知识要点-空间直角坐标系

1、实用文档第5讲空间直角坐标系知识梳理1.右手直角坐标系右手直角坐标系的建立规则：x轴、y轴、z轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指；已知点的坐标 P（x,y,z）作点的方法与步骤（路径法）：沿x轴正方向（x>0时）或负方向（x<0时）移动|x|个单位，再沿y轴正方向（y > 0时）或负方向（y < 0时）移动| y |个单位，最后沿x轴正方向（z a 0时）或负方向（z < 0时）移动|z|个单位，即可作出点已知点的位置求坐标的方法：过P作三个平面分别与 x轴、y轴、z轴垂直于 A, B,C ,点A, B,C在x轴、y轴、z轴的坐标分别是a,b, c,则（a

2、,b, c）就是点P的坐标2、在x轴上的点分别可以表示为 （a,Q0）,（0,b,0）,（0,0,c）,在坐标平面xOy , xOz, yOz内的点分别可以表示为 （a,b,0）, （a,0,c）, （0,b,c）;3、点P（a,b,c）关于x轴的对称点的坐标为（a,b,c）点P（a,b,c）关于y轴的对称点的坐标为（a,b,-c）；点P（a,b,c）关于z轴的对称点的坐标为（-a,-b,c）；点P（a,b,c）关于坐标平面xOy的对称点为（a,b,-c）；点P（a,b,c）关于坐标平面xOz的对称点为（a,b,c）；点P（a,b,c）关于坐标平面yOz的对称点为（a,b,c）；点P（a,b,

3、c）关于原点的对称点（a,-b,-c）。4.已知空间两点P（xi,yi,zjQ（x2,y2,z2）,则线段PQ的中点坐标为xi ' x2 yi ' y2 z1 z2 （,）2225.空间两点间的距离公式已知空间两点P(x1, y1,4)Q(x2, y2, z2),则两点的距离为 | pq |=J(x1 x2)2 +(y1 y2)2 +(4 z2)2 ,特殊地，点A(x, y, z)到原点O的距离为| AO |= Jx2 + y2 + z2 ；22225.以C(x0, yo，Zo)为球心，r为半径的球面万程为(xx0)十(y y0) +(z z0) =r特殊地，以原点为球心，r为

4、半径的球面方程为 x2+y2 + z2 = r2重难点突破重点：了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置，会推导和使用空间两点间 的距离公式难点：借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比，认识空间点的对称及坐标间的关系重难点：在空间直角坐标系中，点的位置关系及空间两点间的距离公式的使用1 .借助空间几何模型进行想象，理解空间点的位置关系及坐标关系问题1：点P(a,b, c)到y轴的距离为解析借助长方体来思考，以点O, P为长方体对角线的两个顶点，点P(a,b,c)到y轴的距离为长方体一条面对角线的长度，其值为,a2 c22 .将平面直角坐标系类比到空间直角坐标系问题2：对于任意实数

5、x, y,z,求Jx2十y2十z2十J(x+1)2十(y _2)2+(z _ 1)2的最小 值解析在空间直角坐标系中，xx +y2 +z2 + J(x +1)2 +(y - 2)2 +(z-1)2表示空间点(x,y,z)到点(0,0,0)的距离与到点(1,2,1)的距离之和，它的最小值就是点 (0,0,0)与点 (1,2,1)之间的线段长，所以 Jx2 +y2 +z2 +J(x+1)2 +(y 2)2+(z 1)2 的最小值为 厩。3 .利用空间两点间的距离公式，可以解决的几类问题(1)判断两条相交直线是否垂直(2)判断空间三点是否共线标准文案(3)得到一些简单的空间轨迹方程考点1:空间直角坐

6、标系题型1:认识空间直角坐标系例1 (1)在空间直角坐标系中,A. y轴上的点BC .垂直于y轴的平面D(2)在空间直角坐标系中，方程热点考点题型探析y = a表不'().过y轴的平面.平行于y轴的直线y = x表不A.在坐标平面xOy中，1, 3象限的平分线B .平行于z轴的一条直线C .经过z轴的一个平面D.平行于z轴的一个平面【解题思路】认识空间直角坐标系，可以类比平面直角坐标系，如在平面直角坐标系坐标系中，方程x =1表示所有横坐标为1的点的集合y = a表示经解析(1) y = a表示所有在y轴上的投影是点(0,a,0)的点的集合，所以过点(0,a,0)且垂直于y轴的平面(2

7、)方程y = x表示在任何一个垂直于 z轴的一个平面内，1, 3象限的平分线组成的集合【名师指引】(1)类比平面直角坐标系，可以帮助我们认识空间直角坐标系(2) 要从满足某些特殊条件的点的坐标特征去思考问题。如：经过点(a,0,0)且垂直于x轴的平面上的点都可表示为 (a, y,z)题型2:空间中点坐标公式与点的对称问题例2 点P(a,b,c)关于z轴的对称点为R,点R关于平面xOy的对称点为P2,则P2的坐标为【解题思路】类比平面直角坐标系中的对称关系，得到空间直角坐标系中的对称关系解析因点P和R关于z轴对称，所以点P和P的竖坐标相同，且在平面xOy的射影关于原点对称，故点P1的坐标为(-a

8、,叱,c),又因点P1和P2关于平面xOy对称，所以点P2坐标为(-a-b,-c)【名师指引】解决空间点的对称问题，一要借助空间想象，二要从它们在坐标平面的射影找关系，如借助空间想象,在例2中可以直接得出点 P2为点P(a,b,c)关于原点的对称点，故坐标为(_a，_b,_c)【新题导练】1 .已知正四棱柱 ABCD AiBiCiDi的顶点坐标分别为 A(0,0,0), B(2,0,0), D(0,2,0),A(0,0,5),则Ci的坐标为 。解析正四棱柱ABCD - ABiGDi过点A的三条棱恰好是坐标轴，二Ci的坐标为(2, 2, 5)2 .平行四边形 ABCD的两个顶点的的坐标为A(-i

9、,i,3), B(3,2,-3),对角线的交点为M (i,0,4),则顶点C的坐标为 , 顶点D的坐标为 解析由已知得线段 AC的中点为M,线段BD的中点也是 M,由中点坐标公式易得C(3,-i,5) , D(-i,-2,ii)3 .已知M (4,3, -i),记M到x轴的距离为a , M到y轴的距离为b , M到z轴的距离为c,则()A. a >b >c B .c>ba C . c > a > b D . b > c> a解析借助长方体来思考，a、b、c分别是三条面对角线的长度。: a =j10,b = Ji7,c = 5,选 C考点2:空间两点间的

10、距离公式题型：利用空间两点间的距离公式解决有关问题例3如图：已知点 A(i,i,0),对于Oz轴正半轴上任意一点 P,在Oy轴上是否存在一z z Z点B ,使得PA_L AB恒成立？若存在，求出 B点的坐标；若不存在，说明理由。P【解题思路】转化为距离问题，即证明PA2 + AB2 = PB2解析设 P(0,0,c) B(0,b,0),>°M />B 对于Oz轴正半轴上任意一点 P ,假设在Oy轴上存在一点B ,使得PA 3AB恒成用则 PA2 AB2 = PB2_2_2_2_22_2_2_2_2.(0 -1)2 (0 -1)2(c -0)2 - (1 -0)2 (1 -

11、b)2 (0 -0)2 = (0 -0)2 (0 -b)2 (c - 0)即 3 + (b -1)2 =b2 ,解得：b =2所以存在这样的点 B,当点B为(0,2,0)时，PA _L AB恒成立【名师指引】在空间直角坐标系中，利用距离可以证明垂直问题。此外，用距离还可以解决空间三点共线问题和求简单的点的轨迹。【新题导练】4 .已知A(x,5 -x,2x-1),B(1,x+2,2 x),当A,B两点间距离取得最小值时，x的值为()A. 19B. -8C-D771914解析| AB |= &x -1)2 +(3 2x)2 +(3x -3)2 = *14x2 12x+19 = jl4(x

12、一号 +-58当x=8时，|AB|取得最小值75 .已知球面(x1)2 +(y+2)2 +(z3)2 =9,与点A(3,2,5),则球面上的点与点 A距 离的最大值与最小值分别是 。解析球心C(1-2,3), AC = 6 ,球面上的点与点 A距离的最大值与最小值分别是9和36 .已知三点A(-1,1,2),B(1,2, -1),C(a,0,3),是否存在实数a ,使A、B、C共线?若存在， 求出a的值；若不存在，说明理由。解析AB = J(1 1)2 十(12)2 +(2 +1)2 =板，AC = J(-1 - a)2 +(1-0)2 +(2-3)2 = J(a+1)2 +2 ,BC = J

13、(1-a)2 +(2 -0)2 +(-1 -3)2 : J(a-1)2 +20 ,因为BC > AB,所以，若 A,B,C三点共线，有 BC = AC+AB或AC = BC + AB,若BC=AC+AB,整理得：5a2+18a+19=0,此方程无解；2若AC =BC+AB,整理得：5a+18a+19 = 0 ,此方程也无解。所以不存在实数a,使A、B C共线。抢分频道基础巩固训练1 .将空间直角坐标系(右手系)画在纸上时，我们通常将 x轴与y轴，x轴与z轴所成的角 画成()A. 900 B . 1350 C . 450 D . 75°解析：选B2 .点P(3,4,5)在yoz平

14、面上的投影点 P的坐标是()A. (3,0,0) B . (0,4,5) C . (3,0,5) D .(3,4,0)解析：两点的纵坐标、竖坐标不变，选 B3 .三棱锥 OABC 中，O(0,0,0), A(2,0,0), B(0,1,0),C(0,0,3)此三棱锥的体积为()A. 1 B . 2 C . 3 D.61 1.斛析OA, OB, OC 两两垂直，Vo_abc = 1 1 2 3 = 13 24 . (2007山东济宁模拟)设点 B是点A(2,-3,5)关于平面xOy的对称点，则|AB|等于()A. 10 B . J10C . V38D . 38解析A点A(2,-3,5)关于平面x

15、Oy的对称点为B(2,-3,-5),AB = .(2-2)2 -3-(-3)2 5-(-5)2 =105 . (2007年湛江模拟)点 P(1,2,3)关于y轴的对称点为R , P关于平面xOz的对称点为g,则 |Pg|=解析P(-1,2,-3) , F2(1,2,3),二| PP2 尸痴6 .正方体不在同一表面上的两顶点P (-1 , 2, -1 ), Q (3, -2 , 3),则正方体的体积是解析: P,Q不共面，二PQ为正方体的一条对角线，PQ = 4< 3 ,正方体的棱长为 4,体积为64综合提高训练7 .空间直角坐标系中，到坐标平面 xOy , xOz, yOz的距离分别为2

16、, 2, 3的点有A.1个B.2 个 C.4 个D.8个解析：8 个。分别为(3, 2, 2)、(3, 2, -2)、(3, -2, 2)、(3, -2, -2)、(-3, 2, 2)、(-3 , 2, -2 )、(-3 , -2 , 2)、(-3 , -2 , -2 )8 .(2007山东昌乐模拟)三角形ABC的三个顶点的坐标为 A(1,2,11), B(4,2,3),C(6, 1,4),则AABC的形状为()A.正三角形B .锐角三角形C .直角三角形 D .钝角三角形解析C| AB|= . (1 -4)2 (-2 -2)2 (11 -3)2 =、89| AC |= . (4 -6)2 (

17、-2 1)2 (11 - 4)2 = J75|BC|= (4-6)2 (2 1)2 (3 -4)2 =14222A(_1,_1,2),点 B 是平.AC2 BC2 =AB29 . (2008年佛冈一中模拟)已知空间直角坐标系 Oxyz中有一点.17面xOy内的直线x + y = 1上的动点，则 A, B两点的最短距离是()A.6 B解析因为点B在xoy平面内的直线x + y=1上，故可设点B为(x,x十1,0),所以 AB =1；(x +1)2 +(x +2)2 +(0 -2)2 =、'2x2 -2x+9 =2(x1)2 +17 ,-.1 , 一 - 一 ,34, ,1 1所以当1时，AB取得最小值4,此时点B为(1,1,0)。222 210.如图，以棱长为a的正方体的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系 O-xyz,点P在A正方体的对角线 AB上，点Q在正方体的棱 CD上。(1)当点P为对角线AB的中点，点Q在CD上运动时,探究PQ的最小值；(2)当点P在对角线AB上运动，点Q为棱CD的中点时,探究PQ的最小值； 解析由已知 A(a,a,0), C(0,a,0), D(0,a,a), B(