数形结合在二次函数中的应用理论

1、初中二次函数教学中 如何运用和培养“数形结合”的思想 摘要： 二次函数是初中数学的重要内容，也是学习的难点。要解决 学生学习中的难点， 行之有效的方法就是在教学中从分运用数形结合 的思想方法，借助数形结合的思想方法， 加深学生对函数概念的理解； 让学生直观地理解二次函数性质； 加强知识间的横向联系。 运用数形 结合的思想方法可以使复杂问题直观化。 使学生的抽象思维能力得到 发展。也为学生提供了一种简单解决问题的方法， 培养学生自觉运用 “数形结合”的数学思想和意识。关键词：二次函数教学 运用 培养 数形结合思想函数是初中数学的重要内容之一，初中数学主要学习三种简单函 数：一次函数、反比例函数、

2、二次函数。二次函数是学习了一次函数 和反比例函数之后所认识的另一种函数， 相对前两种函数来说， 二次 函数反应出来的关系和性质更复杂抽象一些，是学生学习的一个难 点。学生主要存在的困难是对函数概念难以理解， 对各类函数中两个 变量的变化关系感觉比较抽象，对函数关系的表示方法不能灵活转 化。要解决学生学习中的难点， 行之有效的方法就是在教学中从分运 用数形结合的思想方法，通过“数”与“形”的相互转化，使复杂问 题简单化、 抽象问题具体化； 下面就二次函数谈谈函数教学中如何渗 透和应用数形结合思想。一、数形结合思想的概论。数形结合是初中数学的重要思想之一，包含“以形助数，以数辅形”两个方面。著名数

3、学家华罗庚教授曾精辟的概述： “数以形而直观 形以数而入微 ”，其应用大致分为两种情形：借助形的生动和直观来 阐明数之间的联系，即以形为手段，数为目的。借助数的规范严密和 精确来阐明形的属性。通过“数”与“形”的相互转化，使复杂问题 简单化、抽象问题具体化； 数形结合是初中数学基本思想之一，是用 来解决数学问题的重要思想。二、借助数形结合加深学生对函数概念的理解。 初中数学课程标准中对函数概念的要求是“了解常量、变量、函数的 意义，会举出函数的实例以及分辨出常量与变量以及两者之间的关 系。”课本通过大量实例，如一天的气温随时间的变化而变化，邮资 随邮件重量的变化而变化，园的面积随半径的变化而变

4、化，路程、速 度和时间的关系等， 得出“一个量随另一个量的变化而变化” 的结论， 使学生感知函数问题在客观世界中是大量存在的， 充分认识到建立函 数概念的必要性。初中数学对函数的定义是：一般的，在一个变化过程中，如果有两个 变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与 其对应，那么我们就把 x 称为自变量，把 y 称为因变量， y 是 x 的函 数。学生对于这一概念的理解比较抽象而机械的， 比如学生认识一次函数 和反比例函数的概念后，学生从函数表达式（关系式）可以判断两个 变量间属于哪一种函数关系， 但并不能透过表达式看到其中隐含的两 数量间的变化关系的区别， 面

5、对新的问题是不会建立相应的函数模型 解决问题，缺乏函数思想和观点，也就是对函数概念理解不全面。对 函数概念理解模糊和机械的背诵函数的定义， 学生不可能从本质上体 会和理解数学的另一种重要思想 - 函数的思想。而借助数形结合加 深学生对函数概念的理解。三、“数形结合”让学生直观地理解二次函数性质。 二次函数中的自变量和因变量的变化比较抽象， 学生难以把握， 由于 “数”和“形”是一种对应，而“图像”具有形象，直观的优点，能 表达出具体的思维过程，有利于问题解决，因此教师可以把“数”的 对应“形”找出来，利用图像来帮助学生理解二次函数的性质。 教师在二次函数性质的教学中， 充分让学生自己作图， 通

6、过列表格观 察数据的特点，再画图像，把函数表达式的特征在图像中显示出来， 逐步深入地探索二次函数的相关结论。 让学生从最简单的形式 y = a x2 入手，逐步过渡到 y ax 2 k ，y a （x h ）2，y a（x h） 2 k 的图像，从简单到复杂，作出图像观察常数 a，h，k与图像 的对应关系，即完成由“数”化“形”的过程。 观察二次函数图像性质时，狠抓 y = ax 2 的基本图像，让学生通过图 像体验图像平移过程，从图像的平移变换角度认识 y a （x h ） 2 + k 型二次函数的图像特征，深刻体会常数 a， h，k 在图像中的作 用，从而掌握二次函数的开口方向、 顶点坐标

7、、对称轴、y 的最大（小） 值等性质。认识研究 y a （x h）2 + k 型二次函数的图像特征 后，代数式的变换，得出y=ax2+bx+c型二次函数的性质。 即完成由“形” 化“数”的过程。通过观察常数的变化与图形变化之间的关系， 学生从多方面观察函数 图像的变化，发现“数”与“形”之间的对应规律。由此，学生可以 根据任意一个二次函数（如： y=-2x 2-9x+3 ）的表达式，在头脑中呈 现出该函数的大致图像。 同时学生根据函数图像特征， 可以确定表达 式中常数的取值情况。在这一过程，学生可体会“数”与“形”之间 的转化，培养学生数形结合的意识。图形虽然具有直观化、 具体化的特点， 但要

8、确定具体的图形性质， 如： 顶点坐标，与 x轴的交点坐标等，在准确定量方面还必须借助代数的 计算，把“形”准确表示成“数”的形式。正所谓“ 数以形而直观 , 形以数而入微 ”。通过由“数”化“形”， 由“形”定“数”的研究 函数性质的过程，整个初中阶段，函数关系用“形”这一特殊的方法 来表现， 在学生面前呈现出绚丽多彩的画面。 一次函数的图像是一条 直线，二次函数的图像是一条抛物线，其变化趋势有升也有降，反比 例函数的图像是双曲线， 它可以向 x轴无限逼近， 也可以向 y轴无限逼 近，其中尤其是二次函数的变化， 无论是从画图像或初等讨论方法上 都可以看到这种神奇的效果。所以“形”的引人给研究函

9、数不仅带来 了直观上的美好享受，更重要的是给学生带来了最直接的理性认识。 使学生体会数形结合的数学思想， 并在解决问题过程中自觉地加以运 用。四、运用数形结合加强知识间的横向联系。 二次函数与一元二次方程和一元二次不等式有着密切的联系。 如何理 解三者之间的关系， 是学生的一个难点。 借助数形结合能直观的反应 出它们之间的联系，从而提高学生的综合分析能力和灵活解题的能 力。例如通过下表，求方程的解与函数的图像与 x轴的交点坐标，对照图 形，二次函数与一元二次方程的关系便直观显现出来。方程x 2 2x 3 02x2 2 x 1 02x 2 2x 3 0函数y x2 2x 32y x 2 2x 1

10、2y x2 2x 3函数图象（简图）根的判别式000方程的实数根函数的图象与轴的交点（-1,0 ）（3,0 ）（1,0）无学生通过数（方程的根）与形（二次函数图像与 x轴的交点横坐标） 的对应，可以直观的得出结论：方程 ax2+bx+c=0的根就是抛物线2y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标。解一元二次不等式 ax2+bx+c>0，初中没有学过，仍然可以引导学生 借助二次函数 y=ax2+bx+c的图像求出解集，发现不等式 ax2+bx+c> 0 的解集，就是抛物线位于 x轴上方部分对应的自变量 x的取值范围。 可见数形结合在数学研究和解决问题中的起到非常重要的作用。 借助 数形

11、结合，优化了学生的数学认知结构，构建了有效的知识网络，培 养了学生联想和迁移问题的能力。五、具体问题中培养运用数形结合的意识二次函数是初中数学的重要内容， 因此也是考试考察的重点。 正 确地利用“数形结合”可以使二次函数问题简单化、具体化，使复杂 问题轻易举得以解决。数形结合的思想方法在解决二次函数 y=ax +bx+c中判断常数 a、b、 c的正负，求平移后的抛物线解析式，比较函数值的大小等问题中经 常用到。下面仅举两个例子说明。1、剖析条件，由“数”转向“形” 例：已知二次函数，当 x=2时有最小值 -1 ，且它的图像与 x 轴交点的横 坐标为 1，求此二次函数的解析式。剖析：本题若能根据

12、给出条件， 分析该函数图形的特征， 找出关键点， 解题将变得简单。因为二次函数当当 x=2时有最小值 -1 ，所以抛物线的顶点坐标为（ 2，-1 ），可以确定抛物线开口向上， 且与x轴的交点横坐标为 1，即过（1,0 ）这一点，由图形的对称性， 抛物线与 x轴的另一个交点坐标为 （3,0 ），”转向“数，可用待定系数法求解。x例：二次函数 y=ax 2+bx+c的图象的顶点在第三象限 , 且不经过第四象限, 则判断此抛物线开口及 c、b、b2-4ac 的正负取值情况剖析：由题意画出图象（如图 2）， 从而判断：a>0, c 0 对称轴： x=- b <0 b>0 图象与 x 轴有两个交点： > 0 2a2即 b-4ac > 0 解决二次函数的实际问题时， 注重从“形”与“数”的有机结合。 要 让学生潜移默化的应用这种思想解决实际问题。综上所述， 数形结合是将知识转化为能力的桥， 数学疑难复杂问 题要清晰化， 具体化都离不开数形