拉格朗日插值公式的证明及其应用讲解

1、拉格朗日插值公式的证明及其应用摘要 : 拉格朗日 (Lagrange) 插值公式是多项式中的重要公式之一, 在理论和实践中都有着广泛的应用 . 本文阐述了 Lagrange 插值的基本理论，譬如：线形插值，抛物插值， Lagrange 多项式等 . 然后 将线形插值，抛物插值， Lagrange 多项式插值分别应用到高中知识中，并且学会用计算机程序来编 写. 插值法的思想与中国剩余定理一脉相承, 体现了代数中 线性化 ( 即表示为求和和数乘的形式 )这一基本思路 , 大巧若拙 . 本文的目的是通过介绍拉格朗日插值公式的推导， 唯一性， 证明过程及其 在解题与实际生活问题中的应用来寻找该公式的优

2、点， 并且引人思考它在物理， 化学等领域的应用 . 通过实际鉴定过程，利用插值公式计算生活中的成本问题，可以了解它的计算精度高 , 方法快捷 . 关键词 ： 拉格朗日插值公式 唯一性 证明 解题应用 资产评估3曲线插值问题，直观地说，认为已知的一批数据点 xk,fk kn 0是准确的，这些数据点所表现的P x 且点点通过这些点，插值问题准确函数关系 f x 是未知的，在这种情况下要作一条近似曲线 不仅要讨论这种近似曲线 P x 的构造方法，还要讨论点增多时这种近似曲线 P x 是否稳定地收敛 于未知函数 f x ，我们先研究一种简单常用的插值拉格朗日插值 一. 定义，推导及其在解题中的应用 .

3、 线性插值. . 线性插值的定义假定已知区间 xk ,xk 1 的端点处的函数值 yk f xk , yk 1 f xk 1 , 要 求 线 性 插 值 多 项 式 L1 x 使 它 满 足 L1 xk yk , L1 xk 1 yk 1y L1 x 的几何意义 : 通过两点 xk ,yk 和 xk 1,yk 1 的直线， 如图所示， L1 x 的表达式由几何意义直接给出，即L1 xykyk1ykxxk（点斜式），图xk 1 xkx xk 1 x xkL1 xk 1 ykk yk 1 （ 两点式 ） xk xk 1xk 1 xk由两点式方程看出， L1 x 由两个线性函数 lk x x xk

4、1 , lk 1 x x xk 的线性组合 xk xk 1xk 1 xk得到 , 其系数分别为 yk 及 yk 1, 即 L1 x yklk x yk 1lk 1 x 显然, lk x 及lk 1 x 也是插值多项式 ,在节点 xk及 xk 1上满足条件lkxk1，lkxk1 0 ，lkxk 0 ，lk1xk11 称函数 , lk x （图）及 l k 1 x （图）为一次插值基函数或线性插值基函数图象为：图 2 图 3. . 线性插值例题例 1. 已知 sin 0.32 0.314567,sin 0.34 0.333487,sin0.36 0.352274, 用线性插值计算x00.32x10

5、.34 ，x2y00.314567y10.333487y2解：由题意取0.360.352274若取 x0 0.32, x1 0.34 为节点，则线性插值为：sin 0.3367 L1 0.3367 y0 y1 y0 0.3367 x0x1 x00.3145670.018920.0167 0.3303650.02若取 x1 0.34,x2 0.36 为节点，则线性插值为：sin 0.3367 L1 0.3367 y1 y2 y1 0.3367 x1x2 x10.3334870.0187870.020.0033 0.330387显然 , 它满足条件 L2 x jy j j k 1,k,k 1 .

6、. 二次插值. . 二次插值的定义若 n 2时, 假定插值节点为 xk 1,xk,xk 1要求二次插值多项式 L2 x , 使它满足 L2 xjyj( j k 1,k,k 1)y L2 x 的几何意义 :通过三点的 xk 1,yk 1 , xk,yk , xk 1, yk 1 的抛物线 .lk 1 xk 1 1,lk 1 x j 0 j k,k 1lk xk 1,lk x j0 j k 1,k 1lk 1 xk 1 1,lk 1 x j 0 j k 1,k例如 lk 1 x ，因为它有两个零点xk,xk 1 ，故可表示为：l k 1 xA x xk x xk 1 .由 lk 1 xk 1 1

7、得 Ax xk1x xk 1所以，lk 1 xx xk x xk 1xk 1 xk xk 1 xk 1同理l x x xk 1 x xk 1 xk xk 1 xk xk 1， lk 1 x x xk 1 x xkxk 1xk 1 xk 1 xk5函数 lk 1 x , lk x , lk 1 x 称为二次插值基函数或抛物插值基函数在区间 xk 1,xk 1 上的图形分别为xy利用二次插值基函数lk 1 x , lk x , lk 1 x ,立即可得到二次插值多项式L2 xyk 1lk 1 x yklk x yk 1l k 1 x即 L x xxkxxk1 + xxk 1xxk 1+ xxk 1

8、xxk即 L2 xyk 1+ yk+ yk 1xk 1xkxk1xk 1xkxk 1xkxk 1xk 1xk 1xk1xk. . 拉格朗日公式（二次插值）在解题中的应用例 2. 已知函数 f x ax2 c （ a, c为实数 ）。若 4 f 11， 1 f 2 2，则 f 8的最大值是多少？提示：由 f x ax2 c 是偶函数，得 f 1 f 1 .令节点 x01,x1 1,x2 2 ，由拉格朗日插值公式（抛物插值）得x x1 x x2x0 x1 x0 x2l1 8x x0 x x2x1 x0 x1 x2l28x x0 x x1x2 x0 x2 x121f 8 7f 1 27f 1 21f

9、 2 7f 1 27 f 1 21f 1 122注 ：用高中知识很难解决该题，从此题中可知拉格朗日公式在解题中的方便与快捷 .1 例 3. 已知 f x x2 bx c 求证： f 1 , f 2 , f 3 中至少有一个值不小于 2 证明：根据二次函数的插值公式f x x2bx cx 2 x 3 f 1 x 1 x 3 f 2 x 1 x 2 f 31 2 1 3 f 1 2 1 2 3 f 2 3 1 3 2 f 32 1 1比较上式两边 x2 的系数，有f 1 f 2 f 3 122假若 f 1 , f 2 , f 3 都小于 1 ，则 1= 1 f 1f 2 1 f3 1f 1 f 2

10、 1f 3 1.111.112 2 2 2 2 222 2得出矛盾 .1所以， f 1 , f 2 , f 3 中至少有一个值不小于 2 注：这是一道全国高中数学联赛题，对高中生有一定难度，但应用高等数学知识来做却易如反掌。 从这方面可看出高等数学的学习对我们中学数学教学的指导有重要作用。b3312 34 S2 a b a c b a b c c a c b证明：构造二次多项式：f x x3 x a x b x c分析：由不等式左边分母联想到拉格朗日插值公式17则由拉格朗日插值公式得x b x c a3 a b a c3 x a x b c3x a x c bb a b c c a c b3x

11、3 x a x b x c比较等式两边 x2 的系数得a3b3c3a b a c b a b c c a c ba b c 2p由海伦公式得S2 p p a p b p c p3p a b c34p427因为 a,b,c 不全相等，所以，上式等号不成立.是，3 1 3 134S22p 2 34 S2小结 ：由此可推广：设 x1,x2,xn 为互不相等的 n 个数，则nk1 jk 1jnnxkxk x jxi例 5 二次函数 f x 满足f 10 9, f 6 7, f 29 ，则 f 2008 的值是多少？提示 ：由拉格朗日插值公式可设f x10x 66 x102 2 f 10x 10 x 2

12、 f 6 x 6 x 10 f 26 10 6 2 2 6 2 10例已知 4 2, 9 3, 16 4,求 7 的近似值解：令 y x ，列表xx0 4x1 9x2 16yxy0 2y1 3y2 41). 用线性插值多项式三组数据中，可以任取两组数据构造线性插值多项式L1 x 鉴于插值点所处的位置，应选取x0,y0 , x1, y1 构造 L1 x x 9x 423L1 x l0 x y0 l1 x y12 3 x 9 x 44 99 455所以 ，7 L1 7 2.62）. 用抛物插值多项式用全部数据构造抛物插值多项式L2 xL2 x l0 x y0 l1 x y1 l2 x y2x 9

13、x 162x 4 x 163x4 x 944 9 4 1629 4 9 163164 16 94所以， 7 L2 7 3 81 2 2.6286 5 53 7 结论：对比 n 1,n 2 时，抛物插值更精确例 7. 已知 f x ax2 bx c a 0 满足 7 f 1 1, 5 f 2 3, 1 f 3 8, 求 f 4 的取值范围 .分析：解决本题关键是用f 1 a b cf 1,f 2,f 3 表示 f 4 ，用高中知识联立方程组 f 2 4a 2b c f 3 9a 3b c求出 a,b,c并代入 f 4 16a 4b c ，从而确定 f 4 的取值范围，这样做过程较繁，而使用二次

14、函数的拉格朗日公式却恰到好处 .解：由二次拉格朗日公式得11 f x 1 f 1 x 2 x 3 f 2 x 3 x 1 1 f 3 x 1 x 222则 f 4 f 1 3f 2 3f 3由已知得 19 f 4 383. n 次 Lagrange 插值多项式上面对 n 1及 n 2 的情况 , 得到一次与二次插值多项式L1 x 及 L2 x , 用插值基函数表示的方法容易推广到一般情形 .下面讨论 n 1个节点 x0 x1xn的 n次插值多项式 Ln x , 假定它满足条件Ln xjyj j 0,1, ,n （）为了构造 Ln x , 先定义 n 次插值基函数定义：若 n次多项式 l j x

15、 j 0,1, ,n 在 n 1个节点 x0 x1xn上满足条件1,k jl j xkj,k 0,1, ,n0,k j就称这 n 1个 n 次多项式 l0 x ,l1 x , ,ln x 为节点 x0,x1, ,xn 上的 n次插值基函数类似 n 1及 n 2的推导方法，可得 n次插值基函数为 lk x x x0 x xk 1 x xk1 x xnxk x0xk xk 1 xk xk 1xk xnk 0,1, ,n 满足（）的插值多项式可表示nLn xyklk x （）k0n由 lk x 的定义知 Ln xjyklk xj y j j 0,1, ,n k0形如 （ ） 式的插值多项式 Ln x

16、 称为 Lagrange 插值多项式令 wn 1 xx x0 x x1 x xn易求 wn 1xkxkx0xkxk 1xkxk1xkxn则（）可改写为：nLn xykk0wn 1 xx xk wn 1 xk注意 : n次插值多项式 Ln x 通常是次数为 n的多项式 , 特殊情况次数可能小于 n二拉格朗日（ Lagrang ）插值公式的证明设已知函数 f x 在 n 1个互异的点 x0,x1, , xn处的函数值 f xj yj ， j 0,1, ,n 现构 造一个次数不超过 n 的多项式，使满足Ln xk yk， k 0,1, ,n .（）1. 唯一存在性 满足插值条件（）的次数不超过 n

17、次的多项式Ln xa0a1xx0a2 xx0xx1anxx0xx1xxn（ ）是唯一存在。xn x0xn x0 xn x1xnxn 1x1x0xnx0 xnx1xnxn 1由于 x0,x1, ,xn互异，所以Dn 0，这样 a0,a1,an 有唯一的解，所以 Ln x 唯一存在 .2. 证明过程证明：以 x0 , x1代入（）式得：a0 y0a0 a1 x1 x0 y1解得：a0 y0a1 y1 y0x1 x0从而有L1 x a0 a1 x x0y0 y1 y0 x x0 y0 x x1y1x0 x1x1 x0x x0 y0l0 y1l1 x1 x0这里l0x x11 ， l1 x0 x1x

18、x0x1 x0易证： lk xj1, k j0, k j这就证明了 n 2 时，公式成立.现假设n p 1时公式成立，则 n p 时，我们把 x p代入（）得解得：L p xpa0a1xpx0apxpx0xpxp1证明：把条件（）带入（）式得：a0 y0a0 a1 x1 x0 y1a0a1xnx0anxnx0xnx1xnxnyna0,a1, an的系数组成的行列式为0Dnx1 x0从而apLp xpapa1xpx0ap 1xpx0xpxp2 （）xpx0xpxp 1L p x a0 a1 xp x0ap xpx0xpxp1Lp1 xapxpx0xpx1把（）式代入上式得Lp xLp1 x xp

19、x0xpxp1yp Lp 1 xn x x0 x xp 1从假设得： L x y x x0x xk 1 x xk 1x xp 1k 0xk x0xk xk 1 xk xk 1xk xp 1ypp1ykk0xpx0xpxk 1xpxk1xpxp 1xkx0xkxk 1xkxk1xkxp 1x -x0 x x xp x0xp xp 1p1p1ykk0x x0x xk 1 x xk 1 x xp 1xkx0xkxk1xkxk 1xkxp1p1ykk0y xx0xxp 1xkx0xk xk1 xkxk 1xkxp 1xp xk xpx0xp xp 1x x0x xp 1p1ykk0x x0 x xk

20、1 x xk 1x xp1xkx0xkxk1xkxk 1xkxp1x xkxp xky x x0x xp xk x0xk xp 1p1p1ykk0xx0xkxp 1xxk 1xxp1 xxpy xx0xxp 1xkx0xkxk 1xkxk 1xkxp 1xkxpp xk x0xk xp 1pykl k xk0这里x x0x xk 1 x xk 1x xpx0xk xk 1 xkxk 1xk xp易证：lk xj1, k j0, k j即 n p 时成立 . 得证 . 从证明过程可看出，插值基函数的结构和由来是自然而合理的 三拉格朗日插值公式在实际生活（资产评估）中的应用1资产评估公式资产评估就

21、是在利用现时条件下,被评估资产全新状态的重置成本减去资产的各种陈旧贬值后的差额作为被评估资产现时价值,基本计算公式为 :资产价值 = 重置全价 （ 实体性贬值 + 功能性贬值 + 经济性贬值 ）2. 理论方法与实际应用分析假设某类设备 n 1个功能参数与价格 ,即已知 n 1个功能参数 : x0 ,x1, , xn ,及其相对 的 n 1个价格 : y0 , y1, y2 , , yn ,现在的问题是如何根据此组数据列表xx0x1x2xnyy0y1y2yn功能与成本数据表找出功能与成本之间的函数关系 : y f x 假设在该参数区间 （ 插值区间 ） 内存在一条代数多项式的函数曲线 ,在该曲线

22、上的数值均满足以上各点的数值对 应关系 ,以此函数曲线作为关系式y f x 的模拟曲线，就是所谓的拉格朗日插值法 . 利用这条曲线（图） ,输入新的 功能参数 ,即可得到重置成本参考价 .功图 函数曲线nLn xykk0x x0x xk 1 x xk 1 x xnxk x0xk xk 1 xk xk 1 x(6)kxn拉格朗日插值多项式为由此公式 , 代入 x0,x1, ,xn时, 可看出结果就是对应的y0,y1,y2, , yn,假设令 n 1, 即只有两个数据时 , 就得到两点插值计算公式 :L1 x y0x x1x0 x1y1 x x0x1 x0这是个线性函数 ,利用已知两点作一条直线,

23、作为拟合曲线 ,代表功能与成本之间的关系 ,也叫线性插值 （ 图 ）若 n 2 时 ,则得到 3 点插值计算公式 :xx1xx2xx0xx2 xx0xx2L2 xy01 2y10 2 y2 0 2 （8）x0x1x0 x2x1x0x1x2x2x0x2x1这是个二次函数 ,在图形上 ,即通过已知各点作一条抛物线 , 代表功能与成本之间的关系 ,叫抛物线插 值 （ 图 ）图2. 计算机运算方法分析根据以上理论 ,已知设备信息点越多 ,曲线拟合也越复杂 ,品评估的准确率就越高,计算公式也相应地复杂起来 .所以只能依靠计算机来解决.为便于计算 ,可将拉格朗日插值多项式改写为nykx xjxk x jnLn xk0编制程序时 ,只须利用一个二重循环就可完成Ln x 值的计算 :先通过内循环 ,即先固定 k，令 j 从0到n累乘;然后再通过外循环 ,即令 k从0到n累加得出插值结果 Ln x . 程序流程图见图 :y y p yk输出 x,y图3. 结论由以上分析可知 ,采用拉格朗日插值法计算设备的功能重置成本,计算精度较高 ,方法快捷。但是由于上述方法只能针对可比性较强的标准设备,方法本身也只考虑单一功能参数,因此 ,它的应用范围受到一定的限制。作为一种探索,