人教B版高中数学必修1-2.4《二分法》教学课件1

1、 ax2+bx+c=0 x2+x-6=0 回想一下上一节课所学的内容回想一下上一节课所学的内容.（1）函数的零点及其等价关系？）函数的零点及其等价关系？ 对于函数对于函数y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0的实数的实数x叫做叫做函数函数y=f(x)的零点的零点.方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点（2）如何求零点个数及所在区间？）如何求零点个数及所在区间？ ,( )x f x解一：解一：利用计算器或计算机作利用计算器或计算机作的对应的对应 , a b( )yf x那么函数那么函数在区间在区间内至少有一个

2、实数内至少有一个实数 , a b有且只有一个零点有且只有一个零点.( )( ) 0f af b( , )a b上连续，并且有上连续，并且有值表，若在区间值表，若在区间( )yf x , a b在在上的单调性，则在上的单调性，则在根，若能证明根，若能证明 解二：解二：试探着找到两个试探着找到两个x对应值为一正一负对应值为一正一负（至少有一个）；再证单调增函数即可得有（至少有一个）；再证单调增函数即可得有且只有一个且只有一个. 解三：解三：构造两个易画函数，画图，看图象构造两个易画函数，画图，看图象交点个数，很实用交点个数，很实用. （3）连续函数在某个区间上）连续函数在某个区间上存在零点存在零点

3、的判别的判别方法：方法： 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是连续上的图象是连续不断的一条曲线，并且有不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，那么，函数函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内有零点内有零点.即存在即存在c(a,b)，使得使得f(c )=0，这个，这个c也就是方程也就是方程f(x)=0的根的根. 从学校教学楼到学校食堂的电缆有从学校教学楼到学校食堂的电缆有5个接点个接点.现在某处发生故障，需及时修理现在某处发生故障，需及时修理.为了尽快把故为了尽快把故障缩小在两个接点之间，一般至少需要检查多障缩小在两个接点之间，一般至少需要检查多少少_次次21 2

4、3 4 5猜数字游戏，看谁先猜中猜数字游戏，看谁先猜中10次以内猜出，你们能做到吗次以内猜出，你们能做到吗 ？ 从从11000这这1000个自然数随机抽出个个自然数随机抽出个数，谁能根据提示数，谁能根据提示“大了大了”“”“小了小了”“”“对了对了”先猜出这个数？先猜出这个数？ 由于解决实际问题的需要，人们经常需由于解决实际问题的需要，人们经常需要要寻求函数寻求函数y=f(x)的零点的零点（也就是方程（也就是方程f(x)=0的根）。求一次函数或二次函数的零点，我的根）。求一次函数或二次函数的零点，我们可以用熟知的公式解法。们可以用熟知的公式解法。 在在16世纪，人们找到了世纪，人们找到了三次函

5、数和四次函三次函数和四次函数数的求根公式，但对于的求根公式，但对于高于四次的函数高于四次的函数，类似，类似的努力却一直没有成功。的努力却一直没有成功。 到了到了19世纪，根据世纪，根据阿贝尔阿贝尔（Abel）和）和伽罗伽罗瓦瓦（Galois）的研究，人们认识到高于四次的）的研究，人们认识到高于四次的函数（即高于四次的代数方程）函数（即高于四次的代数方程）不存在求根公不存在求根公式式，也就是说，不存在用四则运算即根号表示，也就是说，不存在用四则运算即根号表示的一般公式解。的一般公式解。 同时对于三次和四次的代数方程，由于同时对于三次和四次的代数方程，由于公公式解式解的表示相当复杂，一般来讲的表示

6、相当复杂，一般来讲并不适宜用作并不适宜用作具体计算具体计算。因此对于高次多项式函数及其他的。因此对于高次多项式函数及其他的一些函数，有必要寻求一些函数，有必要寻求求零点的近似解求零点的近似解的方法。的方法。这在计算数学中是一个十分重要的课题。这在计算数学中是一个十分重要的课题。 在分析函数零点的性质时，我们已经看到，在分析函数零点的性质时，我们已经看到，如果函数如果函数y=f(x)在一个区间在一个区间a，b上的上的图象不间图象不间断断，并且在它的，并且在它的两个端点处的函数值异号两个端点处的函数值异号，即，即f(a)f(b)0，则这个函数在这个区间上，至少有，则这个函数在这个区间上，至少有一个

7、零点。即一个零点。即存在存在一点一点x0(a, b)，使，使f(x0)=0。 如果函数图象通过零点时穿过了如果函数图象通过零点时穿过了x轴，轴，则称这样的零点为则称这样的零点为变号零点变号零点，如果没有穿过，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为轴，则称这样的零点为不变号零点不变号零点。 依据这个性质，下面我们介绍依据这个性质，下面我们介绍求函数零点求函数零点的近似值的近似值的一种计算方法：的一种计算方法：二分法二分法。 已知函数已知函数y=f(x)定义在区间定义在区间D上，求它在上，求它在D上的一个零点上的一个零点x0的近似值的近似值x，使它满足给定，使它满足给定的精确度。的精确度。 下面我们分

8、步写出用二分法求函数零点下面我们分步写出用二分法求函数零点的的一般步骤一般步骤。第一步：在第一步：在D内取一个闭区间内取一个闭区间a0，b0 D，使使f(a0)和和f(b0)异号，即异号，即f(a0)f(b0)0，零点位，零点位于区间于区间a0，b0中；中；第二步：取区间第二步：取区间a0，b0的中点，则此中点对的中点，则此中点对应的坐标为，应的坐标为，计算计算f(x0)和和f(a0)，并判断：，并判断：00000011()()22xabaab（1）如果）如果f(x0)=0，则，则x0就是就是f(x)的零点，计的零点，计算终止；算终止；（2）如果）如果f(a0)f(x0)0，则零点位于区间，则

9、零点位于区间x0，b0中，令中，令a1=x0，b1=b0；第三步：取区间第三步：取区间a1，b1的中点，则此中点对应的中点，则此中点对应的坐标为的坐标为计算计算f(x1)和和f(a1)，并判断：，并判断：11111111()()22xabaab（1）如果）如果f(x1)=0，则，则x1就是就是f(x)的零点，计的零点，计算终止；算终止；（2）如果）如果f(a1)f(x1)0，则零点位于区间，则零点位于区间x1，b1中，令中，令a2=x1，b2=b1； 继续实施上述步骤，直到区间继续实施上述步骤，直到区间an，bn，函数的零点总位于区间函数的零点总位于区间an，bn上，当上，当an、bn按照给定

10、的精确度所取的近似值相同时，按照给定的精确度所取的近似值相同时，这这个相同的近似值就是函数个相同的近似值就是函数y=f(x)的近似零点。的近似零点。计算终止。计算终止。 这时函数这时函数y=f(x)的近似零点满足给定的精的近似零点满足给定的精确度。确度。例例1. 求函数求函数f(x)=x3+x22x2的一个正实数零的一个正实数零点（精确到点（精确到0.1）。）。解：由于解：由于f(1)=20，可以确定区间可以确定区间1，2作为计算的初始区间。作为计算的初始区间。用二分法逐步计算，列表如下：用二分法逐步计算，列表如下： 端点或中点横端点或中点横坐标坐标计算端点或中计算端点或中点的函数值点的函数值

11、确定区间确定区间a0=1，b0=2f(1)=2，f(2)=61，2x0=1.5f(x0)=0.62501，1.5x1=1.25f(x1)=0.98401.25，1.5x2=1.375f(x2)=0.26001.376，1.4375 由上表的计算可知，区间由上表的计算可知，区间1.376，1.4375的左、右端点精确到的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是所取的近似值都是1.4，因此，因此1.4就是所取函数的一个正实数零就是所取函数的一个正实数零点的近似值。点的近似值。 函数函数f(x)=x3+x22x2的图象如图所示，的图象如图所示，实际上还可以用二分实际上还可以用二分法继续计算下去，进法继

12、续计算下去，进而得到这个零点精确而得到这个零点精确度更高的近似值。度更高的近似值。 对于在区间对于在区间a,b上上连续不断连续不断、且、且f(a)f(b)0的函数的函数y=f(x)，通过不断把函数，通过不断把函数f(x)的零点所在的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫点，进而得到零点近似值的方法叫二分法二分法1.二分法二分法 2.概括利用二分法求函数概括利用二分法求函数f(x)零点的近似值的步骤零点的近似值的步骤f(a) f(b) 0.f(a) f(b) 00 x(a,c)a-b f(c) f(b) 00 x(c

13、,b)定区间，找中点，定区间，找中点，中值计算两边看中值计算两边看; ;同号去，异号算，同号去，异号算，零点落在异号间零点落在异号间; ;周而复始怎么办周而复始怎么办? ?精确度上来判断精确度上来判断. .二分法求方程近似解的口诀二分法求方程近似解的口诀: : 概念拓展 挖掘内涵ab2x4x3x1x如图，哪些零点近似值能用二分法求解？x注意：二分法仅对函数的适用，对函数的 不适用.变号零点不变号零点y01.下列函数中能用二分法求零点的是（下列函数中能用二分法求零点的是（ ）xy0 xy0 xy0 xy0ABCDB 2.用二分法求函数用二分法求函数y=f(x)在在 内零点内零点近似值的过程中得到近似值的过程中得到f(1)0，f(1.25)0，则函数的零点落在区间（，则函数的零点落在区间（ ）x(1,2)A.（1，1.25） B.（1.25，1.5）C. （1.5，2） D.不能确定不能确定A2