重点中学高中部自主招生数学考试试题(含答案)

1、2016年高中部自主招生考试试题数学（试题卷）一.选择题（共 6小题，每小题6分，共36分）1. 一列数 ai,a2,03, ,其中ai,an= （n为不小于 2的整数），则aioo=（）2A. 1B. 2C. - 1D. - 2i| |2.已知-|x|=l,贝的值为（）XXA. ±立B飞C |+V3D.通或13.已知AD /BC, AB LAD,点E,点F分别在射线 AD,射线BC上.若点E与点B关于AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD相交于点G,则（）A. 1+tan/ADB=&B. 2BC=5CFC. / AEB+22 = / DEFD. 4cos/ AGB=企

2、4 .如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设 a=1,则b=（）图1图2A.亦-1B,而+1C,除3D,近+1225 .如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（-3, -2）, OA的半径为1, P为x轴上一动点，PQ切。A于点Q,则当PQ最小时，P点的坐标为（）A.( - 4,0) B. ( 2,0)C.( - 4,0)或(2,0) D.( 3,0)6 .已知抛物线y= -x2+1的顶点为P,点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点 A作x轴的平行线交二次函数图象于点 B,分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D,连结PA、PD, PD交AB于点E, PAD与 PEA （）

3、A.始终不相似B.始终相似第1页共1页EDCxC.只有AB=AD时相似D.无法确定二.填空题(共 4小题，每小题6分，共24分)7.如果函数y=b的图象与函数 y=x2 - 3|x- 1| - 4x - 3的图象恰有三个交点，则 b的可能值是 8.如图，已知直线3交x轴、y轴于点A、B ,。P的圆心从原点出发以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动，移动时间为t (s),半径为1,则t=s时。P与直线AB相切.29 . 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合.一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 如一组数1,1,2, 3, 4就可以构成一

4、个集合， 记为A=1 , 2, 3, 4 类 比实数有加法运算，集合也可以 相加”.定义：集合A与集合B中的所有元素组成的集合称为集合 A与集合B的 和，记为 A+B .若 A= 2, 0, 1, 5, 7, B= - 3, 0, 1 , 3, 5,贝U A+B=.10 .对于X, Y定义一种新运算 *'"： X*Y=aX+bY ,其中a, b为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算.若T3 - 2 -8 4a +成立,那么 2*3=-三.解答题(共5题，每题12分，共60分) ，一 、，一，1 2 , . ，一 一一， . "、，,、一11 .如图，一次函数 尸一

5、5工+2与x轴父于A、B两点，与y轴父于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒 的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时， 点Q同时停止运动.设 PQ交直线AC于点G.(1)求直线AC的解析式；(2)设 PQC的面积为S,求S关于t的函数解析式；(3)在y轴上找一点 M,使 MAC和 MBC都是等腰三角形.直接写出所有满足条件的M点的坐标；(4)过点P作PEXAC,垂足为E,当P点运动时，线段 EG的长度是否发生改变，请说明理由.试题图备用图12.已知直线y=-，x+4与x轴和y轴分别交与B、A两点，另一直线经过点 B和点D (11, 6

6、). 3(1)求AB、BD的长度，并证明 ABD是直角三角形；(2)在x轴上找点C,使 ACD是以AD为底边的等腰三角形，求出 C点坐标；(3) 一动点P速度为1个单位/秒，沿A-B- D运动到D点停止，另有一动点Q从D点出发，以相同的速度沿 D-B-A运动到A点停止，两点同时出发，PQ的长度为y (单位长)，运动时间为t (秒)，求y关于t的函数关系13 .在边长为1的正方形ABCD中，以点A为圆心，AB为半径作圆，E是BC边上的一个动点(不运动至B,C), 过点E作弧BD的切线EF,交CD于F, H是切点，过点 E作EG± EF,交AB于点G,连接AE .(1)求证： AGE是等

7、腰三角形；(2)设BE=x, BGE与 CEF的面积比绘更田二y,求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；SACEF(3)在BC边上(点B、C除外)是否存在一点 E,使得GE=EF,若存在，求出此时 BE的长，若不存在，请说明理由.14 .如图，AE切。于点E, AT交。于点 M, N,线段 OE交AT于点C, OBLAT于点B,已知/ EAT=30 °, AE=3 近，MN=2 V22(1)求/ COB的度数；(2)求。O的半径R;(3)点F在。上(而宿是劣弧)，且EF=5,把OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E, F重合.在EF的同一侧，这样的三角

8、形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在。上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与OBC的周长之比.15.如图，直角梯形 ABCO的两边OA, OC在坐标轴的正半轴上， BC/x轴，OA=OC=4 ,以直线x=1为对称轴 的抛物线过A, B, C三点.(1)求该抛物线的函数解析式；(2)已知直线l的解析式为y=x+m ,它与x轴交于点G,在梯形ABCO的一边上取点P.当m=0时，如图1,点P是抛物线对称轴与 BC的交点，过点P作PHL直线l于点H,连结OP,试求 OPH 的面积；当m=-3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点 E, F.是否存在这样的点 P,使以P, E

9、, F为顶点 的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.图】图£箫用图2016年高中部自主招生考试数学参考答案选择题1-6.ABABDB填空题7 . - 6、-苫- 4948 .或 24-119 .- 3, - 2, 0, 1 , 3, 5, 7 10.1解答题11. (1) y= - 2x2+2, 2x=0 时,y=2 ,y=0 时，x= i2,y=kx+b , .A (2, 0), B (2, 0), C (0, 2),设直线AC的解析式是2 /曰 fO= _ 2k+b 代入得：*,(2=b解得：k=1 , b=2 ,即直线AC的解析式是y=x+2 ;(

10、2)当 0V t<2 时，OP= (2-t), QC=t,PQC 的面积为：S=1 (2-t) t=-1t2+t 22'当2V t9时，OP= (t-2), QC=t,.PQC 的面积为：S=1 (t2) t=lt2- t,22- ；L乙(3)当 AC=CM=BC 时，M 的坐标是：(0, 2破+2), (0, 2); 当 AM=BM=CM 时，M 的坐标是：(0, 0), (0, 2-%/)； 一共四个点，(0, 2点+2), (0, 0), (0, 2-入耳)，(0, 2);(4)当0V t<2时，过G作GHy轴，垂足为 H.由 AP=t,可得 AE=*t.M- GH

11、/ OP幽口 GH =GHH 解得 gh= i上，PO-QO 2-t 2+t2所以GC=JGH=J -亨仁于是，GE=AC AE GC=z (6一返)=&.£2即GE的长度不变.当2Vt9时，过G作GH，y轴，垂足为H.由AP=t,可得 AE=W十.2 1由以即也=3, PO QO t - 2 2+t.GH (2+t) =t (t- 2) - ( t-2) GH,GH (2+t) + (t2) GH=t (t2),2tGH=t (t-2),-3t - 9解得 GH=-_2所以 GC=VGH=& " 一 2).2于是,GE=AC - AE+GC=2 花-亚t+

12、第LR一2=近22即GE的长度不变.综合得：当P点运动时，线段 EG的长度不发生改变，为定值 ,反.12. (1)令 x=0 , y=4,令 y=0 ,则-x+4=0 ,3解得x=3 ,所以，A (0, 4), B (3, 0),由勾股定理得，AB=+05 2=5 ,BD=个11 3),62=1°，过点 D 作 DHy 轴于 H, DH=11 , AH=2 ,由勾股定理得，AD= 2 +dh 2=J。2 +11 " V125,- AB2=25, BD2=100, ab2+bd2=ad 2,. .ABD是直角三角形；(2)设OC长为x,由等腰三角形以及勾股定理得到x2+42=

13、 (11 -x) 2+62,解得x=费;，所以，C (四，0)；22(3)设t秒时相遇，由题意得，t+t=5+10 ,解得t=7.5,点 P 在 AB 上时，04号，PB=5 -t, BQ=10 - t,PQ='二 BYi产 一 . ：- 1 1 ,二：，=,：t"11 二，点 P、Q 都在 BD 上重合前，5VtM.5, PQ=5+10 - t-t=15-2t, 重合后，7.5V t40, PQ=t+t- 5 - 10=2t - 15,点 Q 在 AB 上时，10Vt得5, PB=t - 5, BQ=t - 10,pq="/pb2+bq 2T (t-5)4(t-i

14、o) 2y2t2 _ 30t+125 13. (1)连 AH ,AH ±EF, GE± EF,GE / AH ,/ GEA= / EAH , AH=AB , AE=AE , / ABE= / AHB ,AHEA ABE ,/ BAE= / EAH ,/ BAE= / GEA ,AG=EG ,即 AGE是等腰三角形.(2) EH=EB=x , EC=1 x, CF=1 - FD, FD=FH ,EF=EH+HF=x+FD , 在 RtECF 中，EF2=EC2+CF2,( 1-x) 2+ (1 - FD) 2= (x+FD) 2,整理得，(1+x) FD=1 x,- FD=1

15、 -；匕工,1+x1+x 1+x/ B=/C,又 GE± EF, ./ GEB= ZFEC, GEBA EFC, ,BE BGCFEC， 二1'.尹51+工.,'J (0vxv 1).(3)假设BC上存在一点 E,能使GE=EF,则还型EF-CF-1解得x=0或x=1 ,经检验x=0或x=1是原方程的解但动点 E不能与B, C点重合,x-l+x故x为且x力， BC边上符合条件的 E点不存在.14. (1) AE 切。O 于点 E, AEXCE,又 OBLAT, ./ AEC= ZCBO=90 °, 又/ BCO= Z ACE ,AECAOBC,又/ A=30

16、 °, ./ COB=/A=30 °(2) AE=3V3, Z A=30 °, 在 RtAAEC 中，tanA=tan30 =耳，即 EC=AEtan30 =3, AE OBXMN ,，B为MN的中点，又 MN=2在过，MB= 1MN= V22, 2连接 OM,在 MOB 中，OM=R , MB= V22, -OB= J1,1'.二J 二，在 COB 中，/ BOC=30 °, . cos/ BOC=cos30 °=,OC 2屈 BO=OC,2-22,2OC=-i-OB=3又 OC+EC=OM=R ,R=+ - 22+3,整理得：R2+

17、18R - 115=0, 解得：R=-23 (舍去)或 则 R=5;即(R+23) ( R- 5) =0,R=5,(3)以EF为斜边，有两种情况，以 EF为直角边，有四种情况，所以六种, 画直径FG,连接EG,延长EO与圆交于点D,连接DF,如图所示：ADg(ovEF=5,直径 ED=10,可得出/ FDE=30 °, ，FD=5V5，贝U Caefd=5+10+5 Vs=15+5 '/s ,由(2)可得 Cacob=3+ 3,- Caefd： Cacob= (15+5：/§): (3+-/3) =5: 1.EF=5,直径 FG=10,可得出/ FGE=30

18、76;,eg=5V3,贝U Caefg=5+10+5 V3=15+5V3,1- C：Aefg Cacob= (15+573): (3+Vs)=5: 1 .15. (1)由题意得：A (4, 0), C (0, 4),对称轴为 设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c,则有：16a+4b+c0解得，LT -抛物线的函数解析式为： y=-工x2+x+4 .2(2)当m=0时，直线l ： y=x.;抛物线对称轴为 x=1 ,.CP=1.则4 OMH、 CMP均为等腰直角三角形.cm=cp=i , 0M=0C+CM=5SaQPH=SaQMH - Saomp= (OM ) 2 - J1OM ?CP=Jl

19、 x ( Vs X5) 2 - J； >5 >1=25 - _=JJ12 222224 2 4, , SaQPH= .4当m= 一 3时，直线l: y=x - 3.设直线l与x轴、y轴交于点 G、点D,则G (3, 0), D (0, -3).假设存在满足条件的点 P.a)当点P在OC边上时，如答图2 - 1所示，此时点E与点O重合.设 PE=a (0va)，贝U PD=3+a, PF=，PD=* (3+a).22过点 F 作 FN，y 轴于点 N,贝U FN=PN=2/1pF, . EN=|PN PE|=|亚PF PE|.22在 RtA EFN 中，由勾股定理得：ef=VeM +

20、 FN=VpE _ V2PE*PF+PF,若PE=PF,则：a=Y (3+a),解得a=3 (加+1) >4,故此种情形不存在； 2若PF=EF,则：PF=心产-PF 2，整理得PE=&PF,即a=3+a,不成立，故此种情形不存在;若 PE=EF,贝U： PeYfe2, 每E.PF+ PF 2, 整理得 PF=&PE,即4 (3+a) =a,解得 a=3.Pi (0, 3).%yi b)当点P在BC边上时，如答图2-2所示，此时PE=4.若PE=PF,则点P为/OGD的角平分线与 BC的交点，有 GE=GF,过点F分别作FHLPE于点H, FKx轴于点K,. / OGD=

21、135 °,./ EPF=45°,即 PHF为等腰直角三角形,设 GE=GF=t ,贝U GK=FK=EH=亚t,2八八 V21 . PH=HF=EK=EG+GK=t+ t,PE=PH+EH=t+解得t=4花-4,则 OE=3 - t=7 4M,2 .P2 (7 4/2, 4)c) A (4, 0) , B (2, 4),，可求得直线 AB解析式为：y= - 2x+8 ;联立 y= 2x+8 与 y=x 3,解得 x=_H, y=.33设直线BA与直线l交于点K,则K (H, 2)3 3当点P在线段BK上时，如答图2-3所示.设 P (a, 8 2a) (2Q<li),贝U Q (a