【高考冲刺】2020年高考数学(理数)概率与统计大题(含答案解析)

1、2020 年高考数学(理数) 概率与统计大题1. 在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机下单和支付出门不带现金的人数正在迅速增加中国人民大学和法国调查公司益普索(Ipsos) 合作，调查了腾讯服务的6 000 名用户，从中随机抽取了60 名，统计他们出门随身携带的现金( 单位：元) 如茎叶图所示，规定：随身携带的现金在100 元以下的为“淡定族”，其他为“非淡定族”75%的把握认为“淡定族”与“性别”(1) 根据上述样本数据，列出2×2列联表， 判断是否有有关？(2) 用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取3 人，设这3 人中

2、“淡定族”的人数为随机变量 ，求随机变量 的概率分布列及数学期望22参考公式：K= ，其中n=ab c d.参考数据：2. 第四届世界互联网大会在浙江乌镇隆重召开，人工智能技术深受全世界人民的关注，不同年龄段的人群关注人工智能技术应用与发展的侧重点有明显的不同，某中等发达城市的市场咨询与投资民调机构在该市对市民关注人工智能技术应用与发展的侧重方向进行调查，随机抽取 1 000 名市民，将他们的年龄分成6 段： 20,30) ， 30,40) ， 40,50) ， 50,60) ，(1) 求这 1 000 名市民年龄的平均数和中位数( 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 )；(2) 调查发现

3、年龄在20,40) 的市民侧重关注人工智能技术在学习与工作方面的应用与发展， 其中关注智能办公的共有100 人， 将样本的频率视为总体的频率，从该市年龄在20,40)的市民中随机抽取300 人，请估计这300 人中关注智能办公的人数；(3) 用样本的频率代替概率，现从该市随机抽取20 名市民调查关注人工智能技术在养老服务方面的应用与发展的情况，其中有k 名市民的年龄在60,80 的概率为P(X=k) ，其中k=0,1,2 ，20，当 P(X=k)最大时，求k 的值3. 某校高三年级有500 名学生，一次考试的英语成绩服从正态分布N(100,17.5 2) ，数学成绩的(1) 如果成绩高于135

4、 分的为特别优秀，则本次考试英语、数学成绩特别优秀的学生大约各多少人？(2) 试问本次考试英语和数学的平均成绩哪个较高，并说明理由；(3) 如果英语和数学两科成绩都特别优秀的共有6 人，从 (1) 中的这些学生中随机抽取3 人，设 3 人中两科成绩都特别优秀的有 人，求 的分布列和数学期望参考公式及数据：若X N( ， 2)，则P( - <X )=0.68 ，P( -2<X 2)=0.96 ，P(-3 <X 3)=0.99.4.x， y 的几组数据如下表所示：(1) 请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；(2) 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于 x 的线性回归方程

5、y=bx a，并估计当 x=20 时 y 的值；(3) 将表格中的数据看作5 个点的坐标，则从这5 个点中随机抽取3 个点，记落在直线2x-y-4=0 右下方的点的个数为 ，求 的分布列以及期望nxiyi nx yi=1参考公式：b=， a=y-b-x.n22xi nxi 15. 某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵某汽车经销商推出A， B， C 三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100 位采用上述分期付款方式付款的客户进行统计分析，得到柱状图如图所示已知从A， B， C 三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1辆所获得的利润分别是1 万元、 2 万元、 3 万元现甲、乙两人从

6、该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆以这100 位客户所采用的分期付款方式的频率估计 1 位客户采用相应分期付款方式的概率(1) 求甲、乙两人采用不同分期付款方式的概率；(2) 记X(单位：万元)为该汽车经销商从甲、乙两人购车中所获得的利润，求X的分布列与期望6. 某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出广告费支出x( 万元 ) 和销售量y( 万元 ) 的数据如下：(1) 若用线性回归模型拟合y 与 x 的关系，求出y 关于 x 的线性回归方程；(2) 若用 y=c d x模型拟合y 与 x 的关系，可得回归方程y=1.63 0

7、.99 x，经计算线性回归模型和该模型的R2分别约为0.75 和 0.88 ，请用R2说明选择哪个回归模型更好；(3) 已知利润z 与x， y 的关系为z=200y-x. 根据 (2) 的结果回答下列问题：广告费x=20 时，销售量及利润的预报值是多少？广告费x 为何值时，利润的预报值最大？( 精确到 0.01)参考公式：回归直线y=a bx 的斜率和截距的最小二乘估计分别为nxi yi n x yi=1b=， a=y- -b -x. 参考数据：5 2.24.n22xi nxi 12 ×2 列联表：6 人组建“运动达人3 人中的女大学生人7. 通过随机询问100 名性别不同的大学生是

8、否爱好某项运动，得到如下(1) 将题中的2 ×2列联表补充完整；(2) 能否有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关？请说明理由；(3) 如果按性别进行分层抽样，从以上爱好该项运动的大学生中抽取社”，现从“运动达人社”中选派 3 人参加某项校际挑战赛，记选出数为X，求X的分布列和数学期望附：2 8. 甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司，底薪80 元，每单送餐员抽成4元；乙公司，无底薪，40单以内(含40 单 )的部分送餐员每单抽成6 元，超出40 单的部分送餐员每单抽成7 元假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从这两家公司各随机选取一名送餐员，并分别记录其

9、50 天的送餐单数，得到如下频数表：(1) 现从记录甲公司的50 天送餐单数中随机抽取3天的送餐单数，求这 3 天送餐单数都不小于 40 的概率；(2) 若将频率视为概率，回答下列两个问题：记乙公司送餐员日工资为X(单位：元) ，求 X的分布列和数学期望E(X)；小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由9. 近年来“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事，并且逐渐影响到国际电子商务行业某商家为了准备2018 年“双十一”的广告策略，随机调查了 1 000 名客户在2017 年“双十一”前后 10 天内网购所花时间T

10、( 单位：时) ，并将调查结果绘制成如图所示的频率由频率分布直方图可以认为，这10 天网购所花的时间T近似服从N( ， 2)，其中 用样本平均值代替， 2=0.24.(1) 计算 ，并利用该正态分布求P(1.51 < T< 2.49) (2) 利用由样本统计获得的正态分布估计整体，将这10 天网购所花时间在(2,2.98) 小时内的人定义为目标客户，对目标客户发送广告提醒现若随机抽取10 000 名客户，记X为这10 000 人中目标客户的人数( )求EX；( ) 问： 10 000 人中目标客户的人数X为何值的概率最大？附：若随机变量Z服从正态分布N( ， 2)，则 P( - &

11、lt; Z< )=0.682 6 ， P( -2 < Z< 2 )=0.954 4 ，P( -3 < Z< 3 )=0.997 4.0.24 0.49.10. 某学校为了丰富学生的课余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取一首，背诵正确加10 分，背诵错误减10 分，且背诵结果只有“正确”和“错误”两种其中某班级学生背诵正确的概率p=2，记该班级完成n 首背诵后的总得分为Sn.3(1) 求S6=20 且 Si 0(i =1,2,3) 的概率；(2) 记 =|S 5| ，求 的分布列及数学期望1. 解：答案解析(1) 依题意可得2×2列联表

12、如下：22K= 18× 42× 40× 20 1.429>1.323，故有75%的把握认为“淡定族”与“性别”有关(2) 用样本估计总体，用户中为“淡定族”的概率为18 3=，60 103 B 3， 10 ，所以关注智能办公的频率为 的可能取值为0,1,2,3 ，由题意，得到P( =k)=Ck3 130 k 170 3-k， k=0,1,2,3 ，随机变量 的分布列为故随机变量 的数学期望E( )=0× 343 1× 441 2× 189 3× 27 = 900 =9( )1 0001 0001 0001 000 1

13、000 10.3. 解：(1) 因为英语成绩服从正态分布N(100,17.5 2) ，1所以英语成绩特别优秀的概率P1=P(X 135) =(1- 0.96) × 2=0.02，3由频率估计概率，得数学成绩特别优秀的概率P2=0.001 6 × 20× 4=0.024 ，所以英语成绩特别优秀的学生大约有500× 0.02 =10(人 )，数学成绩特别优秀的学生大约有500× 0.024 =12(人 ) (2) 本次考试英语的平均成绩为100 分，数 学 的 平 均 成 绩 为 60× 0.16 80× 0.168 100&#

14、215; 0.48 120× 0.16 140× 0.032 =94.72( 分 )，因为 94.72<100 ，所以本次考试英语的平均成绩较高(3) 英语和数学成绩都特别优秀的有6 人，则单科成绩特别优秀的有10 人， 可取的值有0,1,2,3 ，C310 3C210C61 27C110C26 15C63 1所以P( =0)=C316=14， P( =1)= C136 =56， P( =2)= C136 =56， P( =3)=C136=28，故 的分布列为327151 94.(2) 依题意，-x=1× (2 4 6 8 10)=6，5-1-y=5

15、5; (3 6 7 10 12)=7.6 ，xi2=4163664100=220，xiyi=6244280120=272，i 1i 15xi yi 5 x yi=1b=5xi2 5 x 2i 1272 5× 6× 7.6 442220 5×6 2=40=1.1 ，a=7.6- 1.1 ×6 =1 ，E( )=0× 14 1× 56 2× 56 3× 28=8.线性回归方程为y=1.1x 1，故当 x=20 时， y=23.(3) 可以判断，落在直线2x-y-4=0 右下方的点满足2x-y-4>0 ，故符合条件

16、的点的坐标为(6,7) ， (8,10) ， (10,12) ，故 的所有可能取值为1,2,3 ，C33 1， C53=10，C22C13 3C12C32 6 3P( =1)= 3= ， P( =2)= 3= = ， P( =3)=C5 10C5 10 5故 的分布列为1 18 910=10=5.33故 E( )= 1× 2× 3×1055. 解：(1) 设“采用 A种分期付款方式购车”为事件A， “采用B种分期付款方式购车”为事件B，“采用C种分期付款方式购车”为事件C，由柱状图得，354520P(A)=100=0.35， P(B)=100=0.45， P(C)

17、=100=0.2，甲、乙两人采用不同分期付款方式的概率P=1-(P(A) · P(A) P(B) · P(B) P(C)· P(C) =0.635.(2) 由题意知，X的所有可能取值为2,3,4,5,6 ，P(X=2)=P(A)P(A)= 0.35× 0.35 =0.122 5 ，P(X=3)=P(A)P(B) P(B)P(A)= 0.35 × 0.45 0.45 × 0.35 =0.315 ，P(X=4)=P(A)P(C) P(B)P(B) P(C)P(A)= 0.35 × 0.2 0.45× 0.45 0.2&

18、#215; 0.35 =0.342 5 ，P(X=5)=P(B)P(C) P(C)P(B)= 0.45 × 0.2 0.2× 0.45 =0.18 ，P(X=6)=P(C)P(C)= 0.2 × 0.2 =0.04. X 的分布列为E(X)=0.122 5 × 2 0.315× 3 0.342 5 × 4 0.18 × 5 0.04 ×6=3.7.6. 解：77(1) -x=8， -y=4.2 ，xiyi =279.4 ，xi2=708，7xi yi 7x yi=1 i=1279.4 7× 8×

19、 4.2 - -b=2=0.17 ， a=y-b-x=4.2- 0.17 ×8 =2.84 ，7708 7×822xi 7xi 1 y 关于 x 的线性回归方程为y=0.17x 2.84.(2) 0.75<0.88 且 R2越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好，选用y=1.63 0.99 x更好(3) 由 (2) 知，当 x=20 时，销售量的预报值y=1.63 0.99 20 6.07( 万台 ) ，利润的预报值z=200×6.07 -201 194( 万元 )z=200(1.63 0.99x)-x=-x 198 x326=-(x)2198 x32

20、6=-( x-99) 210 127 ，当x=99，即x=9 801 时，利润的预报值最大，故广告费为9 801 万元时，利润的预报值最大7. 解： (1) 题中的2 ×2列联表补充如下：2 8.25>6.635(2)K2=(2)K =55× 45× 60× 40所以有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关(3) 由题意，抽取6 人中包括男生C43 1C24C12 3则 P(X=0)= 3= ， P(X=1)= 3 = ，C6 5C6 5故 X 的分布列为4 名，女生2 名， X的取值为0,1,2 ，C14C22 1P(X=2)= C63 =5

21、，E(X)=0× 1 1× 3 2× 1=1.5558. 解：40 为事件M，(1) 记抽取的3 天送餐单数都不小于则P(M)=C325= 23 .C50 196(2) 设乙公司送餐员的送餐单数为a，当a=38时，X=38×6=228，当a=39时，X=39×6=234，当a=40时，X=40×6=240，当a=41时，X=40×6 1×7=247，当a=42时，X=40×6 2×7=254.所以X的所有可能取值为228,234,240,247,254.故 X 的分布列为11121所以 E(X)

22、= 228× 10 234× 5 240× 5 247× 5 254× 10=241.8.依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为38× 0.2 39× 0.3 40× 0.2 41× 0.242× 0.1 =39.7 ，所以甲公司送餐员的日平均工资为80 4× 39.7 =238.8 元由得乙公司送餐员的日平均工资为241.8 元因为 238.8<241.8 ，所以推荐小王去乙公司应聘9. 解：(1) =0.4 × (0.050 × 0.8 0.225

23、5; 1.2 0.550× 1.6 0.825× 2.0 0.600× 2.4 0.200× 2.8 0.050× 3.2) =2，从而T服从 N(2,0.24) ，又 = 0.24 0.49，从而 P(1.51 < T< 2.49)=P( - < T< )=0.682 6. (2)( ) 任意抽取1 名客户，该客户是目标客户的概率为P(2< T< 2.98)=P( < T< 2 )11=2P( -2 < T< 2 )= 2× 0.954 4 =0.477 2.由题意知X服从

24、 B(10 000,0.477 2) ，所以 EX=10 000× 0.477 2 =4 772.( )X 服从 B(10 000,0.477 2)，10 000) P(X=k)=Ck10 0000.477 2k(1-0.477 2)10 000-k=Ck10 0000.477 2k· 0.522 810 000-k(k=0,1,2设当 X=k(k 1， k N)时概率最大，10.P 则有PX kX kP X k 1P X k 10.522 8C 10 000> 0.477 2C得 0.477 2C k10 000> 0.522 8Ck 110 000，k 11

25、0 000，解得 k=4 772.故 10 000 人中目标客户的人数为4 772 的概率最大解：(1) 当 S6=20 时，即背诵6 首后，正确的有4 首，错误的有2 首由 Si 0(i =1,2,3) 可知，若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵正确2 首；若第一首背诵正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3 首可任意背诵正确2 首则所求的概率P= 22×C 24 22× 1 22×1× 2×C32 2 2× 1=16.33333 333 812(2) 由题意知 =|S 5| 的所有可能的取值为10,30,50 ，又 p= ，3P( =10)=C35233× 312 C52322×313=4801，3333 814P( =30)=C45525100201511P( =50)=C5 3 × 3 C5 3 × 3 =81，