线面角地求法总结材料

1、标准实用线面角的三种求法1.直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。例 1 （如图 1 ）四面体 ABC汕,SA,SB,SC 两两垂直，/SBA=45° , / SBC=60 , M 为 AB 的中点，求（1） BC与平面SAB所成的角。（2） SC与平面ABC所成的角。解：（1） - SC± SB,SC± SA,SC1平面SAB故SB是斜线BC在平面SAB上的射影，丁./SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60&#

2、176;。（2） 连结 SM,CM 则 SMLAB,又 SCLAB,.ABI平面 SCM, 面 ABCL面 SCM过 S作 SHI± CMF H, 则 SHL平面 ABC.CH即为SC在面AB®的射影。/ SCH为SCW平面ABCf成的角。 sin /SCH=SHK SCSC与平面ABC所成的角的正弦值为， 7/7（“垂线”是相对的， SC是面SAB的垂线，又是面 ABC的斜线.作面的垂线常根据面面垂 直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面， 然后一面内找出或作出交线的垂 线，则得面的垂线。）2 .利用公式sin 0 =h/ t其中。是斜线与平面所成的角， h是

3、 垂线段的长，C是斜线段的长，其中求出垂线段 的长（即斜线上的点到面的距离） 既是关键又是难点， 为此可用三棱锥的体积自等来求垂线 段的长。例 2 （如图 2） 长方体 ABCD-AB1CQ , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求 AB与面 AB1C1D 所成 的角。解：设点B到ABCD的距离为h, ''' VB- ABC=Va- BBC1 1/3 S/XABC1 . h= 1/3 S BBC . AB,易得 h=12/5设AB与 面A B 1GD所成的角为0，则sin。=h/AB="5文案大全AB与面ABGD所成的角为 arcsin 4 /53 .

4、 利用公式 cos 0 =cos 0 i - cos 0 2（如图3）若OA为平面的一条斜线,O为斜足，。斯。型面a内的射影，0外面内的一条直线，其中。为0Atl。新成的角,%为0Atl。的成的角，即线面角，02为0的0O成的角，那么cos 0 =cos 0 i - cos 0 2 （同学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一 切角中最小的角（常称为最小角定理）例3 （如图4）已知直线 OA,OB,OC两两所成的角为60° ,求直线 0A与面OBC所成 的角的余弦值。解：AOBh AOC .1 0A在面 OBC内的射影在/ BOC的平分线 0D

5、上，贝U/AOD即为0A与面0B的成的角，可知/ DOC=30 ,cos / AOC=c。度 AOD cos / DOCcos60 ° =cos / AOD- cos30 ° cos Z AOD=，3/3OA与面OBC所成的角的余弦值为，3/3。1 .直线和平面的位置关系；（平行、相交和直线在平面内）2 .思考：当直线a与平面«的关系是aPla = A时，如何反映直线与平面的相对位置关系呢?（可以用实物来演示，显然不能用直线和平面的距离来衡量）（二）新课讲解：1.平面的斜线和平面所成的角：已知，如图，AO是平面«的斜线，A是斜足，OB垂直于平面a , B

6、为垂足，则直 线AB是斜线在平面a内的射影。设 AC是平面a内的任意一条直线，且 BC _L AC ,垂足为C ,又设JO与 AB所成角勺1，鸟与AC所与为02,AO与AC所成角为6 ,则易知:| AB |=| AO | cosO|, | AC |=| AB | cos02 =| AO | cos91 cos02 又 . |ACRAO|cose ,可以得到：cos6 =cos01 cos02,冗注意：02 W (0,')(若 022n,则由三垂线定理可知,2OOA _L AC ,即日二三；与" AC是平面口内的任意一条直线，且 2BC _L AC ,垂足为C ”不相符)。易得

7、：cos6 <cos01 又日,81 w (0,夕即可得：日1 <日.则可以得到：(1)平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角；(2)斜线和平面所成角：一个平面的斜线和它在这个平面中的射影的夹角，叫做斜线和平 面所成角(或叫斜线和平面的夹角)。说明：1.若a_Lot ,则规定a与口所成的角是直角；2 .若a 3或a u尊,则规定a与a所成的角为0"；3 .直线和平面所成角的范围为：0O <9 <900 ;4 .直线和平面所成角是直斜线与该平面内直线所成角的最小值(cos日=cos© cos% )。2.例

8、题分析:例1.如图，已知 AB是平面a的一条斜线， B为斜足，AO_La,O为垂足，BC为a内的一条直线，. ABC =60；,. OBC =45,求斜线解：: AO_La,由斜线和平面所成角的定义可知，又 cosQ =cos4 cos0,cos ABC cos60 1 x2cos ABO =二t =- 一 二cosdCBO cos45 22/BAO =45°,即斜线 AB和平面ct所成角为45 .例2.如图，在正方体 AC1中，求面对角线 A1B与对角面BB1D1D所成的角。(法一)连结 AC1与B1D1交于O ,连结OB , DD1 1A1C1, B1D1 1A1C1,A1O _

9、L 平面 BB1D1D ,/ABO是A,B与对角面BB1D1D所成的角，在 Rt&A BO 中,(法二)由法一得一 1A1O =-A1B , . “BO =30，/ABO是AB与对角面BB1D1D所成的角,又 cos A1BB12= cos45 = , cos/B1BO =BO.cos. ABO =cos ABB- 2 = ,. ABO =30.cos. B1BO6213说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角。另外，在条件允许的情况下，用公式cos8 = cos4 cos仇求线面角显得更加方便。例3.已知空间四边形 ABCD的各边及对角线相等

10、，求 AC与平面BCD所成角的余弦值。解：过A作AO，平面BCD于点O ,连接CO, BO, DO , AB = AC = AD ,。是正三角形 BCD的外心，设四面体的边长为 a ,则CO =，3 a ,3 ZAOC =900,/ACO即为AC与平面BCD所成角，、,3 cosZACO =2，所以，AC与平面BCD所成角的余弦值为 3五.课堂练习：课本第 45页练习第1, 2, 3题；第47页习题9.7的第1题。六.小结：1.线面角的概念；2. cosH=cos& cos%及应用步骤：9,91,92在图形中所表示的角。七.作业：课本第 45页练习第4题、第47页习题9.7的第2题。补

11、充：1如图，PA是平面a的斜线，ZBAC在平面a内，且满足/ BAC =900,又已知NPAB =NPAC =600,求PA和平面a所成的角。2.如图，已知PA_L正方形ABCD所在平面，且 PC=24,PB = PD =6，而，求PC和平空间中的角主要包括两条异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角等.线面角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的南兑角叫做这条斜线和这个平 面所成的角.恃别地，一直线垂直于平面，所成的角是直角,一直线平行于平面或在平面内，所二一 一 一 一7T成角为。角.因此，直线和平面所成角范围:0,->本文举例探讨线面愈的两种求解策略.一、wa绫面角的常规解法

12、是先找到直线在平面内的射影,直线与其在这个平面内的射影 所成的角就是线面角.此时,大多需要过直线上一点作平面的垂线.例L正方体ABCD*EFGH的梭长为4点P在AC上，Q在BG上，且AP=BQf, 求直线PQ与平面ABCD所成的角的正切值；分析：先作出FQ在面ABCD内的射影,由于面BFGCJ ABCD,作QM_L BC于M,则MP就是QP在面ABCD内的射影，/QFM就是要求的角解 作QM_LEC于M,隹MP,则NQMP就是直线PQ与平面ABCD所成的角则易得：QM= a» MP= (jtanZQPM= >/2 +1.22"MF解后反思:求线面角的常规解法是：&qu

13、ot;一作、二证、三求 .作曾是解题的关口D反二、向量法空间中的角大多郃能用向量方法求解.凡可建立坐标系的利用向量求解更为蔺捷.直线和平面所成角的向量公式1直线a的方向向量和平面值的法向量分别为国和% 当用与舞的夹角不大于9即时,直线3与平面CL所成的角等于加马两夹角的余角；当两 与然的夹角大于90。时，直缕曰与平面口所成的角等于海与用夹角的互补的余角，所以直线a的方向向量和平面口所成的角日菊足：sine =_L I照例2.如图，已知长方体ABCD- A400，乂B=工& = L直线8。与平面AABB所成的角为30。，兑E垂直8。于F为司刍的中点.求直线心】与平面尸所成 的角.解；在长

14、方体/CD-月产£坊中, 以上6所在的直线为了轴，以期所在的直线为y轴，44所在的直线 为了轴建立如图示空间直角坐标系,可得工(0,0,0),£(2,0,0),9(1,0,1)又看£)_L平面，从而与平面 及用E所成的角为NO七4二30口，又AB=2, AErBD. AE = AD =述从而易得宜L史,ooa3。2 J¥4,二Do,21,1),二工a 二(o,Xl,D，又.;；=(Lj5i是平面的一 33个法向量，；,聊 3 就=. f 国 =亚3,二 丽为锐角，二直爱知【与平面 |胃冈皿|35曾nLmi科心工吊上3加5 ._» 7T3V105

15、 ,BDF所成的线面角为arcsm(或一一 arccos).35235解后反思：求线面角的常规解法,一作、二证、三求力很多同学感到棘手，难 在不易找到所求的角，利用向量解法可以避免“作和证”，只剩下单纯的向量计算， 而且有了固定的解题模式，复杂的空间角求解问题就可以非常茴便地得到解决了.直 线与平面所成的角0主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角3求得即 sin 9 = | cos 3 | 或 cos 8=±in© .例3在正四面体ABCD中，E为AD的中点，求直线CE与平面BCD成的角.分析求线面角的关健在于找出斜线在平面内的射导，即找垂面，有了垂面即可在 垂面内

16、作交魏的垂爱，线面角即可作出，然后转化到三角形中求解.解法一：取BC的中点F,连结AF% DF. 二正四面体 ABCD,BC±DF 上。_1_面 AFD,而 BC0 平面 BCD, /.ffi AFD±fi BCD过E作EKLDF于H,而 DF0 平面 BCD,则 EH±E BCD 则NECH为CE与面BCD所成的角.在 RtZiCEH 中，sinZECH= .3行即CE与平面BCD成的角为arc sin注.3解法二：如图建立以三角形BCD的中心0为原点，QDQA依次为y轴, 轴平行于BC.设正四面体ABCD的棱长为a ,C华，现0,华263华）,TE为AD的中点，区（0,则OF二华回啖必与QA二警又因为平面B