倾斜角与斜率优秀教案

1、倾斜角与斜率教学目标：（1） 了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念，（2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.（3）培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力.（4）帮助学生进一步理解数形结介思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严 谨的科学态度和求简的数学精神.教学重点、难点：直线斜率的概念和公式教学用具：计算机数对（1, 3）就满足y=2x+l.图】一般地，满足函数式y = kx+b的每一对x，y的值，都是直线上的点的坐标（x, y ）：反之，宜线上每一点的坐标（x, y ）都满足函数式y=kx+b,因此，一次函数y=kx+b 的图象是

2、一条直线.它是以满足y=kx+b的每一对又，y的值为坐标的点构成的.从方程的角度看，函数y=kx+b也可以看作是二元一次方程y-kx-b = O ,这样满足 一次函数丫=依+匕的每一对x, y的值“变成了"二元一次方程ykx-b = O的解，使方 程和直线建立了联系.定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的所有点 坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程 的直线.以上定义改用集合表述：x，y的二元一次方程的解为坐标的集合，记作F.若（1） Cc F （2） F oC ,则C = F .问：你能用充要条件叙述吗？答:

3、一条直线是一个方程的直线，或者说这个方程是这条立线的方程的充要条件是. （一）直线的倾斜角【问题1】请画出以卜.三个方程所表示的直线，并观察它们的异同.y= x+1： y=2x+l： y= -x+1丫 /过定点，方向不同.如何确定一条直线？/ 1两点确定一条直线.）还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条，f7直线还应增加什么条件？"学生：思考、回忆、回答：这条直线的方向，或者说图,倾斜程度.”【导入】今天我们就共同来研究如何刻画直线的方向.【问题2】在坐标系中的一条立线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？讨论之前我们可以设 想这个角应该是怎样的呢？它不仅能解决我们的问题，同

4、时还应该是简单的、自然的.学生：展开讨论.学生讨论过程中会有错误和不严谨之处，教师注意引导.通过讨论认为：应选择。角来刻画直线的方向.根据三角函数的知识，表明一个方向可 以有无穷多个角，这里只需一个角即可（开始时可能有学生认为有四个角或两个角），当然 用最小的正角.从而得到直线倾斜角的概念.【板书】定义：一条直线1向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角叫做直线1的倾斜角.（教师强调三点：（1）直线向上的方向，（2） x轴的正方向，（3）最小正角特别地，当1与X轴平行或重合时，规定倾斜角为0° .由此定义，角的范围如何？0°<180° 或 OWa <n

5、如图 3图4图3至此问题2己经解决了，回顾一下是怎么解决的.（三）直线的斜率【问题3】卜 .面我们在同一坐标系中画出过原点倾斜角分别 是30°、45°、135°的直线，并试着写出它们的直线 方程.然后观察思考：直线的倾斜角在直线方程中是如何体现的？ 学生：在练习本上画出直线，写出方程.30° <> y = x345° <> y = x135° <> y =-x(注：学生对于写出倾斜角是45。、135°的直线方程不会困难，但对于倾斜角是30° 可能有困难，此时可启发学生借用三角函数

6、中的30°角终边与单位圆的交点坐标来解决.) 【演示动画】观察直线变化，倾斜角变化，直线方程中X系数变化的关系(1)直线变化一。变化一y = kx中的X系数k变化(同时注意tg。的变化).(2) y=kx中的x系数变化一直线变化一。变化(同时注意tga的变化).教师引导学生观察，归纳，猜想出倾斜角与x的系数的关系：倾斜角不同，方程中x的 系数不同，而且这个系数正是倾斜角的正切！【板书】定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.记作k,即k = tga.这样我们定义了一个从“形”的方面刻画直线相对于x轴(正方向)倾斜程度的量一一 倾斜角，现在我们又定义

7、一个从“数”的方面刻画直线相对于x轴(正方向)倾斜程度的量 一一斜率.指出下列直线的倾斜角和斜率：(1) y =-yi x (2) y = xtg60° (3) y = xtg(-30° )学生思考后回答，师生一起订正：(1)120° ：(2)60° ： (3)150° (为什么不是-30°呢？)画图，指出倾斜角和斜率.注意：当倾斜角为90°时，斜率不存在.a =0°<> k =000 <a <90° «>k >0a =90°<> k不存

8、在900 <a <180° <> k <0(四)宜线过两点斜率公式的推导【问题4】如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义卜=弋8。求出直线的斜率;如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，斜率就是确定的，那么 又怎么求出直线的斜率呢？即已知两点RCn,川、PKx,川(其中船工家)，求直线尸退的斜率.思路分析：首先由学生提出思路，教师启发、引导：运用正切定义，解决问题.(1)正切函数定义是什么？(终边上任一点的纵坐标比横坐标.)(2)角。是“标准位置”吗？(不是.)如何把角。放在“标准位置”？(平移向最丽，使月与原点重合，得到新向最

9、丽.)(4)P的坐标是多少？ ( xz-xi, y：-yi)(5)直线的斜率是多少？ k=tga = Y2 - Y10 f(6)如果只和尸2的顺序不同，结果还一样吗？(一样).图5评价：注意公式中必即直线月月不垂直x轴.因此当直线月月不垂直x轴时，由 已知直线上任意两点的坐标可以求得斜率，而不需要求出倾斜角.【练习】(1)直线的倾斜角为。，则直线的斜率为tga ?(2)任意直线有倾斜角，则任意直线都有斜率？(3)直线y=xtg (-330° )的倾斜角和斜率分别是多少？(4)求经过两点C(0, 0)、D (-1, JJ)直线的倾斜角和斜率.(5)课本练习第2、4题.教师巡视，观察学生情况，个别辅导，订正答案(答案略).【总结】教师引导：首先回顾前边提出的问题是否都已解决.再看卜边的问题：(1)直线倾斜角的概念要注意什么？(2)直线的倾斜角与斜率是一一对应吗？(3)已知两点坐标，如何求直线的斜率？斜率公式中脚标1和2有顺序吗？学生边讨论边总结：(1)向上的方向，正方向，最小，正角.(2)不是，当。二90°时，tg。不存在. k=、一，（ x1H x、），没有.【作业】1 .课本习题第3、4、5题.2