角的8字模型(带练习题)

1、字模型若/ A= /C,则/ B=ZD2.AD+BCX AB+CD证明：(1)二.线段AB, CD相交于点0,/ AOD= / BOC ,又 / A+/D=180 -Z AOD ,ZC+ Z B=180 -/ BOC , . / A+/D=/C+ / B.(2)ADC AO+DO,BC BO+COAD+ BG< AO+DO+ BO+CO即： AD+BC< AB+CD(1)因为这个图形像数字 8,所以我们称为8字模型。(2) 8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。模型实例：1 .如图，线段 AB, CD相交于点 O,连接 AD, CB.(1)求证：/ A+/D=/C+/B;(2

2、)若/ A=40 , / C=60 ,贝U/ D-/B=(3)若 / C= a, / A= 3 ( a> 3),则/ D-Z B=_.解答：(1)证明：二.线段 AB, CD相交于点0, / AOD= / BOC ,又 / A+/D=180 -Z AOD ,ZC+ Z B=180 -/ BOC , . / A+/D=/C+ / B.(2)由(1)知，/ C-/A=/D- /B,. .若/ A=40 , / C=60 ,贝U/ D-/B=60 -40 =20 .(3)若/ C= a, / A= 3 ( a> 3),则/ D-Z B=Z C-Z A= a-&观察下列图形，计算角

3、度：2 .如图，/ A+/ B+Z C+/ D+/E=解法一：利用角的8字模型。如图，连接CD.R2/）/ BOCA BO的外角, . / B+为吆 BOC。BOCA COD勺外角 / 1+N2Z BOC/ B+左吆1+/ 2（角的8字模型） /A+/ B+ ACE+/ ADB+ZE=/ A + ZACE+Z ADB+ / 1+Z 2=/ A + ZACD吆 ADC=180解法二：利用三角形的外角和定理。 / 1是4 FCE的外角,Zl= ZC+ ZE.2是4GBD的外角,Z2= ZB+ ZDZA+Z B+Z C+/ D+/ E=ZA+Z 1+ Z2=1803 .如图，/ A+/B+/C+/D

4、+/ E + ZF=解法一利用角的8字模型在4AFQ中可得:/ A+/F=180 -/AQF=180 -/OQP ,同理可得：/ B+/ C=180 -/ OPQ/ E+/ D=180 -/ POQ+可得：/ A+ / F+ / B+ / C+ / E+ / D=180 -Z OQP+180 -/OPQ+180 -/POQ =540 - (/ OQP+ /OPQ+ / POQ) =540 -180=360 ;解法二：利用角的8字模型如图，连接DE,AOE是4AOB的外角，. / 肝 /B= / AOEAOE是AOED的外角,./+ / 2= / AOE/A+/B= /1+/2 (角的 8 字模

5、型) "+/ B+/C+/ ADC+Z FEB+F= /l+/2+/C+/ ADC+ FEB+Z F=3604 .如图(2),求出/ A+/B+ /C+ /D+ /E+/F 的度数.解：在4APQ中可得：/A+/B=180 -/OPQ ，.7 E同理可得：/ C+ / D=180 -/ POQ ，且 r/L 7普,/,丁</E+ /F=180-/OQP /B c+可得：Q)/ A+ / B+/ C+ / D+ / E+ / F=180 -ZOPQ+180 -Z POQ+180 -ZOQP=540 - (/ OQP+ / OPQ+ / POQ) =540 -180=360 .针对

6、练习:1 .如图所示，/ A+/B+/ C+/D+/E+/F的度数为（A. 180 B. 360 C. 540 D. 7202 .将两张三角形纸片如图摆放，量得/ 1 + /2+/ 3+7 4=220 ,则/ 5=3 .如图，线段 AC BD相交于点 E,连结 AB CD,若/ A=98°, / B=25°, / C=50°,则/ D=4 .如图1所示，AABO与ACDO称为 对顶三角形"，其中/ A+/B=/C+/ D.利用这个结论, 在图 2 中，/A+/B+/ C+/D+/E+/ F+/G=5 .如图，/ A+/B+/C+/ D+/3/F的度数是岂

7、E6 .如图，则/ A+Z饼/C+/D+/日/F的度数为 度.7 .如图所示，求/ A+Z 饼/C+/D+/E+/F.(1)图甲中是一个五角星形状，求证：/ A+Z B+/C+/D+/E=180°(2)图甲中的点 A向下移到 BE上时(如图乙)五个角的和(即/ CADfZB+ZC+Z D+Z E) 有无变化？试说明理由(3)把图乙中的点C向上移动到BD上时(如图内所示)，五个角的和(即/ CADfZ BZACE Z D+Z E)有无变化？试说明理由.9.如图，在 ABC的边上取两点 D、E,且BD=CE求证：AB+-AOAD+AE参考答案1 .如图所示，/ A+ZB+Z 6/D+/E

8、+/F的度数为（A. 180 B. 360 C. 540 D. 720【分析】根据三角形外角性质得出/ ENM=/A+/C, /DMN=/B+/ F,根据四边形的内角和定理得出/ ENM+/ DMN+/D+/E=360°,代入求出即可.丁【解答】解：C设AE和CF交于N, BD和CF交于M,/ ENM=/ A+/C, /DMN=/B+/F,又 / ENM+/ DMN+/ D+/ E=360 ,/ A+/ CZ B+ZF+Z D+/ E=360 ,即 / A+/ B+Z C+ZD+Z E+/ F=360 , 故选：B.【点评】本题考查了多边形的内角和定理和三角形外角性质，能根据定理得出

9、/ENM=/A+/C、 / DMN=/ B+/ F、 / ENM+/ DMN + / D+/ E=360°是解止匕题的关键.2.将两张三角形纸片如图摆放，量得/ 1 + /2+/ 3+7 4=220 ,贝11/ 5= 40【分析】直接利用三角形内角和定理得出/ 6+/7的度数，进而得出答案.【解答】 解：如图所示：/ 1 +Z2+Z6=180 , Z 3+7 4+7 7=180 ,/ 1+/ 2+7 3+7 4=220 ,/ 1+/ 2+/ 6+/ 3+/ 4+/ 7=360 ,/ 6+/ 7=140 ,Z 5=180 - (/ 6+Z7) =40 .故答案为：40 .【点评】此题主

10、要考查了三角形内角和定理，正确应用三角形内角和定理是解题关键.3 .如图，线段 AC BD相交于点E,连结 AB CD,若/A=98°, Z B=25 , Z C=50 ,则/ D=【分析】利用三角形的内角和定理和对顶角即可得出结论.【解答】 解：在ABEz中，/A=98, /B=25,/ AEB=180- / A- / B=57 ,/ DEC4 AEB=57,在ACDE中，/C=50,/ D=180 - / C- / DEC=73,故答案为：73.【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理和对顶角的性质，熟记三角形的内角和定理是 解本题的关键.4 .如图1所示，AABO与ACDO称为

11、 对顶三角形"，其中/ A+/B=/ C+/ D.利用这个结论, 在图 2 中，/A+/B+/ C+ZD+ZE+Z F+ZG= 540.【分析】先连接BE,构造 对顶三角形”，得出/ C+ZD=Z CBE+/DEB再根据五边形内角和 为 540°,得出 / A+/ABE+/BEF+/F+/ G=540 ,进而得到 / A+Z ABC+/ C+/D+/DEF+/F+ / G=540 .【解答】解：如图2,连接BE,由对顶三角形可得，/ C+ZD=ZCBE-ZDEB五边形 ABEFGK /A+/ABEV BEF+Z F+/G=540,即/ A+/ ABO/ CBE-Z BEO/

12、 DEF+Z F+/ G=540 ,/ A+/ ABG-Z C+/ D+Z DEF+Z F+/ G=540 , 故答案为：540.CiD 个少【点评】本题主要考查了多边形内角和定理的运用，解决问题的关键是作辅助线构造对顶三角形”以及五边形，并得出/ C+/D=/CBEVDEB解题时注意，五边形的内角和为 540 .5 .如图，/ A+/B+/C+/ D+/日/F的度数是 360° . F EmVY【分析】先根据三角形外角的性质得出/ A+/B=/1, /日/F=/2, ZC+Z D=/3,再根据三 角形的外角和是3600进行解答.【解答】解：:/ 1是4ABG的外角,/ 1=/ A+

13、/B,/2是4 EFH的外角,；/2=/ E+ZF,./ 3是4CDI的外角,/ 3=/ C+Z D,:/1、/2、/3 是AGIH 的外角，/ 1+/ 2+7 3=360 ,/ A+/ B+Z C+ZD+Z E+/ F=360 .故答案为：360 .E£【点评】本题考查的是三角形外角的性质及三角形的外角和，熟知三角形的外角和是360度是解答此题的关键.6 .如图，则/ A+/ B+/C+/D+/E+/F的度数为 360 一度.【分析】根据三角形外角的性质，以及四边形的四个内角的和是 360°即可求解.【解答】 解：1=/C+/D, /2=/A+/B,/ A+/ B+Z C

14、+ZD+Z E+/ F=/ 1+/ 2+ZE+Z F=360 .故答案是：360 .【点评】本题考查的是三角形外角的性质及三角形的外角和，熟知三角形的外角和是360度是解答此题的关键.7 .如图所示，求/ A+ZB+ZC+Z D+Z E+ZF.【分析】连接AD,由三角形内角和外角的关系可知/ 曰/F=/FADf/ EDA由四边形内角和 是 360°,即可求/ A+/ B+Z C+ZD+ZE+Z F=360 .【解答】解：如图，连接AD./1=/E+/F, /1 = /FA>/EDA/ E+/ F=/FAE+/EDA/ A+/ B+Z C+ / D+Z E+/ F= ZBADZ

15、ADC+/B+/ C.又 / BAH/ ADC+/B+/ C=360,/ A+/ B+Z C+ZD+Z E+/ F=360 .【点评】本题考查的是三角形内角与外角的关系，涉及到四边形及三角形内角和定理，比较 简单.8 .如图所示中的几个图形是五角星和它的变形.cf；、人 '0)(1)图甲中是一个五角星形状，求证：/ A+Z B+/C+/D+/E=180°(2)图甲中的点 A向下移到 BE上时(如图乙)五个角的和(即/ CADfZB+ZC+Z D+Z E) 有无变化？试说明理由(3)把图乙中的点C向上移动到BD上时(如图内所示)，五个角的和(即/ CADfZ BZACE Z D

16、+Z E)有无变化？试说明理由.【分析】(1)根据三角形的外角的性质，可得/1, /2,根据三角形的内角和定理，可得答案；(2)根据三角形的外角的性质，可得/1, /2,根据三角形的内角和定理，可得答案；(3)根据三角形的外角的性质，可得/1, /2,根据三角形的内角和定理，可得答案.【解答】解：(1)如图：由三角形外角的性质，得ZC+ZE=Z 1, / B+ZD=Z 2.由三角形的内角和定理，得/ A+/1 + /2=180°,等量代换，得/ A+/B+/C+/ D+/ E=180 ;(2)如图：女C P)由三角形外角的性质，得/ C+/E=/1, /A+/ D=/2, 由三角形的

17、内角和定理，得/ B+/1 + /2=180°, 等量代换，得/ A+/B+/C+/ D+/ E=180 ;(3) :/ ECD是4BCE的一个外角, / ECD4 B+Z E (三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和)，/ CADZ B+ZAC&Z D+Z E=Z CADZ ACED D+Z ECD= CADf/ACDZ D=180 ,故/ CA>/B+/AC®/D+/E等于180 ,没有变化.【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用了三角形外角的性质，三角形的内角和定理.9.如图，在 ABC的边上取两点 D、E,且BD=CE求证：AB+-AOAD+AE【分析】取BC的中点F,连接AF并延长至G,使FG=AF连接GB, GC, GD, GE,依据四边 形ABGCffi四边形ADGE®平行四边形，即可得到BG=AC DG=AE延长AD至H,交BG于H, 依据三角形三边关系，即可得到 AB+BH>AD+DH, DH+HG> DG,进而得出 A伊BG