高数9_3全微分

1、目录 上页 下页 返回 结束 第九章 *二、全微分在近似计算中的应用二、全微分在近似计算中的应用 应用 第三节一元函数 y = f (x) 的微分)( xoxAyxxfy)(d近似计算估计误差本节内容本节内容:一、全微分的定义、全微分的定义 全微分目录 上页 下页 返回 结束 一、全微分的定义、全微分的定义 定义定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ),(),(yxfyyxxfz可表示成, )(oyBxAz其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，称为函数),(yxf在点 (x, y) 的全微分全微分, 记作yBxAfz d

2、d若函数在域 D 内各点都可微,22)()(yx则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微可微，处全增量则称此函数在在D 内可微内可微.AxBy目录 上页 下页 返回 结束 )(oyBxAzyBxAfz dd(2) 偏导数连续),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1) 函数可微函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微),(lim00yyxxfyx当函数可微时 :得zyx00lim0),(yxf函数在该点连续偏导数存在 函数可微 即目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1 1(必要条件)若函数 z = f (

3、x, y) 在点(x, y) 可微可微 ,则该函数在该点的偏导数yzxz,yyzxxzzd), (), (yfyfzxxz同样可证,Byzyyzxxzzd证证:因函数在点(x, y) 可微, 故 , )(oyBxAz,0y令)(xoxA必存在,且有得到对 x 的偏增量xxx因此有 xzxx0limA目录 上页 下页 返回 结束 反例反例: 函数),(yxf易知,0) 0, 0()0, 0(yxff 但)0, 0()0, 0(yfxfzyx因此,函数在点 (0,0) 不可微 .)(o注意注意: 定理1 的逆定理不成立 .22)()(yxyx22)()(yxyx22)()(yxyx0偏导数存在函数

4、 不一定可微 !即:0,2222yxyxyx0, 022 yx目录 上页 下页 返回 结束 ),(yyxxf定理定理2 (充分条件)yzxz,证证：),(),(yxfyyxxfz)1,0(21xyxfx),( yyyxfy),(2xyyxxfx),(1),(yyxf),( yxf),(yyxfyyxfy),(若函数),(yxfz 的偏导数,),(连续在点yx则函数在该点可微分.0lim00yx,0lim00yx目录 上页 下页 返回 结束 zyyxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfzyx),(),(yx所以函数),(yxfz ),(yxyx在点可微. 0lim00yx,0lim00yx

5、注意到, 故有)(o目录 上页 下页 返回 结束 xxu推广推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如, 三元函数),(zyxfu ud习惯上把自变量的增量用微分表示,ud记作uxd故有下述叠加原理uuuuzyxdddd称为偏微分偏微分.yyudzzudxxuduyduzd的全微分为yyuzzu于是uuuzyxd,d,d目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算函数在点 (2,1) 处的全微分. yxze解解:xz22e2) 1 , 2(,e) 1 , 2(yzxzyxzde2ded22) 1 , 2(例例2. 计算函数的全微分. zyyxue2sin解解: udxd1yyd)c

6、os(221 zyzydeyz,eyxyyxxe)d2d(e2yx zyze目录 上页 下页 返回 结束 可知当*二、全微分在近似计算中的应用二、全微分在近似计算中的应用1. 近似计算近似计算由全微分定义xy)(),(),(oyyxfxyxfzyx),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(较小时,yyxfxyxfzzyx),(),(dzd及有近似等式:),(yxf(可用于误差分析或近似计算) (可用于近似计算) 目录 上页 下页 返回 结束 半径由 20cm 增大解解: 已知,2hrV V,100,20hr) 1(2005. 01002022V即受压后圆柱体体积减少了 .2003cm例例

7、3. 有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm , 则 rhr 2hr 21,05. 0hr)(2003cm高度由100cm 减少到 99cm ,体积的近似改变量. 求此圆柱体hr目录 上页 下页 返回 结束 例例4.4.计算的近似值. 02. 204. 1解解: 设yxyxf),(,则),(yxfx取, 2, 1yx则)02. 2,04. 1(04. 102. 2fyfxffyx)2, 1 ()2, 1 ()2, 1 (08. 102. 0004. 021),(yxfy,1yxyxxyln02. 0,04. 0yx目录 上页 下页 返回 结束 分别表示 x , y , z 的绝对误差界,

8、2. 误差估计误差估计利用yyxfxyxfzyx),(),(zyx,令z 的绝对误差界约为yyxxzyxfyxf),(),(z 的相对误差界约为yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(则目录 上页 下页 返回 结束 yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(特别注意特别注意时，yxz ) 1 (yxzyxz,)2(时xyz yxyx类似可以推广到三元及三元以上的情形.xzz )(2xyyxy x1yx 乘除后的结果相对误差变大 很小的数不能做除数目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 利用公式CbaSsin211 . 030,01. 03 . 8,01.

9、05 .12Cba求计算面积时的绝对误差与相对误差.解：解：aSaSaCbsin211800,01. 0,30,3 . 8, 5 .12CbaCba13. 0S故绝对误差约为又CbaSsin21所以 S 的相对误差约为SS30sin3 . 85 .1221bCasin21CCabcos2194.2594.2513. 0%5 . 0计算三角形面积.现测得bbSCCS目录 上页 下页 返回 结束 例例6 6.在直流电路中, 测得电压 U = 24 V ,解解: 由欧姆定律可知4624IUR( )所以 R 的相对误差约为IURIUR0.3 + 0.5 R 的绝对误差约为 RR0.8 0.3;定律计算

10、电阻为 R 时产生的相对误差和绝对误差 .相对误差为 测得电流 I = 6A, 相对误差为 0.5 ,= 0.032 ( )= 0.8 求用欧姆目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 微分定义:),(为例以yxfz zyyxfxyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2. 重要关系:)( o函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续定义目录 上页 下页 返回 结束 3. 微分应用 近似计算 估计误差zyyxfxyxfyx),(),(),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(绝对误差相对误差),(yxfyyxxzy

11、xfyxf),(),(yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. P75 题5 ；P129 题 1 函数),(yxfz 在),(00yx可微的充分条件是( );),(),()(00连续在yxyxfA),(),(, ),()(00yxyxfyxfByx在的某邻域内存在 ;yyxfxyxfzCyx),(),()(0)()(22yx当时是无穷小量 ;22)()(),(),()(yxyyxfxyxfzDyx0)()(22yx当时是无穷小量 .2. 选择题D目录 上页 下页 返回 结束 答案答案:z03. 0,101. 0,2yyx

12、x02. 0zd03. 0,101. 0,2yyxx03. 0也可写作:当 x = 2 , y =1 , x = 0.01 , y = 0.03 时 z = 0.02 , d z = 0.03 3. P129 题 7目录 上页 下页 返回 结束 zfyfxffzyyd)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(4. 设,coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf.d)0 , 0 , 0(f求解解: xxxfcos3)0 , 0 ,(0cos3)0 , 0 , 0(xxxfx41利用轮换对称性 , 可得41)0 , 0

13、 , 0()0 , 0 , 0(zyff)dd(d41zyx注意注意: x , y , z 具有 轮换对称性轮换对称性 目录 上页 下页 返回 结束 .d,arctanzyxyxz求答案答案: 22dddyxyxxyz作业作业 P74 1 (3) , (4) ; 3 ; *6 ; *9 ; *11 5. 已知第四节 目录 上页 下页 返回 结束 在点 (0,0) 可微 .备用题备用题在点 (0,0) 连续且偏导数存在,续,),(yxf而),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxyx)0 , 0(),(, 0yx证证: 1) 因221sinyxxy0),(lim00yxfyx)0 , 0(f故函数在点 (0, 0) 连续 ; 但偏导数在点 (0,0) 不连 证明函数xy所以目录 上页 下页 返回 结束 ),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxxy)0 , 0(),(, 0yx),(yxfx,)0 , 0(),(时当yx,)0 , 0(),(时趋于沿射线当点xyyxP,0)0 ,(xf;0)0 , 0(xf. 0)0 , 0(yf同理y221sinyx 3222)(yxyx221cosyx ),(lim)0 , 0(),(yxfxxx极限不存在 ,),(yxfx在点(0,0)不连续 ;同理 ,),(yxfy在点(0