人教B版高中数学必修5-1.1参考课件3-余弦定理

1、 1.1.2 余弦定理余弦定理1.正弦定理正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即即= = =2R（R为为ABC外接圆半径）外接圆半径）AasinBbsinCcsin 2.正弦定理的应用正弦定理的应用: 从理论上正弦定理可解决两类问题： （1）两角和任意一边，求其它两边和一角；两角和任意一边，求其它两边和一角； （2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其 它的边它的边 和角。和角。 在在R t ABC中中(若若C=90 )有：有： 在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及

2、其夹在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？角还有什么关系呢？ 222bac 对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边？ABC 推导推导 如图在 中， 、 、 的长分别为 、 、 。ABBCCAcabBCABAC () ()AC ACABBCABBC 222BCBCABAB22)180cos(|2BCBBCABAB22cos2aBacc即Bacacbcos2222Abccbacos2222Cabbaccos2222同理可证1余弦定理余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即 Abccbaco

3、s2222222cos2bcaAbcBacacbcos2222222cos2cabBcaCabbaccos2222222cos2abcCab2余弦定理可以解决的问题余弦定理可以解决的问题利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。例例1 1在ABC中，已知a5，b4，C120，求c.Cabbaccos2222解：将数据带入可得c= 61例例2 2在ABC中，已知a2.730，b3.696，C8228，

4、解这个三角形. 解：解：由 ，得 c4.297.Cabbaccos2222 0.7767， A392, bcacbA2cos222 B180(AC)5830.(sinA 0.6299 A=39或141(舍).)，cCasin例例 3 3 ABC三个顶点坐标为A(6，5)、B(2，8)、C(4，1)，求角A.?8?7?6?5?4?3?2?1?-4?-2?2?4?6?8?C?B?A解法一： |AB| |BC| |AC| 73)85()2(62285) 18()42(2252) 15()46(22ACABBCACABA 2cos2223652 A84.解法二： (8，3)， (2，4).ABAC c

5、osA = , A84.ACABACAB36525273)4(3)2()8(1.在ABC中，bCosA=acosB，则三角形为( )A.直角三角形 B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形C C解法一：利用余弦定理将角化为边.bcosAacosB,b acbcaabcacb22222222b2c2a2a2c2b2,a2b2,ab，故此三角形是等腰三角形. 解法二：利用正弦定理将边转化为角.bcosAacosB又b2sinB，a2sinA，2sinBcosA2sinAcosB sinAcosBcosAsinB0sin（AB）00A，B，AB，AB0 即AB 故此三角形是等腰三角形. 2.在AB

6、C中，若a2b2+c2，则ABC为 ；若a2=b2+c2，则ABC为 ；若a2b2+c2且b2a2+c2且c2a2+b2，则ABC为 。 3.在ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为 。 4.在ABC中，BC=3，AB=2，且 ，A= 。 ) 16(52sinsinBC直角三角形直角三角形等腰三角形等腰三角形锐角三角形锐角三角形钝角三角形钝角三角形120 2.2.在在ABCABC中，已知中，已知sinsinB BsinsinC Ccoscos2 2 ，试判断此三角形的类型，试判断此三角形的类型. .2A解：解：sinsinB BsinsinC Ccoscos2 2 , sin, s

7、inB BsinsinC C2A2cos1A2sin2sinB BsinsinC C1 1coscos180180（B BC C）将将coscos（B BC C）coscosB BcoscosC CsinsinB BsinsinC C 代入上式得代入上式得coscosB BcoscosC CsinsinB BsinsinC C1, cos1, cos（B BC C）1 1又又0 0B B，C C，B BC CB BC C0 0 B BC C故此三角形是等腰三角形故此三角形是等腰三角形. .3 .,1,33, tan_ _ _ _ _ .A B CB CBA B CC在中当的 面 积 为时ACB. 4323121sin21: ABABBBCABSABC解解sintanC2 3.cosBB 1326213131sin13131132161132cos2222 CBCACABBCAcC.1313211421162222 ACBCOSBCABBCABAC余弦定理及其应