等腰三角形（基础讲练+锁定考试目标+导学必备知识+探究重难方法）

1、第14讲等腰三角形考纲要求备考指津1.了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定2.了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定3.掌握线段中垂线的性质及判定4.掌握角平分线的性质及判定.等腰三角形的概念、性质、判定是中考的重点内容，在选择题、填空题、解答题中均有出现；等边三角形、线段的垂直平分线及角的平分线在中考中也经常考查考点一等腰三角形1等腰三角形的有关概念及分类：有两边相等的三角形叫等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形2等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)；(2)等腰三

2、角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”)；(3)等腰三角形是轴对称图形3等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”)考点二等边三角形的性质与判定1等边三角形的性质：(1)等边三角形的内角相等，且都等于60；(2)等边三角形的三条边都相等2等边三角形的判定：(1)三条边相等的三角形是等边三角形；(2)三个角相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为60的等腰三角形是等边三角形考点三线段的垂直平分线1概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线2性质：线段垂直平分线上的点到这条

3、线段两个端点的距离相等3判定：到一条线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合考点四角平分线的性质及判定1性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等2判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，角的平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合1已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则第三条边的长是()A8 B7 C4 D32下面给出的几种三角形：(1)有两个角为60的三角形；(2)三个外角都相等的三角形；(3)一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；(4)有一个角为60的等腰三角形其中一定是等边三角形的有()A4个 B3个 C2

4、个 D1个3如图，等腰ABC中，ABAC，A20.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则CBE等于()A80 B70 C60 D504如图，在ABC中，C90，AD平分CAB，AD5，AC4，则D点到AB的距离是_一、等腰三角形的性质与判断【例1】 如图所示，在直角梯形ABCD中，ABC90，ADBC，ABBC，E是AB的中点，CEBD(1)求证：BEAD；(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；(3)DBC是等腰三角形吗？并说明理由分析：(1)通过证明ADBBEC，得到BEAD(2)通过证AC是等腰DAE的角平分线，利用“三线合一”得到AC垂直平分DE.(3)通过证明BDD

5、C，得出DBC是等腰三角形解：(1)证明：ADBC，ABC90，DABABC90.ADBABD90.CEBD，BECABD90.ADBBECABBC，ADBBEC(AAS)BEAD(2)证明：点E是AB的中点，AEBE.BEAD，AEADABBC，BACBCAADBC，DACBCABACDACAC是等腰DAE顶角的平分线AC是线段ED的垂直平分线(三线合一)(3)DBC是等腰三角形理由：由(2)可知，AEAD，EACDAC，ACAC，AECADC(SAS)ECDCADBBEC(已证)，DBECDBDCDBC是等腰三角形1一般判定等腰三角形的方法有“两边相等”和“等角对等边”两种，这涉及到证明线

6、段或角相等的问题，因此可以通过证明三角形全等来解决2利用等腰三角形“三线合一”的性质来证明直线互相垂直，是常用方法之一二、等边三角形的性质与判定【例2】 已知ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AECD，AD与BE相交于点F. (1)求证：ABECAD；(2)求BFD的度数分析：解决等边三角形问题时，要充分利用等边三角形三边相等、三个角都等于60的性质全等是解决这类问题最常见的方法解：(1)证明：ABC为等边三角形，BACC60，ABCA在ABE和CAD中，ABCA，BAEC，AECD，ABECAD(2)BFDABEBAD，又ABECAD，ABECADBFDCADBADBAC6

7、0.等边三角形的各边相等，各角相等，所以常利用其证明三角形全等或线段及角相等如图，已知在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE=CD求证：BD=DE.三、线段的垂直平分线【例3】 一张矩形纸片OABC平放在平面直角坐标系内，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA5，OC4.(1)如图所示，将纸片沿CE对折，点B落在x轴上的点D处，求点D的坐标；(2)若将纸片沿直线l对折，点B落在x轴上的点F处(如图所示)，l与BF的交点为Q，若点Q的坐标是(3,2)，求l的解析式若点Q的坐标是(4,2)，你能确定l的解析式吗？若能，求出其解析式；若不能，请说明理

8、由分析：(1)由对称性知道，CDCB，根据勾股定理求OD即可以求得点D的坐标；(2)由垂直平分线的性质，点Q为BF的中点由相似知识和点Q，确定l上的另一点解：(1)据题意知，CDCBOA5.COD90，OD3.D点坐标为(3,0)(2)过Q作QMx轴于点M.当Q点坐标为(3,2)时，如题图所示，OM3，MA2，FMQFAB，FMFAFQFB12，即FA4，而AB4，FAAB，而l为BF的中垂线，点A在l上l的解析式为yx5.当Q点坐标为(4,2)时，如题图所示，OM4，MA1，OF3，CF5，而CB5，CFCBl为BF的中垂线，点C在l上l的解析式为yx4.垂直平分线的性质定理和折叠联系在一起

9、的问题中，常需要联想相似形和全等形等有关知识综合进行解题四、角平分线的性质与判定【例4】 如图，已知CDAB于D，BEAC于E，且CD，BE相交于O点求证：(1)当12时，OBOC；(2)当OBOC时，12.证明：(1)12，CDAB，BEAC，OEOD34，CEOBDO90，OECODBOBOC(2)34，CEOBDO90，OBOC，OECODBOEODCDAB，BEAC，OA平分CAB12.在解决有关角平分线的问题时通常做法是过角平分线上一点作角的两边的垂线1(2012贵州铜仁)如图，在ABC中，ABC和ACB的平分线交于点E，过点E作MNBC交AB于M，交AC于N，若BMCN9，则线段M

10、N的长为()A6 B7 C8 D92(2012浙江宁波)如图，AEBD，C是BD上的点，且ABBC，ACD110，则EAB_度3(2012广东广州)如图，在等边ABC中，AB6，D是BC上一点，且BC3BD，ABD绕点A旋转后得到ACE，则CE的长度为_4(2011上海)如图，已知在ABC中，ADBC，D点为垂足，ACBE，E点为垂足，M点为AB边的中点，联结ME，MD，ED(1)求证：MED是等腰三角形；(2)求证：EMD2DAC1已知等腰三角形的一个内角为40，则这个等腰三角形的顶角为()A40 B100C40或100 D70或502如图，在ABC中，ABAC，点D在AC上，且BDBCAD

11、，则A等于()A30 B40C45 D363ABC中，B和C的平分线交于点F，过点F作DFBC，交AB于点D，交AC于点E，若BDCE9，则线段DE的长为()A9 B8 C7 D64如图，P，Q是ABC边BC上的两点，且QCAPAQBPPQ，则BAC()A125 B130 C90 D1205如图，在ABC中，BC8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则ADE的周长等于_6如图，ABAC，BAC120，AB的垂直平分线交BC于点D，那么ADC_.7已知等腰ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是_8如图，将第一个图(图)所示的正三角形连接各边中点进行分割，得到第二个图(图

12、)；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图(图)；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，则得到的第五个图中，共有_个正三角形9如图所示，在ABC中，D，E分别是边AC，AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：EBODCO；BEOCDO；BECD(1)上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形(用序号写出所有情况)；(2)选择第(1)小题中的一种情况，证明ABC是等腰三角形参考答案基础自主导学自主测试1B2.B3.C4.3规律方法探究变式训练证明：ABC是等边三角形，ABCACB60.点D是AC边上的中点，ABDCBD30.CECD，CDECED.又ACBCDECED60，CED30.CBDCED30.BDDE.知能优化训练中考回顾1D2.403.24证明：(1)M为AB边的中点，ADBC，BEAC，MEAB，MDAB.MEMD.MED