上海市静安区2019届高三4月教学质量检测(二模)数学试题及答案及解析

1、上海市静安区2019 届高三 4 月教学质量检测（ 二模 ） 数学试题一、填空题（本大题共12 小题，共54.0 分）1. 不等式6x2+17x+12< 0 的解集是2. 已知复数（其中 i 是虚数单位），则| z|=3. 已知点A（1，-2 ， -7 ） ，B（3，10，9），C为线段AB的中点，则向量的坐标为 4. 若变量 x， y满足约束条件， 则目标函数z=-2x+y的最大值为，5. 若圆柱的轴截面为正方形，且此正方形面积为4，则该圆柱的体积为6. 已知，则 tan =7. 已知双曲线C 与椭圆的焦点相同，且双曲线C的一条渐近线方程为，则双曲线C的方程为 8. 函数 y=sin

2、x+cosx-|sin x-cos x| 的值域是9. 已知甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3 个，乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各2个（两盒中每个球除颜色外都相同）从两个盒子中各取1 个球，则取出的2个球颜色不同的概率是（结果用最简分数表示）10. 若等比数列 an （ n N*）满足a1+a3=30， a2+a4=10，则a1?a2? an的最大值为11. 设ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c已知a，b， c依次成等比数列，且，延长边BC到 D，若BD=4，则ACD面积的最大值为 12. 已知函数，若，则实数a=二、选择题（本大题共4 小题，共20.0 分）13. 为客观了解上海市民

3、家庭存书量，上海市统计局社情民意调查中心通过电话调查系统开展专项调查，成功访问了2007 位市民在这项调查中，总体、样本及样本的容量分别是（）A. 总体是上海市民家庭总数量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007B. 总体是上海市民家庭的存书量，样本是 2007 位市民家庭的存书量，样本的容量是2007C. 总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民，样本的容量是2007D. 总体是上海市民家庭总数量，样本是2007位市民，样本的容量是200714. 若 ， 均为单位向量，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不

4、必要条件15. 函数 f （ x） =sin 2x+bcosx+c 的最小正周期（）A. 与b 有关，且与c 有关B. 与b 有关，但与c 无关C. 与b 无关，且与c 无关D. 与b 无关，但与c 有关16. 设f（x） 是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x、y，都有 f（x+y）=f（x）f若 ， an=f（ n）（n N*），数列an的前n 项和Sn组成数列 Sn，则有（A. 数列 递增，最大值为1 B. 数列 递减，最小值为C. 数列 递增，最小值为D. 数列 递减，最大值为15 小题，共76.0 分）17. 如图所示，在直角梯形ABCD中，已知BC AD， AB AD， BC=B

5、A= AD=m， VA平面（ 1）求证：CD平面VAC；y） ，ABCD（ 2）若VA= m，求CV与平面VAD所成角的大小18. 已知函数（ a 为实常数）（ 1）若的定义域是< 或 > ，求 a 的值；（ 2）若是奇函数，解关于x 的不等式>19. 某文化创意公司开发出一种玩具（单位：套）进行生产和销售根据以往经验，每月生产 x 套玩具的成本p 由两部分费用（单位：元）构成：a固定成本（与生产玩具套数x 无关），总计一百万元；b生产所需的直接总成本（ 1）问：该公司每月生产玩具多少套时，可使得平均每套所需成本费用最少？此时每套玩具的成本费用是多少？（ 2）假设每月生产出的

6、玩具能全部售出，但随着x 的增大，生产所需的直接总成本在急剧增加， 因此售价也需随着x 的增大而适当增加设每套玩具的售价为q 元，（ a，b R） 若当产量为15000套时利润最大，此时每套售价为300元， 试求a、 b 的值 （利润 =销售收入- 成本费用）20. 已知抛物线C：x2=2py（p>0）上一点T（t ，4）到其焦点F 的距离为5（ 1）求抛物线C 的方程；（ 2）设直线l 与抛物线C交于A、 B两点，O为坐标原点，若，求证：直线l 必过一定点，并求出该定点的坐标；（ 3）过点（2， 0）的直线m与抛物线C交于不同的两点M、 N，若< ，求直线m的斜率的取值范围21.

7、 设数列 an 的前n 项和为Sn，对任意正整数n，皆满足Sn+an=2a（实常数a> 0）在等差数 bn （ n N*）中，b1=a1， b2=2S2（ 1）求数列 bn 的通项公式；（ 2）试判断数列 an+1能否成等比数列，并说明理由；（ 3） 若 ， cn=an?bn， 求数列cn的前n 项和Tn， 并计算：（已知） 答案及解析1【答案】（- ， - ） 【解析】解：不等式6x2+17x+12< 0 可化为（2x+3）（3x+4）<0，解得 - < x< - ，所求不等式的解集是（- ， - ）故答案为：（- ， - ）把不等式化为（2x+3）（3x+4）

8、<0，求出解集即可本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题2【答案】解： |z|=故答案为：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3【答案】（1， 6， 8）【解析】解： 依题意， 点A（1， -2， -7） ，B（3，10，9），C为线段AB的中点，所以 C点坐标为 （，），即C（ 2， 4， 1），所以向量的坐标为=（ 3-1 ， 10-4， 9-1 ） =（ 1， 6， 8）故填：（1， 6， 8）依题意，点A（1，-2 ， -7 ），B（3，10，9），C为线段AB的中点，所以C点坐标为（2，4

9、，1），所以向量的坐标为（1， 6， 8）本题考查了空间向量的中点坐标公式，空间向量的坐标属于基础题4【答案】2【解析】解：由变量x， y 满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（ 0， 2），化目标函数z=-2x+y 为 y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过 A时，直线在y 轴上的截距最大，为2故答案为：2由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题5【答案】2【解析】解：圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，圆柱的底面半径r=1 ，高h=2，圆柱的体

10、积V= r 2h= ×1 2× 2=2 故答案为：2 根据圆柱的结构特征可知底面半径和高，代入体积公式计算即可本题考查了圆柱的结构特征和体积的计算，属于基础题6【答案】【解析】解：，则tan =tan （）+= ，故答案为：由tan =tan （）+ ，利用两角和的正切公式展开即可求解本题主要考查了两角和的正切公式的简单应用，属于基础试题7. 【答案】 【解析】解：双曲线C与椭圆的焦点相同，即（±3， 0），直线，为双曲线C的一条渐近线，可得 = ，又a2+b2=9，可知a2=4， b2=5则双曲线C的方程是：故答案为：求出双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程

11、，转化求解即可本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，双曲线法方程的求法，考查计算能力8【答案】，【解析】解：当x 0 ， 时，cosx > simx， y=sinx+cosx+sinx-cosx=2sinx 0 ， ；当 x（， 时， sin > cosx， y=sonx+cosx-sinx+cosx=2cosx -2 ，）；当 x ， 2 时， cosx > sinx ， y=2sinx -2 ， 0 ， x 0 ， 2 时，y -2. ，根据正余弦函数的周期性可知，y -2 ， 故答案为：-2 ， 分 3 段讨论后，根据正余弦函数的性质可得本题考查了三角函数的

12、最值，属中档题9【答案】【解析】解：甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3 个，乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各2 个（两盒中每个球除颜色外都相同）从两个盒子中各取1 个球，基本事件总数n=9× 6=54，取出的 2 个球颜色不同包含的基本事件个数m=42，则取出的2 个球颜色不同的概率是p= = 故答案为：从两个盒子中各取1 个球，基本事件总数n=9× 6=54，取出的2个球颜色不同包含的基本事件个数 m=42，由此能求出取出的2 个球颜色不同的概率本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题10. 【答案】729【解析】解：设等比数列a

13、n的公比为q，a1+a3=30， a2+a4=10，2 a1+a3=30=a1（ 1+q ），a2+a4=10=q（ a1+a3） =30q，联立解得q= ， a1=27 an=27×=34-n 则 a1?a2? ?an=33+2+ +（ 4-n） =，可得 n=3或 4时，a1?a2? ?an的最大值为729故答案为：729设等比数列an的公比为q，由a1+a3=30，a2+a4=10，可得a1+a3=30=a（11+q2），a2+a4=10=（qa1+a3）=30q，联立解得q， a1利用通项公式与求和公式及其二次函数的单调性即可得出本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式

14、、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11【答案】【解析】解：cos（ A-C） +cos（ A+C） =2cosAcosC= ，cosAcosC= ，a， b， c 依次成等比数列，b2=ac，sin 2B=sinAsinC - 可得，=cos（ A+C） =-cosBcosB= ， cos（ A-C） =1，即A-C=0ABC为正三角形，设边长a， s ACD=当且仅当a=4-a 即 a=2时取等号故答案为：由已知结合诱导公式可得cos（ A-C） +cos（ A+C） =2cosAcosC，可求cosAcosC，然后由等比数列的性质及正弦定理可得，sin 2B=sinA

15、sinC，结合两式可求B= ，进而可判断出 ABC为正三角形，结合三角形的面积公式及基本不等式即可求解面积的最大值本题主要考查了正弦定理，两角和与差的三角公式在求解三角形中的应用，三角的面积公式，基本不等式的应用是求解面积最值的关键12. 【答案】 【解析】解：函数， f （ x）关于点（， a）成中心对称，则 f（ x） +f（ 1-x） =2a，则由得 f（ 1） +f（） + +f（ 0） =1010，两式相加得2020f （ 0） +f（ 1） =2020，即 f （ 0） +f（ 1） =1，即2a=1，得 a= ，故答案为：根据函数f （ x）的性质，得到f （ x）关于点（， a

16、）成中心对称，利用对称性进行求解即可本题主要考查函数与方程的应用，结合函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键13. 【答案】 B【解析】解：因为了解的是上海市民家庭存书量，所以总体是上海市民家庭的存书量不是家庭数；样本是2007位市民家庭的存书量不是市民；样本的容量是2007故选： B要了解的是上海市民家庭存书量，因此总体是存书量，样本也是存书量，样本容量是2007本题考查了用样本的数字特征估计总体的数字特征，属基础题14. 【答案】 C【解析】解： ， 均为单位向量，“|2-|=|+2 | ” ? 4+1-4=1+4+4?=0? “ ”“|2- |=|+2 | ”是“ ”的充要条件故选：C

17、， 均为单位向量，“ |2-|=|+2 | ” ? 4+1-4=1+4+4?=0? “ ”即可判断出结论本题考查了向量数量积运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题15【答案】C【解析】解：函数f （ x） =sin 2x+bcosx+c，=1-cos 2x+bcosx+c，所以函数的关系式，是以cosx 为自变量的二次函数，所以：函数的周期与b 无关，函数的值域与c 有关故选：C直接利用同角三角函数关系式的变换的应用，把函数的关系式变形成二次函数的形式，进一步求出函数的周期的影响变量和值域的影响变量本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，二次函数的形式的应用，

18、主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型16【答案】C【解析】解： a1=，故f（1）=，a2=f（ 2）=f2（1）=，3a3=f（ 3） =f（ 1） f（ 2） =f3（ 1） = ，n N*时，an=，又 Sn=1-（） n< 1，故 Sn递增，当n=1 时，Sn取得最小值S1=a1= 故选：C计算 f（ n）的值，得出an的通项公式，从而可得Sn的通项公式，根据其通项公式进行判断本题考查了函数性质的应用，等比数列的前n 项和公式，属于中档题17. 【答案】（1）证明：连结AC，AB=BC，ABC=90°，CAB= ACB=45°，取 AD中点G，连CG

19、，因为BC AD，所以四边形ABCG为正方形所以CG=GD，CGD=90°，DCG=45°，DCA=90°（ 4分）所以CD CA，又 VA平面ABCD，所以CD VA，CD平面VAC（6 分）2）解：法1：连 VGCG ADCG VAVC=2m； CG=m，CVG=30°? CG面VAD，CVG是 CV与平面VAD所成的角（11 分）第 17 页，共 13 页 CV与平面VAD所成角为30°（14分）法 2：以A为原点，射线AB， AD， AV所在直线为x， y， z 轴正半轴，建立空间直角坐标系，与 夹角为 ，则平面VAD法向量=（ m，

20、0， 0），又则 cos =， = ， CV与平面VAD所成的角为【解析】（ 1） 证明连结AC，取AD中点G，连CG，证明四边形ABCG为正方形推出CDCA，CDVA，即可证明CD平面VAC（ 2）连VG，说明CG面VAD，CVG是 CV与平面VAD所成的角，通过求解三角形得到CV与平面VAD所成角为30°法 2：以A为原点，射线AB， AD， AV所在直线为x， y， z 轴正半轴，建立空间直角坐标系，平面VAD法向量 =（ m， 0， 0） ， 又， 利用空间向量的数量积求解即可本题考查直线与平面垂直判定定理的应用，直线与平面所成角的求解，考查空间想象能力以及计算能力18. 【

21、答案】解法1：（1）函数的定义域是< 或 >，即> 的解集是< 或 >，（2 分）也即> 的解集是< 或 >，所以令，解得a=3；（6 分）（ 2）如果是奇函数，则定义域即> 的解集关于原点对称，所以，解得 a=1；（8分）当 a=1 时，所以是奇函数，关于 x 的不等式> ，即>，（10 分）即 > ，化为> ，解得x> 1；所以所求不等式的解集为 x! x> 1 （14分）解法2：（1）的定义域是< 或 >，当 时，解得；检验， a=3 时， y=lg （+3） =lg ，令 > 0

22、，解得x< 或 x> 1，所以函数y的定义域为x| x<或 x> 1，所以a=3；（ 2）因为是奇函数，所以，即（2- a） 2- a2x2=1-x2，由，解得 a=1，检验 a=1 时，函数y 的定义域为（- ， -1 ）（1， +），关于原点对称，满足题意；又不等式化为lg > lg1 ，即 > 1，即 > 0，解得x> 1，所以所求不等式的解集为 x! x> 1【解析】解法1：（1）根据函数的定义域得出不等式的解集，列出关于a的方程求得a的值；（ 2）根据函数y 是奇函数，定义域关于原点对称，列出关于a 的方程求得a 的值，再求对应不

23、等式的解集解法2：（1）根据函数的定义域求出a 的值，再检验所求的a 是否满足题意；（ 2）根据奇函数的定义列方程求得a 的值，并检验所求的a 是否满足题意，再求对应不等式的解集本题考查了对数函数的定义与性质的应用问题，也考查了函数的奇偶性应用问题，是中档题19. 【答案】解：（1）由题意知，生产成本为p=1000000+50x+ x2，（3分）= +502+50=250，（5 分）当且仅当= 时，即x2=100000000，解得x=10000；（6分）答：该公司生产1 万套玩具时，使得每套平均所需成本费用最少，且每套的成本费用为250 元；（7 分）（ 2）利润qx- p=x（ a+ ） -

24、 （ 1000000+50x+ x2）=（-） x2+（ a-50） x-1000000；（10分）根据题意，有-< 0， a+=300，且-=15000，解得a=250， b=300（14分）【解析】（ 1）由题意写出生产成本p，利用基本不等式计算的最小值，并且求出对应的x 值；（ 2）利用利润函数qx-p ，结合题意列方程求得a、 b 的值本题考查了根据实际函数模型求成本与利润的应用问题，是中档题20. 【答案】解：（1）解法 1：由题意，根据抛物线的定义，有，解得p=2，所以抛物线C的方程为x2=4y；（4分）解法2：将T（ t ， 4）代入x2=2py 得，t2=8p，又点T（

25、t ， 4）到其焦点F 的距离为5，焦点坐标为， ，所以，将 t 2=8p 代入整理得p2+16p-36=0，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y；（4分）（ 2）依题意，直线l 的斜率存在，设l 的方程为y=kx +b，由得 x2-4kx-4b=0，（6 分）设 A（ x1， y1），B（ x2， y2），则x1+x2=4k， x1x2=-4 b，所以=令 b2-4b=-4，得b=2，所以直线l 过定点（0， 2）（10 分）（ 3）依题意，直线m的斜率k 存在且k 0，设m的方程为y=k（ x-2），由消去 y，得x2-4 kx +8k=0，（12 分）由>0，即k2-2 k> 0，解得k< 0 或 k> 2设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=8k，且， 所以因为< ，所以12k+1 < 0，解得<；所以，直线m的斜率的取值范围是，（16 分）【解析】（ 1）解法1：根据抛物线的定义列方程，求得 p 的值，写出抛物线方程；解法2：将T（ t， 4）代入x2=2py，再由点T到其焦点F的距离，列出方程组求得p 的值，再写出抛物线方程；（ 2）可直线l 的方程为y=kx+b，与抛物线方程联立，消去y，利用根与系数的关系计算? ，从而证明直线l 过定点（