平行四边形培优讲义

1、平行四边形培优题周长面积类以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作（）A. 1B. 2C. 3D. 4如图， abc为等边三角形，p是abc内任意一点pdUab, peUbc, pfUac，若|_ABC 的周长为 12,则 PD +PE + PF = B D C如图：An Bn Ci分别是BC, AC , AB的中点，A2, B2, C2分别是B©, Aq, ABi的中点一这样延续下去.已知 4ABC的周长是1, 4A1B1cl的周长是L1, ABC的周长是L2A nBnCn的周长是 Ln,贝U Ln= D、E为BC上的点，连接如图，在 4ABC中，AB=AC . M、N

2、分别是 AB、AC的中点,2DN、EM ,若AB=13cm , BC=10cm , DE=5cm ,则图中阴影部分的面积为 cm .如图，一个平行四边形被分成面积为S1, S2, S3, S4的四个小平行四边形，当 CD沿AB自左向右在平行四边形内平行滑动时，S1 S4与S2 S3的大小关系为（）H C GA.SS4>S2 s3B. S1S4VS2 s3C. S1 S4=S2 s3D.不能确定如图，点P是CABCD的对角线 BD上任意一点，过 P作EF II BC ,分别交 AB、CD于E、 F,过P作HG / AB ,分别交AD、BC于G、H ,请问四边形 AEPG和PHCF的面积相等

3、吗？ 并说明理由.如图，设P为平行四边形 ABCD内的一点， PAB, APBC, PDC , PDA的面积分别 记为Si, S2, S3, S4,则可以得出何结论？平行四边形+角平分线（含垂直） 如图，在？ABCD中，/A=65 , DE LAB,垂足为点E,点F为边AD上的中点，连接 FE,则/ AFE的度数为（如图，在？ABCD中，AE平分/ BAD交边CD于点E.若AD=3 , AB=4 ,则EC长为()如图，？ABCD的对角线 AC, BD交于点1AB = BC ,连接OE.下列结论：/ 2C. 1D. 0.5O, AE 平分/ BAD 交 BC 于点 E,且/ ADC=60Z CO

4、D=60 ,成立的个数有(C. 3个D, 4个CAD=30 ; S ABCD =AB ?AC ； OB=AB ;如图，在平行四边形 ABCD中，AB=10 , / BAD的平分线与 BC的延长线交于点 E,与DC交于点F,且点F恰好为DC的中点，DGLAE,垂足为G.若DG=3,则AE的边长为()A. 2近B. 4C. 8D. 16如图，在平行四边形 ABCD中，AB=5 , BC=10 , F为AD的中点，CEXAB于E,设/ ABC=x (60° wq90°).(1)当a =60时，求CE的长；(2)当60° < 8< 90°时，是否存在

5、正整数 k,使得/ EFD=k/AEF?若存在，求出 k的值; 若不存在，请说明理由.在？ABCD中，/ BAD的平分线交直线 BC于点E,交直线 DC于点F.(1)在图1中证明CE=CF;(2)若/ ABC=90 , G是EF的中点(如图 2),直接写出/ BDG的度数；(3)若/ABC=120 , FG/CE, FG=CE,分别连接 DB、DG (如图 3),求/ BDG 的度数.在?ABCD中，/ ADC的平分线交直线 BC于点E、交AB的延长线于点 F,连接AC.(1)如图1,若/ ADC=90 , G是EF的中点，连接 AG、CG.求证：BE=BF .请判断那GC的形状，并说明理由；

6、(2)如图2,若/ ADC=60 ,将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG,连接AG、CG.那 么"GC又是怎样的形状.(直接写出结论不必证明)(1)如图所示，BD, CE分别是 那BC的外角平分线，过点 A作AFBD, AG XCE,垂 足分另1J为F, G,连接FG,延长AF, AG,与直线BC分别交于点M、N,那么线段FG与 祥BC的周长之间存在的数量关系是什么？即：FG= AB+BC+AC )(直接写出结果即可)M B C N(2)如图，若BD, CE分别是那BC的内角平分线；其他条件不变，线段FG与祥BC三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明.(3

7、)如图，若BD为祥BC的内角平分线，CE为"BC的外角平分线，其他条件不变，线 段FG与四BC三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想即可.不需要证明.答：线段 FG与"BC三边之间数量关系是平行四边形的综合题 已知：如图，/BAC=90, AD_LBC 于 D , N1 =N2, EF _L BC 于 F.求证：AF 与 EG互相平分如图，已知AABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE ,连接DE并延 长至点F,使EF=AE ,连接 AF、BE和CF.(1)请在图中找出一对全等三角形，用符号丝”表示，并加以证明；(2)判断四边形 ABDF是怎样的四边形

8、，并说明理 由；(3)若AB=6, BD=2DC ,求四边形 ABEF的面积.已知，如图，在?ABCD中，AE ± BC ,垂足为E, CE=CD ,点F为CE的中点，点 G为CD 上的一点，连接 DF、EG、AG , / 1 = /2.(1)若 CF=2, AE=3 ,求 BE 的长；1(2)求证：/CEG = /AGE .2如图，已知？ABCD中，DEBC于点E, DH ±AB于点H, AF平分/ BAD ,分别交 DC、DE、DH 于点 F、G、M,且 DE=AD .(1)求证：AADGFDM.(2)猜想AB与DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想.EEC已知平行

9、四边形 ABCD ,对角线AC和BD相交于点。，点P在边AD上，过点P作PEX AC, PFXBD ,垂足分另1J为 E、F, PE=PF.(1)如图，若PE=JW, EO=1 ，求/EPF的度数；(2)若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF =BC+3，24 ,求BC的长.如图，？ABCD中，E是BC边的中点，连接AE,F为CD边上一点，且满足/ DFA = 2/BAE (1)若/ D=105 , / DAF=35 .求/ FAE 的度数；(2)求证：AF=CD+CF .已知如图，四边形 ABCD为平行四边形，AD=a, AC为对角线，BM /AC,过点D作DE / CM ,交AC的延长

10、线于 F,交BM的延长线于 E.(1)求证：AADFBCM;(2)若AC=2CF , /ADC=60 , AC ±DC,求四边形 ABED的面积(用含a的代数式表示).平行四边形的几何变换已知：如图，|_ABC 是等边三角形，D、F分别为CB、BA上的点，且CD= BF,以AD为边 作等边|_ade。求证：(1) |_ACD三CBF(2)四边形CDEF为平行四边形如图，在？ABCD的形外分别作等腰直角 那BF和等腰直角 那DE ,/FAB =/EAD =909， 连接AC、EF.在图中找一个与 4FAE全等的三角形，并加以证明.5如图，那BC是等边三角形，点 D是边BC上的一点，以A

11、D为边作等边 AADE ,过点C作 CF / DE 交 AB 于点 F.（1）若点D是BC边的中点（如图），求证：EF=CD;（2）在（1）的条件下直接写出 AAEF和祥BC的面积比；（3）若点D是BC边上的任意一点（除 B、C外如图），那么（1）中的结论是否仍然成 立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.在 AABC 中，AC=BC , / ACB=90，点 D 为 AC 的中点.（1）如图1, E为线段DC上任意一点，将线段 DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF, 连接CF,过点F作FHLFC,交直线AB于点H.判断FH与FC的数量关系并加以证明；（2）如图2,若E为线段

12、DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中 得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明.如图1, P为RtAABC所在平面内任意一点(不在直线 AC上)，/ ACB=90 , M为AB边 中点.操作：以PA、PC为邻边作平行四边形 PADC,连续PM并延长到点E,使ME=PM , 连接DE.探究：(1)请猜想与线段 DE有关的三个结论；(2)请你利用图2,图3选择不同位置的点 P按上述方法操作；(3)经历(2)之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；(注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分)(4)若将

13、“RtABC改为 任意"BC ,其他条件不变，利用图 4操作，并写出与线段 DE 有关的结论(直接写答案).如图，在 DABCD中，过点 C作CELCD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转 90° 得到线段EF,点P为直线CD上一点(不与点 C重合).(1)在图1中画图探究：当点P在CD延长线上时，连结 EP并把EP绕点E逆时针旋转90°得到线段EQ.作直线QF交直线 CD于H,求证：QFXCD.(2)探究：结合(1)中的画图步骤，分析线段 QH、PH与CE之间是否存在一种特定的数量关系？请在下面的空格中写出你的结论；若存在，直接填写这个关系式.当点P在CD延

14、长线上且位于 H点右边时，;当点P在边CD上时，.(3)若AD=2AB=6 , AE=1 ,连接 DF,过P、F两点作。M,使。M同时与直线 CD、DF 相切，求。M的半径是多少？三角形中位线如图，在4ABC中，D、E、F分别为BC、AC、AB 的中点，AHLBC 于点 H, FD=8cm ,则HE的值为()A. 20cmB. 16cmC. 12cmD. 8cm(1)证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据( 巴知”除外)(2)如图2,在？ABCD中，对角线交点为 O, A,、B1、C1、D1分

15、别是OA、OB、OC、OD的中点，A2、B2、C2、D2分别是OA,、0巳、OCi、OD,的中点，以此类推.若？ABCD的周长为1,直接用算式表示各四边形的周长之和?(3)借助图形3反映的规律，猜猜 C可能是多少？观察探究，完成证明和填空.已知： 祥BC是任意三角形.图1图2图3(1) 如图1所示，点M、P、N分别是边AB、BC、CA的中点, 求证：/ MPN= / A .，一 ，,一 AM 1 AN 1(2) 如图2所不，点M、N分别在边AB、AC上，且4M=1任 =1，点P,、P2AB 3' AC 3是边BC的三等分点，你认为/ MP1N+ / MP2N=Z A是否正确？请说明你的

16、理由.， 一. .,一 AM 1 AN 1一(3)如图3所不，点M、N分别在边 AB、AC上，且=,=,Pr P2、AB2010 AC 2010P2009是边 BC 的 2010 等分点，则/ MP1N+/ MP2N+ /MP2009N= .(请直接将该小问的答案写在横线上)平行四边形动点问题如图，在梯形 ABCD 中，AD / BC, / B=90° , AD=16cm , AB=12cm , BC=21cm ,动点 P 从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到 C点返回，动点 Q从点A出发, 在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P, Q分别从点B, A同时出发，当点 Q 运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为 t (秒).(1)当t为何值时，四边形 PQDC是平行四边形；(2)当t为何值时，以C, D, Q, P为顶点的梯形面积等于 60cm2?(3)是否存在点P,使4PQD是等腰三角形？若存在