培优专题分式的运算(含答案)

1、10、分式的运算【知识精读】1 .分式的乘除法法则a c ac一 = b d bda c a d ad b d b c bc当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。2 .分式的加减法(1)通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。求最简公分母是通分的关键，它的法则是：取各分母系数的最小公倍数；凡出现的字母(或含有字母的式子)为底的哥的因式都要取；相同字母(或含有字母的式子)的哥的因式取指数最高的。(2)同分母的分式加减法法则a b a 二bi =c c c(3)异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。3.分式乘方的法则naaJ)” =1T为正整数) b

2、bn4.分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有 重要应用。学习时应注意以下几个问题：(1)注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；1”的分式;(2)整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为(3)运算中及时约分、化简;(4)注意运算律的正确使用;(5)结果应为最简分式或整式。卜面我们一起来学习分式的四则运算。【分类解读】14 / 92 x 计算-x一 2一-x -2 x x -6的结果是()x -2A.x - 1x -3x 1B.x - 9C x2 -1x2 . 9x2 1J分析:原式 J* * x-2)(x F-(x 3)(x-2)(x -3)(x 2

3、) (x 2)(x -1)(x -2)(x 1) (x 2)(x -1) (x-3)(x 2) (x 3)(x-2) (x 1)(x -1)例2 ：已知abc = 1 ,求ab a 1 bc b 1 ac c 1的值。分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用abc替换待求式中的“1,将三个分式化/aab解：原式=+abc成同分母，运算就简单了。ab a 1 abc ab a abc abc abababc-+ab a 1 1 ab a a 1 aba ab 1ab a 1二1n m 、，. n m 、例3：已知：2m5n =0,求下式的值：(1+) * (1 +)m m -n m m n分析：

4、本题先化简，然后代入求值。化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。无力 n m 、 n解：(1) (1 -m m -n m_ m(m n) n(m n) m m(m n) n(m n) m m(m -n)m(m n) n . m(m n)m(m-n)-n_ m nm - n2m -5n =0故原式5 n n, 25 n 一 n2ab例4：已知a、b、c为实数，且a bbc 1 ca=一 ，b c 4 c aabcab bc ca的值是多少?分析：已知

5、条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。解：由已知条件得：工+1=3, , + =4, 1+,=5a b b c c a_111所以2() =12abc1即一又因为所以abcab bc caabbcca111 八二一一-=6abccba3 d2 d2.例5 :化简:，义 1 x -1 x -4(-)(x-2)(x-2)x-2 x 2 x 1原式 _(xx 1 22_ (x 1)(x -x 3x -3x 3 -x 1)x 1: x3 2x2 -4x 42一一一一 1)(x 2) (x2 -1)(x.2)(x -2)(x 2)4 c 3 c 2,x 3x - 2x 4x 1

6、(x(x 1)(x -x 1) (x 2)(x -2) (x 1)(x-1) (x 2)(x-2)解一：原式=+x -2x 1x 2x 1=(x2 x 1)(x 2) (x -1)(x -2)=x3 - x2x 2x2 - 2x 2 x2 -3x 23 一 2=x 2x - 4x 4说明：解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项 式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，避免了上述问题。因此，解题时注意审题，仔细观察善于抓住题目的特征，选择适当的方法。 -x2) 3(x3 1) 一(x2 -1)x 1x2(x 1)(x - 1) 3(x 1

7、)(x2 -x 1) -(x 1)(x - 1)例1、计算：1 +±m m - 2n22m - n2.2m -4mn 4n解：原式=1 -m -n_2(m - 2n)m -2n (m n)(m - n)二1 一m - 2nm n - m 2n3n说明：分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解。例2、已知:22xy-y解:2xy-y2" 十22x -y2xy - y2 x2 -2xy y22-y2-y说明:分式加减运算后，等式左右两边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出中考点拨:例1:计算:。-一_-(，一，)(a b)2 (a -b)2 a b a -b22(a

8、-b)2 - (a b)2(a b)2(a -b)2a -b -a -b(a b)(a - b)-4ab(a b)(a - b)22,(a b) (a -b)-2b2a(a b)(a -b)2a2 a111原式二(')(-a b a -b a ba -b)1a -b11-十a b a -ba -b a b2a二(a b)(a -b) = a2 b2说明：在分式的运算过程中，乘法公式和因式分解的使用会简化解题过程。此题两种方法 的繁简程度一目了然。例 2：若 a* 2 +b2 =3ab,2b3则(1 .a3 -b2b 3)*(1 +)的值等于()a - bA.B. 0C. 12 D.31

9、.已知：a +b =2,ab = -5,则a+'的值等于()b a333解：原式a -b 2b . a -b 2b33ua -ba-ba3 b3 a -ba3 -b3 a b(a b)(a2_a -ab b3ab - ab-22 = T；7aab b3ab ab2ab _ 14ab -2故选A【实战模拟】 -ab b2) a -b19C. 一一52A. 一524D. 一 一5,231 .2.已知x -16*-1=0,求* 一飞的值。x3.计算:2x 9x 20222x 3x 2 x 5x 6 x 7x 124.99991111 199992222 199992222 199993333

10、 1A与B的大小。111八5.已知：a+b+c = 0, abc = 8,求证：一+-+-<0。 a b c【试卷答案】22a2 b2aba b = 2, ab - -5 222a2 b2 =(a b)2 -2ab =14a b 1414a 十 =-b a -55故选B2.解：: x2 -16x - 1 = 0, x2 =16x +1, x2 -1 = 16x, x2 -16x = 11x31 x6 -1 (x* 2 -1)(x4 x2 1)16x(x4 x2 x2 - 16x)_4_ 2_16(x4 2x2 -16x)216=16(x2 2 -) x二 16(16x 1 2 竺) x2

11、16x2_16、= 16(3 )_2-“s 16(x -1),16 16xn: 163 -: 163 =16 259 =4144说明：此题反复运用了已知条件的变形，最终达到化简求值的目的。3.解:1(x 1)( x 2)(x 2)(x 3)+(x 3)( x 4) (x 4)(x 5)11111= 十 +x 1 x 2 x 2 x 3 x 3_1x 1 x 54=-2 Z Zx 6x 5说明：本题逆用了分式加减法则对分式进行拆分，简化计算。4.解：设 a =99991111,则 A =a 1a22 B 3a21a3A-Ba2 1a 1a4a3 a 1 -a4 -2a2 -1a3 1 -(a2 1)(a3 1)a(a-1)2. 111bc acab 1222又、十 + = (a + b + c )abc abc 16abc =