA至F,使AF= AC,连FEAD为 ABC的角平分线，MNLAD知 / FAE= / CAE故有 FAE CAE （SAS故 EF= CE在 BEF 中有：BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC从而 Pb=BE+CE+BC>BF+BC=BA+ACPBC=例2如图，在 ABC的边上取两点 口 E,且BD=CE求证：AB+AC>AD+AE.证明：取BC中点M,

12、连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.v BD=CE,DM=EM,.,.DMNAEMA(SAS),DN=AE,同理BN=CA.延长 ND 交 AB 于 P,WJ BN+BP>PN,DP+PA>AD, 相力口得 BN+BP+DP+PA>PN+AD, 各减去 DP,得 BN+AB>DN+AD, . AB+AC>AD+AE 。四、借助角平分线造全等1、在 A ABC中,AB> AC.求证：/ B< / C（答案与解读）证明：作/ A的平分线，交BC于D,把 ADC沿着AD折叠，使C点与E点重 合.AC =AE在ADd AADE 中 «/CA

13、D =/EAD .ADe ADE （SASZ AED= /CAD =AD一/ AED是ABED的外角，丁. / AED> / B,即/ B< / C.（点评）作以角平分线为对称轴的 翻折变换构造全等三角形2、如图，已知在 ABC中，/ B=60° , ABC的角平分线 AD,CE相交于点 O,求证：OE=ODDC+AE =AC证明（角平分线在三种添辅助线，计算数值法）/B=60贝叱 BAC+/ BCA=120 度。AD,CE均为角平分线，则 / OAC+/ OCA=60 S = Z AOE=ZCODo/AOC=120 度.在AC上截取线段AF=AE,连接OF.又 AO=A

14、O 。 / OAE= / OAF.则，OAE0 AOAF(SAS), OE=OF。AE=AF。/AOF=/AOE=60 度.则 / COF= / AOC- / AOF=60 度=/ COD。 又 CO=CO。/OCD=/OCF.故，OCD0 AOCF(SAS), OD=OF。 CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.DEI AB于 E, D。AC于 F.3、如图， ABC中，AD平分/ BAC DGL BC且平分 BC,（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a , AC=b ,求AE、BE的长.解：（垂直平分线联结线段两端）连接BD, DCDG直平分BC,故BD= DC由于A

15、D平分/ BAC DE± ABT E, DF± AC于F,故有ED= DF故 RTA DBE RTA DFC （ HL）故有BE= CRAB+AC= 2AEAE= ( a+b) /2BE=(a-b)/2五、旋转BE+DF=EF 求/ EAF 的度数.BEC例1正方形ABCD43, E为BC上的一点，F为CD上的一点,证明：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABGWJ GE=GB+BE=DF+BE=EF又 AE=AE , AF=AG ,所以三角形AEF全等于AEG所以/ EAF= / GAE= / BAE+ / GAB= / BAE+ / DAF又 / EAF+

16、/ BAE+ / DAF=90所以/ EAF=45度例2D为等腰RtAABC斜边AB的中点，DML DN,DM,DN别交BC,CA于点E,F。(1)当NMDN绕点D转动时，求证 DE=DF(2)若AB=2,求四边形DECF勺面积。解：(计算数值法)(1)连接DC11 / 11D为等腰RtAABC斜边AB的中点，故有 CDL AB, CD= DA CD平分/BCA=90° , / ECD = /DCA = 45°由于 DML DN 有 / EDN= 90由于 CDAB,有/ CD=90° 从而/ CDE= / FDA =故有 CD国 ADF (ASA故有DE=DF

17、Sa abc=2, S 四 DEC= S AC=1应用：如图， MBC是边长为3的等边三角形，ABDC是等腰三角形，且 /BDC=120°,以D为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN则MMN的周长为;解：(图形补全法，“截长法”或“补短法”，计算数值法)AC的延长线与BD的延长线交于 点F,在线段 CF上取点巳使CE=BM.ABC为等边三角形， BCD为等腰三角形，且/ BDC=120 ,/ MBD= / MBC+ / DBC=60 +30° =90° ,ZDCE=18 0 -ZACD=18 0 -ZABD=90 ,又 BM=CE , BD=CD , . CDEA BDM , ./ CDE= / BDM , DE=