反比例函数(反比例函数与几何问题)

1、辅导讲义教师科目数学上课日期2014.07总共学时学生年级八年级上课时间第几学时类别基础提高V培优科组长签字教务主管签字校区主任签字一、教案目标1、让学生理解反比例函数的概念及几种等价形式；2、能够快速绘出给定反比例函数的图像；3、掌握反比例函数的性质（对称性，变化趋势等），并应用解决数学问题 （如比较函数值大小，求对称点坐标等）。二、上课内容反比例函数与几何问题三、家庭作业:四、家长签名（本人确认：孩子已经完成“课后作业”） 反比例函数与几何问题一、基础知识讲解【知识详解】考点分析：反比例函数是历年中考数学的一个重要考点章节，且多以大题的形式出现， 常常结合三角形，四边形等相关知识综合考察。

2、所以，应该引起广大学生的重视。反比 例函数中k的几何意义也是其中一块很重要的知识章节，常在中考选择题，计算大题中 进行考察。这类考题大多考点简单但方法灵活，目的在于考察学生的数学图形思维。本 次专题目的在于让学生掌握反比例函数k几何意义这一知识要点，灵活利用这一知识点解决数学问题，并熟悉与反比例函数k几何意义的常见考察方式和解题思路。 .-I.- il- 1 -i - - - I- . 1 - - - 1 1 1 - 1 i 1 1 - - 1 .反比例函数的概念k-如图所不，过双曲线y = （k*0）上任一点p（x, y）作xx轴、y轴的垂线 PM PN,垂足为M N,所得矩形 PMON勺面

3、 积 S=PM*PN=|y| *|x|.k._ . y = , . xy = k, S 弓 k |。 x这就说明，过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得到的矩形的面积为常数|k|。这是系数k几何意义，明确了 k的 几何意义，会给解题带来许多方便。（请学生思考，图中三角形 关系。）2 .反比例函数的图象OEF的面积和系数 k的在用描点法画反比例函数y=k的图象时，应注意自变量x的取值不能为0,应从1或-1x例题1 （2003 三明）函数y= -（x>0）开始对称取点.例题2 （2003 -宜昌）函数y=kx+1与函数k3 .反比例函数y= x中k的意义注意：反比例函数y= （k w。）

4、中比例系数k的几何意义，即过双曲线y=K（kw。）xx上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为| k .二、反比例函数与几何问题基础篇4例题1:如图，P、C是函数y =（x>0）图像上的任意两点，过点 P作x轴的垂线PA,x垂足为A,过点C作x轴的垂线CD,垂足为D,连接OC交PA于点E,设力POA的面积为 S1,则S1二,梯形CEAM面积为S2,则S1与S2的大小关系是 S1S2,POE的面积S3和 梯形CEAD勺面积为S2的大小关系是S2S3. k _ .例题2:如图所不，直线l与双曲线y=k（k>0）交A、B两点，P是AB上的点，试比 x较NAOC勺面积S1, NBOD勺面

5、积S2, NPOE的面积S3的大小：。3 / 19k ,例题3 :如图所不，点A(x1,y1)、B(x2,y2)都在双曲线y = (x > 0)上，且x2-xx1=4,y1-y2=2 。分别过点 A B向x轴、y轴作垂线，垂足分别为 C D、E、F, AC与BF 相交于G点，四边形 FOCG勺面积为2,五边形AEODB勺面积为14,那么双曲线的解读 式为。【典型例题】k ,1 .如图，已知点 A、B在双曲线y= (x>0)上，ACL x轴于点C, BD! y轴与点D, AC x与BD交于点P, P是AC的中点，若ABP的面积为3,则k= . k八2 .如图已知双曲线y= (k M0

6、)经过直角三角形OAB斜边OA的中点D,且与直角边AB x相交于点C,若点A的坐标为(-6 , 4),则AOC勺面积为。-123 .如图，A B为双曲线y=上的点，AD±x轴于D,BCy轴于点C,则四边形 ABCDx的面积为。第1题k ,4 .如图，已知双曲线 y= (x>0)经过矩形 OABO AB的中点F,交BC于点E, ( 1) x若四边形OEBF勺面积为4,则k=; ( 2)若才形OEBA勺面积为9,则k=。第4题第5题4 / 19k .5 .如图，已知双曲线 y= (k>0)经过直角二角形 OAB斜边OB的中点D,与直角边 AB x相交与点 G若力OBC勺面积为

7、3,则k=2 -6.反比例函数y = (3m -1 Xm 的图象所在的象限内，y随x增大而增大，则反比例函数的解读式是()(A)y =( B) y = -(C) y =或 y =( D)不能确定XXXX7 .如图，已知正方形OABC的面积为9,点O为坐标原点，点 A在X轴上，点C在yk .P(m, n )为其双曲线上的任一点,轴上，点B在函数y= (k >0, X >0触图象上，点X过点P分别作X轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F ,并设矩形 OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S.(1)求B点坐标和k的值；_9(2)当S=一时，求P点坐标；2(3)写出S关于m的函数关系式.x

8、<0)的图象相交于点A、点B,k8 .如图8,直线y=kx+b与反比例函数 y =一 X与x轴交于点C,其中点A的坐标为(一2, 4),点B的横坐标为一4. (1)试确定反比例函数的关系式；(2)求 AOC勺面积.9. （09北京）如图，A B两点在函数y=m（x>0）的图象上.（1）求m的值及直线 ABx的解读式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数。10.已知：如图，正比例函数 y =ax的图象与反比例函数（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反

9、比例函数的值大于正比例函数的值？（3） M （m, n注反比例函数图象上的一动点，其中 0<m<3,过点M作直线MN / x轴，交y轴于点 B ；过点A作直线AC / y轴交x轴于点C ,交直线 MB于点D ,当四边形OADM的面积为6时，请判 断线段BM与DM的大小关系，并说明理由.【课堂练习】1、如图，P （x, y）是反比例函数y=的图象在第一象限分支上的一个 动点，PAx轴于点A, PBy轴于点B,随着自变量x的增大，矩 形OAPB勺面积（）A.不变B,增大C.减小 D.无法确定2、已知如图，A是反比例函数 y二的图象上的一点，AB，x轴于点B,且 ABO的面积是3,则k的

10、值是（）A. 3 B. -3 C. 6 D. -63、反比例函数 丫=与y=在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于 A B两点，连接 OA OB则4AOB的面积为（ ）A.B . 2 C . 3 D. 14、如图，是反比例函数丫=和y= （k1vk2）在第一象限的图象，直线AB/ x轴，并分别交两条曲线于 A B两点，若S；AAOB=2则k2-k1 的值是（）A. 1B. 2 C. 4 D. 85、如图，直线l和双曲线y= （k >0）交于A、B两点，P是线段AB 上的点（不与 A、B重合），过点 A、R P分别向x轴作垂线，垂 足分另1J为CD、E,连接 OAO

11、B0P,设4AOC的面积为S1、BODW面积为S2、APOE的面积为S3,则（）A. S1vS2V S3B. S1>S2> S3C. S1=S2> S3D. S1=S2V S36、双曲线丫=与y=在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于 A, B两点，连接 OA OB则 AOB勺面积 为（）A. 1B. 2 C. 3 D. 47、如图，已知梯形 ABCO勺底边 AO在x轴上，BC/ AQ AB± AQ 过点C的双曲线 丫=交OB于D,且OD DB=1: 2,若 OBC的面积 等于3,则k的值（）A.等于2B.等于C.等于 D.无法确定8、如图

12、，反比例函数 y= （x >0）的图象经过矩形 OABC对角线 的交点M分另1J与 AR BC相交于点 D E.若四边形 ODBE勺面积为6,则k的值为（）A. 1B. 2 C. 3D. 49、如图，已知双曲线 y= （k<0）经过直角三角形 OAB斜边OA的 中点D,且与直角边 AB相交于点C.若点A的坐标为（-6,4）, 则4人。"勺面积为（）A. 12 B. 9 C. 6 D. 4【课后作业】1 .（基础题）反比例函数y=-1的常数 k=，它的图象是 , ?在第X、象限，当x>0时，它的图象在第 象限，当x<0时，它的图象在第象限.2 .（拓展题）反比例

13、函数的图象经过（3, -4）,则它的解读式为 ,它的图象在第 象限.k3 .（综合题）对正比例函数y=kx和反比例函数 y=,在同一坐标系中的图象可能是x（）k4 .（基础题）双曲线 y=- （kw0）,当k>0时，它的两个分支分别在第 象限，x在每个象限内y随x的增大而；当k<0,它的两个分支在第 象限，在每个象限内y随x的增大而.5 .（拓展题）已知反比例函数的图象经过点（-3,2）.（1）求它的解读式.(2)分别判断A (2,3), B (-6 , 1) , C (- J6 , 娓)是否在图象上.（3）说明y随x的变化而增减情况.6 .反比例函数y=k ,若k<0,则（

14、）xA . y的值为负。B .双曲线在一、三象限的增大而增大。D .在所在的每一个象限，y随x的增大而增大7 .如果双曲线（）A . m<08 .反比例函数丫= 1 2m 当 x<o 时x9 . m<1 C . m>122y=mxm+2的图象在（）y随x的增大而增大，那么m的取值范围是A .第一、二象限 B .第一、三象限。C .第二、四象限 D .第三、四象，一，_2 9.若点（-2 , yi）、（ -1 , y2）、（1, y3）在反比例函数y=-的图象上，则下列结论x中，正确的是（）A. yi>y2>y3B . y2>yi>y3C . y3

15、>yi>y2D . y3>y2>yi三、反比例函数与几何问题提高篇【基础题】k2 iI、已知点（-i ,yi）, （2,y2）, （ 3,y3）在反比例函数y=的图象上.下列x结论中正确的是（ 四、yi>y2>y3 B. yi>y3>y2c. y3>yi>y2D. y2>y3>yi2,2. （20ii年浙江杭州）如图i,函数yi = x i和函数y2=-的图象相父于点 M（2, m, xN i, n）,若yi>y2,则x的取值范围是图4图i图3图29 / 194、( 2010?攀枝花)如图2:等腰直角三角形 ABC位

16、于第一象限，AB=AC=2直角顶点 A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1,且两条直角边 AB AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y= (kw0)与 ABCW交点，则k的取值范围是 5、直线 y=ax( a> 0)与双曲线 y=3 交于 A(xi , yi)、B(x2, y2)两点，则 4xiy2 x3x2yi=.6如图3,直线y=-1 x+1与y轴交于点A,与双曲线 Y=K在第一象限交于 B C两2X点，B、C两点的纵坐标分别为 yi, y2,则yi+y2的值是反比例函数系数K的几何意义 k7.如图4,直线l和双曲线y = (k>0)交于A B两点，P是线段AB上的点(不与A、B

17、 x重合)，过点A、R P分别向x轴作垂线，垂足分别是 G D、E,连接OA OB Op设 AO的积是S、 BODT积是展、4PO的积是 &、则()A. SvSvS3 B . S>S2>S3 C , S = S>S3 D , S=S<$8 如图 5,点 Ai、A2、A3 在 x 轴上，且 OAi = AA2 = A2 A3,分别过点 Ai、A2、A38， 一作y轴的平行线，与分比例函数y = (x >0)的图像分别交于点B1、B2、B3 ,分x别过点Bi、B2、B3作x轴的平行线，分别与 y轴交于点Ci、C2、C3,连接OBi、OB2、OB3,那么图中阴影

18、部分的面积之和为.2_9如图6,双曲线y= (x>0)与矩形 OABC的边 CB BA分别交于点 E, F,且 xAF=BF连接EF,则 OEF勺面积为.i0、如图 7, PiOA、 BAA2、 PAA3、 PiooA99Aioo 是等腰直角三角形，点Pi、B、自、Pioo在反比列函数的图象上，斜边OA、AiA2、A2A3、A99A00都在x轴上，则点Aioo的坐标是 .10如图8,在函数y=(X>0)的图象上，有点Pl,P2,P3,，Pn,Pn+1,若P1的横x坐标为2,且以后每点的横坐标与它前面一个点的横坐标的差都为2,过点Pi, P2,P3,，Pn, Pn+1分别作x轴、y轴

19、的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S,及，S3,，Sn,则S =, S1+S2+S3+S= .(用n的代数式表示)11. (2011 广安)如图9,直线OPg过点R4, 4 J3)1、3、5、7、9、11分另1J作x轴的垂线，与直线 组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为则&关于n的函数关系式是 ,过x轴上的点O济目交得到一S、S2、&【提高题】1、如图，已知反比例函数k ,y = (x >0)经过矩形 OABCi AB x的中点F且交BC于点E,四边形OEBF勺面积为2,则k=2、直线 y=ax( a > 0)与双曲线 y

20、= 3 交于 A>1, y。、B(x2, y2)两点，则 4xy2 x3x2y尸.k3、如图，已知点 A B在双曲线y= (x>0)上，ACLx轴于点C, BDLy轴于点D, AC与xBD交于点P, P是AC的中点，若 ABP勺面积为3,则k=.4.如图所示，在直角坐标系中，点A是反比例函数V上的图象上一点，AB_Lx轴的y1 一x正半轴于B点，C是OB的中点；一次函数 y2=ax+b的图象经过 A、C两点，并将y轴于点 d (0, -2 )若 Saod =4.(1)求反比例函数和一次函数的解读式；(2)观察图象，请指出在 y轴的右侧，当y >y2时，x的取值范围.5、如图所

21、示，矩形 意一点，设PA =ABCD 中，AB = 2, x , D到AP的距离为AD = 3, P为BC上与B、C不重合的任 y ,求y与x的函数关系式，并指出函数类6、如图，点 P的坐标为(2, 3),过点P作x轴的平行线交y轴于点A,交双曲线2一， , 、一k 一， ,一于点N;彳PML AN交双曲线 y = 一(x>0)于点 M,连结 AM.已知PN=4.x(1)求k的值.(2)求 APM勺面积.1 k7.如图，已知直线 y二,x与双曲线y= (k>0)交于A, B两点，且点A的横坐标为4 . ( 1)求k的值；k ,(2)若双曲线y =(k>0)上一点C的纵坐标为8

22、,求zAOC的面积； xk .(3)过原点O的另一条直线l交双曲线y=(k>0)于P, Q两点(P点在第一象 x限)，若由点 A, B, P, Q为顶点组成的四边形面积为 24,求点P的坐标.48.如图,P(xi,yj P2(x2,y2),F>(xn,yn )在函数 y =(x > 0 )的图像上, xROA- APzAiAz, AP3A2A3,ARAnjAn都是等腰直角三角形，斜边OAl、A1A2、A2A3,An4An都在x轴上求P1的坐标求必十丫2 +y3+1川11十乂0的值k9.如图正万形 OABC勺面积为4,点。为坐标原点，点 B在函数y= (k<0,x<

23、0)的 x 'k 一 一 一图象上，点P(m, n)是函数y= (k <0, x < 0)的图象上异于B的任意一点，过点 P分 x别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F.(1)设矩形OEPF的面积为S,判断S与点P的位置是否有关(不必说理由).(2)从矩形OEPF的面积中减去其与正方形 OABCI合的面积，乘U余面积记为S2,写出G与m的函数关系，并标明 m的取值范围.四、反比例函数与几何问题培优篇【典型例题】1、 如图10,正方形 ABCD的边 AB在x轴的正半轴上，02,1) , D(1,1).反比例函数k 一y=k的图像与边 BC交于点E,与边CD交于点F.已知BE

24、CE=3: 1,则DF FC等于 x4 k42、 如图11,直线y= x与双曲线y = (x>0)父于点 A ,将直线y = x向下平3x3k移个6单位后，与双曲线y = ( x >0)交于点B ,与x轴交于点C,则C点的坐标 x为;若 AO=2,则 k=.BC15 / 19AB 3k3、如图12,的RtAABQ ABLx轴于点B,斜边A0= 10, =-,反比例函数 y=-0A 5x(k>0)的图象经过 AO勺中点C,且与AB交于点D,则点D的坐标为204、如图13,矩形AOCB勺两边OC OA分别位x轴、y轴上，点B的坐标为B (，,35) , D是AB边上的一点.将 A

25、DQg直线0涮折，使A点恰好落在对角线 0B上的点E5、 如图14,已知点A在双曲线y=-±,且0A=4过A作ACx，x轴于C, 0A的垂直平分线交 05 B. ( 1)则4 A0C勺面积二,(2)4ABC的周长为.k ,6、如图15, P为双曲线y= (x<0)上 x一点，点 A是X轴一点，点B是Y轴一点文若 0A-0B=6 则 k =.,AP，PB于 P 且 PA=PB,7、(2011?金华)如图16,将一块直角三角板 0AB放在平面 直角坐标系中，B (2, 0) , / A0B=60，点A在第一象限， 过点A的双曲线为.在 x轴上取一点P,过点P作直线0A的 垂线l ,

26、以直线l为对称轴，线段 0B经轴对称变换后的像是 0' B '.(1)当点0'与点A重合时，点P的坐标是(2)设P (t, 0),当0'B'与双曲线有交点时，t的取值范 围是【课后作业】A、B,AC! Oy BDL Oy.则四边形 ACB丽41、如图：函数 y=kx与y= 的图象交于点，一 ，一，一一，2 , 一第 2 题图2、如图，在反比例函数 y =(x A0)的图像上，有点 P1, P2, R, R,它们的横坐标分别是1, 2, 3, 4,分别过这些点做 x轴、y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从 左到右依次为S, S, S,则81+82+4=

27、3、如图，在矩形 AOBCP, OB= 4, OA= 3,分另U以OB OA所在直线为x轴和y轴，F是k . 一边BC上的一个动点(不与 R C重合)，过F的反比例函数y = (k >0)的图像与 AC x边交于E. (1)记8= SOEF 8a ECF,当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？ ( 2)情探索：是否存在这样的点 F,使彳# CEFFgEF对折后，C点恰好落在OB±?若存在，求出点 F的坐标；若不存在，请说明理由.17 /19星火小测(时间30分钟)1. （2011年威海）下列各点中，在函数 y=- 6图象上的是（）xA . ( 2, 4) B .(2,3).(-6, 1) D(-1,3)2. (2011年扬州)经过的点是（ （3, 2）某反比例函数图象经过点）21,6）,则下列各点中此函数图象也. (3,2).(2,3) D ,(6,1)3.A（2011年广州）下列函数中，当x>0时，y值随x值增大而减小的是（）4.y = x2 B . y= x 1,y= 3x4（2011年枣庄）已知反比例函数1 y=xy=1 ,下列结论中不正确的是（）xA BC D.图象经过点（一1, 1）.图象在第一、三象