315空间向量运算的坐标表示 (2)

1、3.1.5 3.1.5 空间向量运算的空间向量运算的 坐标表示坐标表示1212(,),(,)aa abb b 设设则则;ab;ab;a;a b/;abab1122(,)ab ab1122(,)ab ab12(,)aa1 122a ba b()abR1122,()ab abR0a b【温故知新温故知新】 1 1220a ba b;acos,;a ba a 2212aaa ba b1 12222221212a ba baabb空间向量运算的坐标空间向量运算的坐标表示又是怎样的呢表示又是怎样的呢 ? ?类比是我们探究规律的重要方法类比是我们探究规律的重要方法1212( ,),( ,)aa abb b

2、 设设则则;ab;ab;a;a b1122(,)ab ab1122(,)ab ab12(,)aa1 12 2aba b【新知探究新知探究】 类类比比推推广广123123( ,),( ,)aa a abb b b 设设则则 ;ab;ab;a;a b112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,)aaa1 1223 3a ba ba b例例1已知已知 (2, 3,5),( 3,1, 4),8 ,(2)abab aba a b aab 求(2, 3,5)( 3,1, 4)(5, 4,9)ab (2, 3,5)( 3,1, 4)( 1, 2,1)ab 88(2, 3,5

3、)(16, 24,40)a (2, 3,5) ( 3,1, 4)2 ( 3) ( 3) 1 5 ( 4)29a b 解解:【应用举例应用举例】 (2)(2, 3,5) (1, 5,6)2 1 ( 3) ( 5) 5 6 47aa b 1212( ,),( ,)aa abb b 设设则则【新知探究新知探究】 类类比比推推广广123123( ,),( ,)aa a abb b b 设设则则 /;abab()abR1122,()ab abR0a b1 1220a ba b;a cos,;a ba a 2212aaa ba b1 12222221212a ba baabb/;ab ab()abR112

4、233,()ab ab abR0a b1 122330a ba ba b;a cos,;a b a a 222123aaaa ba b1 12233222222123123a ba ba baaabbb| ABABAB AB212121(,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222212121|()()()ABdABxxyyzz在空间直角坐标系中，已知、在空间直角坐标系中，已知、，则，则111(,)A xyz222(,)B xyz空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式【新知探究新知探究】 【应用举例应用举例】 F1E1C1B1A1D1DABCyzxO13(1,1,0),1

5、,1 ,4BE11(0,0,0),0,14DF，1311,1(1,1, 0)0 ,1,44BE 1110, 1(0,0,0)0, 1 .44DF ，1111150 01 1,4416BE DF 111717|,|.44BEDF 111111151516cos,.171717| |44BE DFBEDFBEDF 例例2.正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E1、F1分别是分别是A1B1、C1D1的一个四等分点，求：的一个四等分点，求：BE1与与DF1所成角的余弦值所成角的余弦值.【应用举例应用举例】 1115.17BEDF因因此此，与与所所成成角角的的余余弦弦值值是是(1) 建立直角坐标

6、系，建立直角坐标系，(2)把点、向量坐标化，把点、向量坐标化，(3)对向量计算或证明。对向量计算或证明。11cos,_EB DF 1517 F1E1C1B1A1D1DABCyzxO例例2.正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E1、F1分别是分别是A1B1、C1D1的一个四等分点，的一个四等分点，【应用举例应用举例】 变式变式1: E是是A1B1的一个四等分点，的一个四等分点， 求证：求证：AEDF1.E1(1,0,0),1,1 ,4AE证证明明：110, 14DF 又又， ，1,AEDF 所所以以1, , ,A E D F又又不不共共线线，所以所以AEDF1.变式变式2: F是是AA1

7、的一个四等分点，的一个四等分点， 求证：求证：BFDF1.F1(1,1,0),1,0,4BF证证明明：110, 14DF 又又， ，11101 -01044BF DF 所所以以， ，1BFDF 因因此此, ,即即BFDF1.F1E1C1B1A1D1DABCyzxO例例2.正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E1、F1分别是分别是A1B1、C1D1的一个四等分点，的一个四等分点，【应用举例应用举例】 G变式变式3: G是是BB1的一个四等分点，的一个四等分点， H为为AA1上的一点，若上的一点，若GHDF1， 试确定试确定H点的位置点的位置.H1(1,0, ),1,1,4HaG解解：设设

8、点点坐坐标标为为又又1110, 14DFGHDF 又又， ， 且且1110-044GH DFa 所所以以12a 解解得得, ,即当即当H为为AA1 的中点时，能使的中点时，能使GHDF1.(09广东理广东理)已知正方体已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为2，点，点E是正方形是正方形BCC1B1的中心，的中心，点点F、G分别是棱分别是棱 C1D1, AA1的中的中点设点点设点E1,G1分别是点分别是点 E,G在平面在平面DCC1D1内的正投影内的正投影(2)证明：直线证明：直线FG1平面平面 FEE1 ；(3)求异面直线求异面直线E1G1与与EA所成角的正弦值所成角的正弦值.【尝试

9、高考尝试高考】 EF 11(0,0,1),0,1,2 ,(0,2,1),1,2,1GFEE10 1 10,FG FE 111FGFE FGFE , ,E1GG1yxOz 10, 11FG ， 1,11FE ， 10,11FE ，110 1 10FG FE 1FEFEF 又又11FGFEE 面面(09广东理广东理)已知正方体已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为2，点，点E是正方形是正方形BCC1B1的中心，的中心，点点F、G分别是棱分别是棱 C1D1, AA1的中的中点设点点设点E1,G1分别是点分别是点 E,G在平面在平面DCC1D1内的正投影内的正投影(2)证明：直线证明：直线

10、FG1平面平面 FEE1 ；(3)求异面直线求异面直线E1G1与与EA所成角的正弦值所成角的正弦值.【尝试高考尝试高考】 EFE1GG1yxOz 11(3)0, 2 0EG 解解：， ， 1, 21EA ， 110 122014 ,EG EA 11| 2,|6.EGEA 11111146cos,.326| |EG EAEG EAEGEA 11.EGEA3 3因因此此，与与所所成成角角的的正正弦弦值值是是3 321163sin,1 ()33EG EA 今天你学到了什么呢？今天你学到了什么呢？1.1.基本知识：基本知识：（1）向量的加减、数乘和数量积运算的坐标）向量的加减、数乘和数量积运算的坐标表示；表示；（2）两个向量的夹角公式和垂直、平行判定）两个向量的夹角公式和垂直、平行判定的坐标表示。的坐标表示。2.2.思想方法：思想方法： 用向量坐标法计算或证明几何问题用向量坐标法计算或证明几何问题(1) 建立直角坐标系，建立直角坐标系，(2)把点、向量坐标化，把点、向量坐标化，(3)对向量计算或证明。对向量计算或证明。【课堂小结课堂小结】 练习练习1、 qpqpCBAOPPBAPB