第四章高阶线性方程

1、第四章 高阶线性方程教学目的 ：使学生理解高阶线性微分方程的一般理论； 熟练掌握常数变易法、 特征根法、比较系数法和 Laplace 变换；熟练掌握几种可降阶的高阶微分方程的 解法；能够依据解的一般表示讨论解的一些属性教学内容 ：1、线性微分方程的一般理论 高阶线性微分方程的一般理论、常数变易法2、常系数线性微分方程的解法、特征根法、比较系数法、 Laplace 变换3、高阶方程的降阶和幂级数解法几种可降阶的高阶微分方程的解法、 * 幂级数解法 教学重点 ：高阶线性微分方程的一般理论及解法 教学难点 ：比较系数法求特解 教学过程：§ 4.1 线性微分方程的一般理论4.1.1 引言 本

2、章主要讨论如下 n 阶线性微分方程dnx dtnn1 dx a1(t) n 1 dt n 1an 1(t)dxdtan (t)x f (t)(4.1)其中ai(t)(i 1,2, ,n)及 f(t)均为区间a t b上的连续函数若 f(t) 0，则方程 (4.1)变为dnx dtna1(t)d n 1xan 1(t)dtn1dxdtan (t)x 0(4.2)称之为 n阶齐线性微分方程 ，简称为 齐线性方程 ，称(4.1)为 n阶非齐线性微分方程 ，简称 为非齐线性方程 ，称 (4.2)为 对应于方程 (4.1)的齐线性方程方程(4.1)的解的存在唯一性定理定理 若ai(t) (i 1, 2,

3、 , n)及 f (t )均为区间 a t b上的连续函数，则对于任意t0 a,b 及任意的 x0,x0(1), ,x0(n1) ，方程 (4.1)存在唯一解 x(t ) ，定义于区间a t b 上，且满足初始条件：(t0) x0d (t0)(1)dtdn1 (t0) x0(n1)dt(4.3)证明在下一章给出4.1.2齐线性方程的解的性质与结构首先讨论齐线性方程 (4.2)，易得齐线性方程的解的叠加原理定理(叠加原理)若x1(t),x2(t), ,xk(t)是方程 (4.2)的k个解，则它们的线性组合 c1x1(t) c2x2(t)ckxk(t)也是(4.2)的解，其中 c1, c2, ,

4、ck是任意常数当 n k 时，方程 (4.2) 有解x c1x1(t) c2x2 (t)cn xn (t)(4.4)在什么条件下， (4.4)能成为 n 阶齐线性方程 (4.2)的通解？考虑定义在区间 a t b上的函数 x1(t), x2(t), , xk(t) ，如果存在不全为零的常数 c1, c2, , ck ，使得恒等式 c1x1(t) c2x2(t)ckxk(t) 0对于任意的 t a, b均成立，则称这些函数 线性相关， 否则就称这些函数在所给区间上 线性无关例(略)由定义在区间 a t b上的 k 个可微 k 1次的函数 x1(t), x2(t), , xk(t) 所成的行列 式

5、Wx1(t),x2(t), ,xk(t) W(t)x1(t)x2 (t)xk(t)x1(t)x2 (t)xk(t)x1(k 1)(t)x2(k 1) (t)xk(k 1)(t)称为这些函数的 伏朗斯基行列式 定理 若函数 x1(t), x2(t), , xk(t) 在区间 a t b上线性相关，则在 a,b上它们 的伏朗斯基行列式 W(t) 0这个定理的逆命题一般不成立(例子见105)定理 若方程 (4.2)的解 x1(t), x2(t), , xk (t) 在区间 a t b 上线性无关，则Wx1(t),x2(t), , xk(t)在此区间的任何点上均不等于零，即 W(t) 0 (a t b

6、) 定理 n 阶齐线性方程 (4.2)一定存在 n 个线性无关解定理(通解结构定理)若x1(t), x2(t), ,xn(t)是方程 (4.2)的n个线性无关解，则(4.11)方程 (4.2)的通解可表为x c1x1(t) c2x2 (t)cnxn(t)其中 c1,c2, , cn为任意常数且通解 (4.11)包括了方程 (4.2)的所有解推论 方程(4.2)的线性无关解的最大个数等于 n 因此可得结论： n阶齐线性方程的所 有解构成一个 n 维线性空间方程 (4.2)的一组 n个线性无关解称为方程的一个 基本解组， 显然，基本解组不唯一4.1.3 非齐线性方程与常数变易法考虑 n 阶非齐线性

7、方程an 1(t) dx an(t)x f (t) dt(4.1)n n 1ddtnnx a1(t) ddtnn11x易见方程 (4.2) 是它的特殊情形性质 若 x(t)是方程 (4.1)的解，而 x(t)是方程 (4.2)的解，则 x(t) x(t) 也是方程 (4.1) 的解性质 方程 (4.1)的任意两个解之差必为方程 (4.2)的解定理 设 x1(t), x2(t), , xn(t) 是方程 (4.2)的基本解组，而 x(t) 是方程 (4.1)的某个 解，则方程 (4.1) 的通解可表为x c1x1(t) c2x2 (t)cnxn(t) x(t) (4.14)其中为任意常数且通解

8、(4.14) 包括了方程 (4.1)的所有解定理告诉我们， 要解非齐线性方程， 只需知道它的一个解和对应的齐线性方程的基本解 组即可 事实上，只要知道对应的齐线性方程的基本解组就可以利用常数变易法求得非齐线 性方程的解常数变易法 设 x1(t), x2(t), , xn(t) 是方程 (4.2)的基本解组，因而(4.15)x c1x1(t) c2x2(t)cnxn(t)为(4.2)的通解把其中的任意常数 ci 看作 t 的待定函数 ci(t) (i 1,2, , n) ， (4.15)变为(4.16)x c1(t)x1(t) c2(t)x2(t)cn(t)xn(t)将它代入方程 (4.1)，就

9、得到 c1(t), c2(t), ,cn(t) 必须满足的一个方程， 但待定函数有 n个，为了确定它们，还需再找出 n 1 个限制条件，理论上，这些条件可任意给出。 如果已知对应的齐线性方程的基本解组， 则非齐线性方程的任一解可由求积得到 因此， 对于线性方程来说，关键是求出齐线性方程的基本解组例 (见课本 P112 例 1)例 2(见课本 P112 例 2)作业 P113 (1、2、4、6、7、 8、9)§ 4.2 常系数线性微分方程的解法4.2.1 复值函数与复值解如果对于区间 a t b中的每一实数 t ，有复数 z(t) (t) i (t)，其中 (t)和 (t) 是在区间

10、a t b上定义的实函数， i 是虚数单位，则称在区间 a t b 给定了一个 复值 实函数 z(t) 如果 (t)和 (t)当t趋于 t0时有极限，并且定义 lim z(t) lim (t) ilim (t) t t0t t0 t t0如果 lim z(t) lim z(t0) ，则称 z(t)在t0 连续t t0t t0显然 z(t)在 t0 连续相当于 (t)和 (t )在t0连续当 z(t) 在区间 a t b上每一点连续时，就称 z(t) 在区间 a t b连续如果极限 tlimt0 z(tt) tz0(t0) 存在，就称 z(t)在 t0有导数 且记此极限为 dzd(tt0) 或

11、z(t0)显然 z(t)在 t0 有导数相当于 (t)和 (t)在t0有导数，且 dz(t0) d (t0) i d (t0)dt dt i dt如果 z(t)在区间 a t b上每一点都有导数，就称 z(t) 在区间 a t b上有导数 高阶导数可以类似地定义设 z1(t) 、 z2(t) 是定义在 a t b上的可微函数， c 是复值常数，易证下列等式成立：ddt z1(t) z2(t)dz1(t) dz2(t)dt dtddtcz1(t) cdz1(t)dtdddtz1(t) z2(t)dz1(t)dtz2(t) z1(t)dz2 (t )dt设 K i 为任一复数，这里 , 为实数，

12、t 为实变量，定义Ktee( i )te t(cos t isin t)由上式可得cos t 1(ei t e i t )2sin t 1 (ei t e i t)2iKteKt 的性质(1)(K1 K2 )tK1teeK 2te(2)deKtdtKeKt(3)dn Kt dtnen Kte定义于区间 a t b上的实变量复值函数 x z(t)称为方程 (4.1)的复值解， 如果dnz(t)dtna1(t)dn 1z(t)dtn 1an 1(t)dzd(tt) an(t)z(t) f(t)对于 a t b 恒成立定理 如果方程 (4.2)中所有系数 x z(t) (t) i (t )是方程的复

13、值解， 则 z(t)的实部 (t) 、虚部 (t) 和共轭复值函数 z(t) 也都是方程 (4.2)的解定理 若方程dnz(t)dtna1(t)d n 1z(t)dtn 1an 1(t)dz(t)n 1 dtan(t)z(t) u(t) iv(t)有复值解 x U(t) iV (t)，这里ai(t) (i 1,2, , n)及u(t ), v(t )都是实值函数，那么这个解的实部 U(t)和虚部 V (t)分别是方程n n 1 d x d x dxn a1(t) n 1 an 1(t)an(t)x u(t)dtn 1 dtn 1 n 1 dt ndnx dtnan(t)x v(t)a1(t)

14、ddtn x1an 1(t) ddtxdt dt的解4.2.2 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程Lxndxdtnn1dtn1dxan 1anx 0,dt(4.19)设齐次线性微分方程中所有系数都是常数 , 即方程形式为其中 a1,a2, ,an为常数 . 称(4.19)为 n阶常系数齐次线性微分方程(4.19)的基本解组的 殴拉待定指数函数法 (又称为特征根法 )(4.20)为 (4.19)的解的充要条件是是代数方程F( ) n a1 n 1 an 1 an 0 (4.21)的根 . 称它为方程 (4.19) 的特征方程 , 它的根就称为 特征根 .(1) 特征根是单根的情形设 1, 2, ,

15、 n是特征方程 (4.21)的 n个彼此不相等的根 , 则相应的方程 (4.19)有如下 n的解e 1t,e 2t, ,e nt, (4.22) n个解在区间 a t b 上线性无关 , 从而组成方程的基本解组 .如果 i(i 1,2, , n) (均为实数 , 则(4.22) 是方程 (4.19) n个线性无关的实数解 , 方 程 (4.19) 的通解为x c1e1t c2e2tcnent, 其中 c1,c2, , cn为任意常数如果特征方程 (4.21)有复根，由于其系数是实的，它的复根一定是共轭成对地出现. 设1 i 是一特征根 , 则 2 i 也是(4.21)的根 . 由定理 4.8，

16、 这两个特征根所对 应的解是实变量复值函数 , 因而与这对共轭复根对应的 , 方程 (4.19)有两个复值解e( i )t e t (cos t sin t),e( i )t e t (cos t sin t).由定理 4.8，它们的实部和虚部也是方程的解 . 这样可求得方程 (4.19)的两个实值解e t cost, e t si n t.(2)特征根有重根设 1是(4.21)的k(1 k n)重根(实的或复的 )，由定理 4.8 知e 1t是(4.21)的一个解， 如何求出其余的 k-1 个解呢 ?n n 1 k设 1 0, 即特征方程有因子 k,d nx a1d n1xan1d kx 0

17、,有k个解1dtn1 dtn 1 n 1 dt k1,t,t 2, ,t k 1, 而且它们是线性无关的 .如果这 k重根 1 0, 作变量变换 , x ye 1t ,方程(4.19)有k1个解e 1t,te 1t,t2e 1t, ,tk1 1e 1t,(4.25)对于特征方程有复重根的情况 , 不妨假设 i 是 k 重特征根 , 则 i 也 是 k 重特征根 , 仿 1)处理 , 得到 (4.19)的 2k个实值解e tcos tet,tcos tet,t2cos tet,tk 1coste t sin tet , tsin tet ,t2 sin tet,tk 1sin td4x例1 求方

18、程 d 4x x 0的通解 .dt4(通解为 x c1et c2e t c3cost c4sint, 这里 c1, c2 , c3, c4为任意常数 .)例 2 求方程 d 3xdt3x 0的通解 .通解为 x c1e t12t3 3e2 (c2cos t c3sin t) , 这里 c1, c2, c3, 为任意常数) 22例 3 求方程 d 3xdt3d 2xdx3d 2x 3dx x 0 的通解 . dt2 dt通解 x (c1 c2t2tc3t2)et, 这里 c1,c2,c3, 为任意常数)d4x4例4 求方程 4 2d 2x x 0的通解 .dt4 dt 2通解为 x (c1 c2

19、t)cost (c3 c4t)sint , 这里 c1, c2, c3,c4 为任意常数 .)作业 P164 2（ 单号习题 ）欧拉方程ndydxn形如4.29)a1xn 1 ddxnn1 1yan 1x ddxy any 0dx dx的方程称为欧拉方程，其中 a1,a2, ,an为常数 . 此方程可以通过变量变换化为常系数齐次 线性微分方程，因而求解问题也就可以解决 .方程（ 4.31）的 m 重实根 K K 0 ，对应于方程（ 4.29）的 m 个解 xK0,xK0lnx,xK0ln2x, ,xK0lnm 1x方程（ 4.31 ）的 m 重复根 Ki ，对应于方程（ 4.29）的 2m 个

20、实值解x cos( lnx),x lnxcos( lnx), ,x lnm 1 x cos( lnx)， x sin( lnx),x ln x sin( lnx), ,x lnm1 xsin( lnx). 例5 求方程 x2 d 2y xdy y 0的通解dx2dx(通解为 y (c1 c2 ln x)x , 这里 c1,c2 为任意常数 .)例6求方程 x2 ddx2y3xdy 5y 0 的通解 dx1(通解为 y(c1 cos(2ln x ) c2 sin(2ln x ) , 这里 c1,c2 为任意常数 )x4.2.3 常系数非齐次线性微分方程 比较系数法与拉普拉斯变换法常系数非齐次线性

21、微分方程Lxndxddtnxa1 d nn11xan1 dx1 dt n 1n 1 dtanx f (t)4.32)的求解问题，其中 a1,a2, , an为常数，而 f （t ）为连续函数一) 比较系数法类型 1设 f(t) (b0tm b1tm 1bm 1t bm)e t，其中 及bi(i 0,1, , m )为实常数，则方程( 4.32)有形如x tk(B0tm B1tm 1Bm 1t Bm)e t ，(4.33 ) 的特解， 其中 k为特征方程 F( ) 0的根 的重数(单根相当于 k =1；当 不是特征根时，取k =0)，而 B0,B1, ,Bm 1, Bm是待定常数，可以通过比较系

22、数法来确定.(1) 如果 =0 ，则此时f(t) b0t m b1t m 1bm 1t bm分两种情形讨论1) 在 =0 不是特征根的情形，即 F(0) 0 ，2) 在 =0 是 k 重 特 征 根 的 情 形 ， 即 F(0) F (0)F (k 1)(0) 0, F (k)(0) 0，(2)如果0，则作变量变换 x ye t ，将方程( 4.32)化为nn 1A14.37)ddtny A1 ddtn 1yAn 1 ddyt Any b0tmbmdtdtdt其中 A1,A2, ,An 都是常数 .在 不是特征方程( 4.21 )的根的情形，方程( 4.37)有特解y B0tm B1tm 1B

23、m 1t Bm ，因而方程( 4.32)有特解x (B0tm B1tm 1Bm 1t Bm)e t.在 是特征方程( 4.21)的 k 重根的情形，方程( 4.37 )有特解 y tk(B0tm B1tm 1Bm 1t Bm) ，因而方程( 4.32)有特解x tk(B0tm B1tm 1Bm 1t Bm)e t.例7d 2xdx求方程 d 2x 2 dx 3x 3t 1的通解 dt 2 dt(通解为 x c1e3t c2e t t 31)例8求方程 d 2x 2dx 3x e t的通解 dt 2 dt3t t 1 t(通解为 x c1e3t c2e t te t )例9求方程d x 3 d

24、2x 3dx x e t (t 5)的通解 dt3dt 2dt2t(通解为 x (c1 c2t c3t 2)e t1 t 3(t 20)e24这里 c1,c2,c3为任意常数作业 P164 3类型 2设 f(t) A(t)cos t B(t)sin te t ，其中 , 为实常数，而 A(t),B(t) 是带实 系数的 t 的多项式，其中一个的次数为 m ，而另一个的次数不超过 m ，则有如下结论：方 程( 4.32)有形如x tkP(t)cos t Q(t)sin te t ， (4.38 ) 的特解，其中 k 为特征方程 F( ) 0的根 i 的重数，而 P(t),Q(t) 为待定的带实

25、P(t) 2Re D(t) ,Q(t) 2Im D(t) ，可以通过比较系数法来确定 .d x dx例10 求方程 2 4 4x cos2t 的通解 dt 2dt2t 2 t 1(通解为 x c1e 2t c2te 2tsin2t )8特殊情形f(t) A(t)e t cos t, 或 f(t) B(t)e t sin t可用 复数法 求解 .例11d 2 xdx求方程 2 4 4x cos2t 的通解 dt 2 dt(通解为 x c1e 2t c2te 2t 1 sin 2t )8(二)拉普拉斯变换法 常系数齐次线性微分方程(组)还可以应用拉普拉斯变换法进行求解 . 由积分F(s) 0 e

26、st f(t)dt所定义的确定于复平面 ( Res )上的复变数 s的函数 F(s) ，称为函数 f(t) 的拉普拉斯f(t) Me t ，这里变换， 其中 f(t) 于t 0上有定义，且满足不等式M , 为两个正常数 . 称 f (t) 为原函数，而 F(s) 称为像函数 .应用设给定微分方程4.32)n n 1 d x d x dxna1 n 1an 1anxf (t)dt n1dt n 1n 1 dtn及初始条件 x(0) x0 ,x (0) x0, ,x(n 1) (0) x0n 1 ，其中 a1,a2, ,an 为常数， 而 f (t)为连续函数且满足原函数的条件dx例12 求方程 x e2 t满足初始条件 x(0) 0 的解 dt2t t(解为 x(t) e2t et )例13 求解方程 x a2x b sin at ；x(0) x0, x(0) x0，其中 a, b为非零常数 .解为x(t) b2 (sin at at cos at) x0cosat x0 sinat 2a a12 (b 2ax0 )sin at a(2 ax0 bt )cos at) 2a2习题 第 165页第 4、6、7 题§4.3 高阶方程的降阶和幂级数解法4.3.1 可降阶的一些方程类型n 阶微分方程一般