数学建模方法

1、 本书主要介绍实践中经常用到的数学方法，本书主要介绍实践中经常用到的数学方法，主要内容有：主要内容有：数学建模概述、数理统计方法、最数学建模概述、数理统计方法、最优化方法、微分方程与差分方程方法、模糊数学优化方法、微分方程与差分方程方法、模糊数学方法、图论方法以及其他方法方法、图论方法以及其他方法. . 本书有两大特点，一是内容比较全面，应用本书有两大特点，一是内容比较全面，应用书中的方法基本上能够解决实际中常见的数学问书中的方法基本上能够解决实际中常见的数学问题；二是通俗易懂，使学过微积分、线性代数、题；二是通俗易懂，使学过微积分、线性代数、概率论的读者容易自学概率论的读者容易自学, , 对

2、学过数理统计和线性对学过数理统计和线性规划的读者来说规划的读者来说, , 阅读起来更方便阅读起来更方便. . 由于内容较多由于内容较多, ,我们在讲解时重点讲述我们在讲解时重点讲述各种方法的应用背景各种方法的应用背景, ,即在什么情况下使用即在什么情况下使用该方法以及使用该方法时要注意的问题该方法以及使用该方法时要注意的问题, ,有有关的计算步骤请参考教材去做关的计算步骤请参考教材去做. . 学好数学建模方法学好数学建模方法, ,不仅对你撰写毕业不仅对你撰写毕业论文有帮助论文有帮助, ,更重要的是对你以后参加实际更重要的是对你以后参加实际工作有帮助工作有帮助. . 全国大学生数学建模竞赛网址：

3、全国大学生数学建模竞赛网址：1.1 1.1 什么是数学模型？什么是数学模型？ 1.2 1.2 数学建模包含哪些步骤？数学建模包含哪些步骤？1.3 1.3 建模实例建模实例 通常我们把现实问题的一个模拟称为通常我们把现实问题的一个模拟称为模型，如交通图、地质图、航空模型和建模型，如交通图、地质图、航空模型和建筑模型等筑模型等. . 利用数学的语言、公式、图、利用数学的语言、公式、图、表或符号等来模拟现实的模型称为数学模表或符号等来模拟现实的模型称为数学模型型. . 我们知道，对一个现实问题的研究，我们知道，对一个现实问题的研究，一般不需要甚至不可能直接研究现实问题一般不需要甚至不可能直接研究现实

4、问题的本身，而是研究模拟该现实问题的模型的本身，而是研究模拟该现实问题的模型. . 数学建模主要包含模型建立、求解以数学建模主要包含模型建立、求解以及对结果的分析与检验等三大步骤及对结果的分析与检验等三大步骤. 我们的重点放在讲述如何建立模型我们的重点放在讲述如何建立模型以以及对结果的分析、检验、推广等及对结果的分析、检验、推广等. . 关于模关于模型求解，一般都需要利用计算机来求解，型求解，一般都需要利用计算机来求解，我们仅介绍如何使用公式以及需要利用那我们仅介绍如何使用公式以及需要利用那些软件来求解些软件来求解.模型建立模型建立 模拟现实问题建立数学模型模拟现实问题建立数学模型, ,不仅要

5、有一定的不仅要有一定的数学知识与技巧数学知识与技巧, ,还要有锐敏的洞察力与理解力还要有锐敏的洞察力与理解力, ,善于抓住问题的内在联系善于抓住问题的内在联系, ,首先作出必要的、合理首先作出必要的、合理的假设与简化的假设与简化, ,然后找出影响问题的各种因素及其然后找出影响问题的各种因素及其相互关系相互关系. . 下面下面, ,我们以我们以20012001年全国大学生数学建模竞赛年全国大学生数学建模竞赛题目题目C C题题( (P77)P77)基金使用计划模型为例来加以说明基金使用计划模型为例来加以说明. . 本题共有三问本题共有三问, ,只要解决了前两问即可只要解决了前两问即可. . 第一第

6、一问：只存款不购国库券问：只存款不购国库券, ,学过线性规划的同学都能学过线性规划的同学都能很快解决很快解决, ,所以最关键的是第二问：可存款也可购所以最关键的是第二问：可存款也可购国库券国库券. . 由于题中已假设国库券每年至少发行由于题中已假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定一次，发行时间不定. . 即国库券不能像存即国库券不能像存款那样可随时存取，因而不能像第一问那款那样可随时存取，因而不能像第一问那样建立模型：年初投资样建立模型：年初投资(1(1月月1 1日日) )，年底结，年底结算算(12(12月月3131日日).). 这是一个不确定性的问题，解决不确这是一个不确定性的问题，解决

7、不确定性的问题比较流行的有两种方法：数理定性的问题比较流行的有两种方法：数理统计和模糊数学方法统计和模糊数学方法. . 但是这两种方法无论是模型建立还是但是这两种方法无论是模型建立还是模型求解都比较困难模型求解都比较困难. . 我校当年参赛的同学从实际出发，对自己提我校当年参赛的同学从实际出发，对自己提出了两个问题：你准备用来购买国库券的资金在出了两个问题：你准备用来购买国库券的资金在购买之前干什么？在国库券到期之后到结算之前购买之前干什么？在国库券到期之后到结算之前干什么？干什么？ 回答当然是存银行或者再购国库券回答当然是存银行或者再购国库券. . 但是如果再购国库券，模型建立和模型求但是如

8、果再购国库券，模型建立和模型求解依然都比较困难解依然都比较困难. . 因此将用来购买国库券的因此将用来购买国库券的资金在购买之前和在国库券到期之后到结算之资金在购买之前和在国库券到期之后到结算之前存银行前存银行, ,这样模型建立和模型求解都很容易这样模型建立和模型求解都很容易. . 而把再购国库券留到模型评价中加以说明而把再购国库券留到模型评价中加以说明. . 根据以上分析，你如何建立这一模型？根据以上分析，你如何建立这一模型？ 这样就将国库券变成一种可随时存取的投资这样就将国库券变成一种可随时存取的投资债券债券. . 于是一个不确定性的问题就转化为一个确于是一个不确定性的问题就转化为一个确定

9、性的问题定性的问题. . 我校当年参赛的同学雷波、张天宇、罗晓琴我校当年参赛的同学雷波、张天宇、罗晓琴在李治老师的指导下，按上述方法成功地建立了在李治老师的指导下，按上述方法成功地建立了基金使用计划模型并获得当年全国一等奖基金使用计划模型并获得当年全国一等奖. . 请问：上述存入银行一年的收益是按一年的请问：上述存入银行一年的收益是按一年的活期还是按一年的死期来计算？活期还是按一年的死期来计算？ 假如银行存款有半年期呢？假如银行存款有半年期呢？ 将国库券的期限加上一年将国库券的期限加上一年, ,例如：把两年期的例如：把两年期的国库券按三年来计算国库券按三年来计算, ,其收益可按两年期的国库券其

10、收益可按两年期的国库券的收益加上存入银行一年的收益来计算的收益加上存入银行一年的收益来计算. .模型求解模型求解 在建立模型之后，就要求解模型，给在建立模型之后，就要求解模型，给出有效的计算方法出有效的计算方法. . 如果你所建立的模型如果你所建立的模型无法求解，你必须设法修改你的模型无法求解，你必须设法修改你的模型. .结果的分析与检验结果的分析与检验 有些问题需要对解的现实意义作出解有些问题需要对解的现实意义作出解释，检验模型的正确性，并对模型的稳定释，检验模型的正确性，并对模型的稳定性进行分析性进行分析. . 问题的提出与分析问题的提出与分析 按你的理解对所按你的理解对所给的问题用数学语

11、言作更清晰的表述，根据给的问题用数学语言作更清晰的表述，根据问题的性质你打算建立什么样的模型问题的性质你打算建立什么样的模型. . 必要而合理的假设必要而合理的假设 现实问题远不像现实问题远不像纯粹数学问题那样理想化，因此有必要作一纯粹数学问题那样理想化，因此有必要作一些合理的假设，有条件时对实际问题作一些些合理的假设，有条件时对实际问题作一些调查调查. . 模型设计模型设计 对出现的数学符号必须有对出现的数学符号必须有明确的定义，模型的具体表现形式必须写清明确的定义，模型的具体表现形式必须写清楚楚. . 模型求解与结果模型求解与结果 将具体的求解过程将具体的求解过程和结果写清楚和结果写清楚.

12、 . 模型结果的检验与分析模型结果的检验与分析 对模型的结对模型的结果进行检验与分析，可以通过实际问题来检果进行检验与分析，可以通过实际问题来检验，也可以用计算机模拟检验，并指出模型验，也可以用计算机模拟检验，并指出模型的优缺点及改进方向的优缺点及改进方向. . 问题问题 报童每天清晨从报社购进报纸零售，报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回晚上将没有卖掉的报纸退回. . 每份报纸订每份报纸订购价格为购价格为a，零售价格为零售价格为b，退回价格为退回价格为c ( bac ). 请你为报童制定一个最佳订购请你为报童制定一个最佳订购方案方案. 问题的分析问题的分析 报童每天卖出报

13、纸的数量报童每天卖出报纸的数量 是一个随机变量，是一个随机变量，因此报童每天的收入也是一个随机变量因此报童每天的收入也是一个随机变量, , 所以作所以作为优化模型的目标函数为优化模型的目标函数, ,不能是报童每天的收入不能是报童每天的收入, , 而应该是他长期卖报的日平均收入而应该是他长期卖报的日平均收入. . 从概率论中大数定律的观点来看从概率论中大数定律的观点来看, , 这相当于这相当于报童每天收入的期望值报童每天收入的期望值. . 另一方面另一方面, ,如果报纸订得太少如果报纸订得太少, ,供不应求供不应求, , 报报童就会失去一些挣钱的机会童就会失去一些挣钱的机会, ,将会减少收入将会

14、减少收入;但如但如果订多了果订多了, ,当天卖不完当天卖不完, ,每份得赔钱每份得赔钱, , 报童也会减报童也会减少收入少收入. . 问题的假设问题的假设 设报社有足够的报纸可供定购；设报社有足够的报纸可供定购； 当天卖不出去的报纸只能退回；当天卖不出去的报纸只能退回； 报童除了订购报纸费用外报童除了订购报纸费用外, , 其它费用其它费用( (如交通费、摊位费等如交通费、摊位费等) )一概不计；一概不计； 报童每天订购报童每天订购n份报纸份报纸, , 实际能卖出实际能卖出r份报纸份报纸, , 且且P = r = p(r). . 模型建立模型建立 如果如果00rn, ,则售出则售出r份报纸增加收入份报纸增加收入( (b - -a) )r, , 退回退回n- -r份减少收入份减少收入( (a- -c)()(n- -r) )； 如果如果rn, , 则售出则售出n份报纸增加收入份报纸增加收入( (b - - a) )n. . 因此报童每天收入的期望值：因此报童每天收入的期望值：nrrprncarabnf0)()()()(1)()(nrrnpab 问题归结为在问题归结为在a, ,b, ,c, ,p( (r) )为已知时为已知时, ,求求n使使f( (n) )最大最大. . 模型求解与结果模型求解与结果( (略，参考略，参