计数原理与排列组合经典题型

1、计数原理与排列组合题型解题方法总结计数原理一、知识精讲1、分类计数原理：2、分步计数原理：特别注意 :两个原理的共同点：把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。不同点： 如果完成一件事情共有 n 类办法， 这 n 类办法彼此之间相互独立的， 无论哪 一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情， 求完成这件事情的方法种数， 就用分类计 数原理。分类时应不重不漏(即任一种方法必须属于某一类且只属于这一类) 如果完成一件事情需要分成 n 个步骤，各个步骤都是不可缺少的， 需要依次完成所有的步骤， 才能完成这件事，而完成 每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数 就用分步计数原理。各步

2、骤有先后，相互依存，缺一不可。3、排列(1) 排列定义 ,排列数(2) 排列数公式 :(3) 全排列列 :4. 组合(1) 组合的定义 ,排列与组合的区别 ;(2) 组合数公式 :(3) 组合数的性质二、.典例解析题型 1: 计数原理例 1. 完成下列选择题与填空题(1) 有三个不同的信箱 ,今有四封不同的信欲投其中 ,则不同的投法有种。A.81 B.64 C.24 D.4(2) 四名学生争夺三项冠军 ,获得冠军的可能的种数是 ( )A.81 B.64 C.24 D.4(3) 有四位学生参加三项不同的竞赛 ,每位学生必须参加一项竞赛 ,则有不同的参赛方法有 每项竞赛只许有一位学生参加 ,则有不

3、同的参赛方法有每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方法条不同的线路可通电。有。例 2（ 1）如图为一电路图，从 A 到 B 共有例 3: 把一个圆分成 3 块扇形，现在用 5 种不同的颜色给 3 块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问有多少钟不同的涂法？若分割成 4 块扇形呢？D例 4、某城在中心广场造一个花圃，花圃分为6 个部分 （如图 ）. 现要栽种 4 种不同颜色的花，种.（以每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有例 5 、 四面体的顶点和各棱的中点共10 个，在其中取 4 个不共面的点，问共有多少种不 同的取法？例 6、（ 1）

4、电视台在 ”欢乐今宵 ”节目中拿出两个信箱 ,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的 观众来信 ,甲信箱中有 30 封 ,乙信箱中有 20 封 .现有主持人抽奖确定幸运观众 ,若先确定一名幸 运之星 ,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴 ,有多少种不同的结果 ?（2）三边均为整数，且最大边长为11 的三角形的个数是题型 2: 排列、组合问题处理策略一. 元素个数较少的排列组合问题枚举法 :1、设有编号为 1，2，3，4，5 的五个球和编号为 1，2，3，4，5 的盒子现将这 5 个球投入5 个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不 同的方法？2、学号为 1、2、3

5、、4 的学生坐到编号为 1、2、3、4 的四张凳子上，要求学生的学号与其 所坐的凳子编号不同，问有多少种不同的坐法？二、特殊元素和特殊位置优先策略3、.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.4、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有（ ）A120种B96种C78种D72 种三、相邻捆绑、不相邻插空5、（ 1） 7 人站成一排照相， 若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？（2）7 人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法？6、马路上有 8 只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能 同时关掉相邻的两只或三只，

6、 也不能关掉两端的灯， 那么满足条件的关灯方法共有多少种？7、某人射击 8 枪，命中 4 枪， 4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为8 、一个晚会的节目有 4 个舞蹈 ,2 个相声 ,3 个独唱 ,舞蹈节目不能连续出场 ,则节目的出 场顺序有多少种？四、不尽相异元素、定序问题倍缩法9 、（1 ）7 人排队 ,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法（2）10 人身高各不相等 ,排成前后排，每排 5 人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少 排法？（ 3 ）由 4 个 A 和 3 个 B 可以组成多少个 7 位字符信息？五、分排问题 “直排法 ”10、7个人坐两排座位，第一排 3

7、 个人，第二排坐 4个人，则不同的坐法有多少种？11、8人排成前后两排 ,每排 4 人,其中甲乙在前排 ,丁在后排 ,共有多少排法六、重排问题方幂策略（住店、投邮、影射）12、把 6 名实习生分配到 7 个车间实习 ,共有多少种不同的分法13、某 8层大楼从一楼电梯上来 8 名乘客人 ,他们 到各自的一层下电梯 ,则他们下电梯的方法 有多少种？七. 构造模型的策略14、10个相同的球装 5 个盒中 ,每盒至少一个有多少装法？15、方程 a+b+c+d=12 有多少组正整数解？八、排列组合混合问题先选后排策略16、有 5 个不同的小球 ,装入 4 个不同的盒内 ,每盒至少装一个球 ,共有多少不同

8、的装法 .17、一个班有 6 名战士 ,其中正副班长各 1 人，现从中选 4 人完成四种不同的任务 ,每人完成 一种任务 ,且正副班长有且只有 1 人参加 ,则不同的选法有 种九、.正难则反总体淘汰策略18、我们班里有 43 位同学 ,从中任抽 5 人,正、副班长、 团支部书记至少有一人在内的抽法有 多少种 ?十、无编号平均分组问题除法策略19、6本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2本共有多少分法？20、10名学生分成 3组,其中一组 4 人, 另两组 3人但正副班长不能分在同一组 ,有多少种不 同的分组方法21、某校高二年级共有六个班级， 现从外地转 入 4 名学生， 要安排到该年级的两个班

9、级且 每班安排 2 名，则不同的安排方案种数为十一 化归策略22、25 人排成 5×5 方队 ,现从中选 3 人 ,要求 3 人不在同一行也不在同一列 ,不同的选法有 多少种？23、某城市的街区由 4 5条街道组成，从西南 A 走到东北 B 的最短路径有多少种？三、练习题组：1、 7 种不同的花种在排成一列的花盆里 ,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里， 问有多少不同的种法？2 、把 6 名实习生分配到 7 个车间实习 ,共有多少种不同的分法3.(1) 在 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有 ( )(A)36 个 (B)24 个 (C)18 个

10、(D)6 个(2) 从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人,分别从事三项不同的工作 ,若这 3 人中至少有 1 名女 生 , 则选派方案共有 ( )(A)108 种 (B)186 种 (C)216 种 (D)270 种(3) 在数字 1,2,3 与符号 +,- 五个元素的所有全排列中 ,任意两个数字都不相邻的全排列个 数是 ( )A.6 B. 12 C. 18D. 24(4) 高三 (一)班学要安排毕业晚会的 4 各音乐节目 ,2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出 顺序 ,要求两个舞蹈节目不连排 ,则不同排法的种数是 ( )(A)1800 (B)3600 (C)4320 (D)50404

11、.(1) 用数字 0,1,2,3,4 组成没有重复数字的五位数 ,则其中数字 1,2 相邻的偶数有个(用数字作答 );(2)电视台连续播放 6 个广告 ,其中含 4 个不同的商业广告和 2个不同的公益广告 ,要求首 尾必须播放公益广告 ,则共有种不同的播放方式 (结果用数值表示 ).5. (1) 将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习 ,每班至少 1 名 ,最多 2 名,则不同的分配方案有 ( )(A)30 种 (B)90 种 (C)180 种 (D)270 种(2)将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里 ,使得放入每个盒子里 的球的个数不小于该盒子的编号

12、 ,则不同的放球方法有 ( )A.10 种 B.20 种 C.36 种 D.52 种6. (1) 某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教 (每地 1 人),其中甲和乙不同 去,则不同的选派方案共有种 ;(2)5 名志愿者分到 3 所学校支教 ,每个学校至少去一名志愿者 ,则不同的分派方法共有(A)150 种 (B)180 种 (C)200 种 (D)280 种7 、.已知直线 ax+by+c=0 中的 a,b,c 是取自集合 -3,-2,-1,0,1,2,3 中的 3 个不同的元素 , 并且该直线的倾斜角为锐角 ,求符合这些条件的直线的条数8、甲、乙、丙、丁四个公司承包

13、 8 项工程，甲公司承包 3 项工程，乙公司承包 1 项，丙、 丁各承包 2 项，问共有 种承包方式？9 、 停车场划出一排 12 个停车位置，今有 8 辆车需要停放， 要求空位置连在一起，不同的 停车方法有多少种？10、x+y+z+w=100 求这个方程组的正整数解的组数11、.设有编号 1,2,3,4,5 的五个球和编号 1,2，3,4,5 的五个盒子 ,现将 5 个球投入这五个盒子 内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.有多少投法12、.正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线13、3 个人坐在一排 8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种类有多少种？14(2008 陕西， 16)某地奥运火炬接力传递路线共分6 段，传递活动分别由 6 名火炬手完成。如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两 人中产生，则不同的传