3[1]1微分中值定理及其应用

1、3.2微分中值定理及其应用教学目的：1. 掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础；2. 熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限；3. 掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题；使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象；4. 会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。教学重点、难点：本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。教学时数：2学时一、微分中值定理：1. Rolle中值定理：设函数在区间a顶上连续，在（低&）内可导，且有抓）=姬

2、=。.贝U北-（a,b），使得f估）=0.2. Lagrange中值定理：设函数/在区间。力上连续，在版尚内可导，则-（a,b），使得f寸）=f（；二（a）.推论i函数在区间i上可导且广（对三0,n/（力为i上的常值函推论2函数,和在区间I上可导且典）三眄=加推论3设函数Hx）在点而的某右邻域U而）上连续，在U+（XO）内可导.若血（对=ff（x0+0）存在，则右导数/；（瓦）也存在,且有/；（布）=/0+0）,XT礼-（证）但是，S0）不存在时，却未必有工（、）不存在.例如对函数（x2sin0,L0虽然广（0+0）不存在，但/却在点1=0可导（可用定义求得广（0）=0）.aTh（导数极限定理

3、）设函数/（了）在点而的某邻域IJ（而）内连续,在：.内可导.若极限知广0）存在,则，功也存在，且/（%）=知了饥,（证）XT命由该定理可见，若函数了（X）在区间I上可导，则区间I上的每一点，要么是导函数广的连续点，要么是尸（X）的第二类问断点.这就是说，当函数f（x）在区间I上点点可导时，导函数/在区间I上不可能有第二类问断点.推论4（导函数的介值性）若函数，在闭区问色句上可导，且fXMgu弋e（）,3广项（证）Th（Darboux）设函数了（X）在区间afb可导且TV）.若k为介WS）与f，0）之间的任一实数，则3*（）,=k（设广对辅助函数二J（x）F，应用系4的结果.）（证）3. Ca

4、uchy中值定理:Th3设函数/和g在闭区问叵句上连续，在开区间(仍内可导，和在()内不同时为零，乂g(G)亍g(b).则在()内至少存在一点匕使.证分析引出辅助函数火L*).验证F(x)在gw-gw0,句上满足Rolle定理的条件，=Ye(叫BF叮(-气厂g=0.g-g(a)必有m，因为否则就有f司=0.这与条件“f和，在03)内不同时为零”矛盾.Cauchy中值定理的几何意义.(二)中值定理的简单应用：1. Rolle中值定理的应用例1设函数/在区间们句上连续，在(。J)内可导，且有-.试证明：；-.提示：设F(x)=f(x)e例2设函数卬(x)，甲(x)在区间的句上连续，在03)内可导,

5、且甲(为)=8(x2)=0,x,x2在(a,b).试证明:Me(x，x2),使得W(勺+吓件(勺=0.f()f()-f(a)g()一g(b)-g()例3设函数f(x),g(x)在区问切,可上连续，在(a,)内可导，对(a,b),g(x)。0,试证w(a,b)，使得提示：设F(x)f(x)f(a)g(b)g(x)例4已知函数f(x)具有二阶导数，且好1!丑=0,门0)=门1)=0,试证在区问(0,1)内至少存在一点&,3f)=0例5证明方程+=0在(顷)内有实根.例6证明方程4+2cx=ab+c在(0)内有实根.练习设函数，在区间0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(l)=0,lim

6、f(x)T=1,试证明(1)w(】,1),mf)=听;x；)22(2)对任意实数舄，必存在，w(0,n)”f估)心(。一勺=1.提示：(2)F(x)=exf(x)-x,F()=0,F(0)=0广义Rolle中值定理：设函数f(x)在x芝0可微，limf(x)存在且等丁f(0),x-则存在C(0,E),使得f(c)=0.例7设函数在0,危)上连续可微，f(0)=1,f(x)共二证明存在一点x,使得f(x)=-e次x练习设函数了在0,危)上可微，0苴f(x)弓1丁2，试证3-w(0,kc),使得i_2f()=L-2. Lagrange中值定理的应用例8设J是可微函数，导函数f(x)严格单调增加，若

7、f(a)=f(b),(ab),试证对一切xw(a,b),有f(x)f(a)=f(b).(不得直接利用凸函数的性质)3. Cauchy中值定理的应用例1设函数了在区间0,句上连续，在内可导，f(a)#f(b),则.ab,(a,b),f(rf().练习设函数/在区间afb连续，在(a力)内可导，0a0(或0),M对的句上的任意丹个点时1上质),有Jensen不等式：11s汐g或5滔,且等号当且仅当I=1广=L时成立.1证令X。=一把子仿）表为点Xq处具二阶Lagrange型余项的欢A-1Taylor公式，仿前述定理的证明，注意（瓦-冷）=0,即得所证.JUL对具体的函数套用Jensen不等式的结果

8、，可以证明一些较复杂的不等式.这种证明不等式的方法称为Jensen不等式法或凸函数法.具体应用时，往往还用到所选函数的严格单调性.1例2证明：对VxjeRf有不等式&*+#）.例3证明均值不等式：对V%巧，,向ER*,有均值不等式的的证先证不等式啊冬-一住取/（）=M八/在（0,+）内严格上凸，由Jensen不等式，有矛Wh居由了()/n七n对用上述已证结果，即得均值不等式的左半端向明知例4证明：对YfeR,有不等式.（平方根平均值）例5设x+y+z二6,证明x+y+z212.解取J（x）=F,应用Jensen不等式.“凸（凹）函数Jensen不等式在初等数学中的应用举例：参阅荆昌汉文:定理在不等式证明中的应用”，数学通讯1980.4.P39.3*在/中，求证汕A+寺一.2考虑函数_.:在区间（0）内凹,由Jensen不等式，有J+5+C3x3=sm=.sinA+sinB+sinC_f(A)+.J:：.I.I：.2例7已知姑ceRLM+c=L求证一|二|解考虑函数六I）二乐,了在（们+如）内严格上凸.由Jensen不等式，有事云占十矩顽+璇斯/（3白十7）+/（必+7）+了（玄+7）/=