带电粒子在磁场中的运动解题技巧

1、优秀教案欢迎下载带电粒子在磁场中的运动带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是近几年高考的热点， 这些考题不但涉及到洛 伦兹力作用下的动力学问题， 而且往往与平面图形的几何关系相联系， 成为考查学生综合分 析问题、 运用数字知识解决物理问题的难度较大的考题。但无论这类问题情景多么新颖、 设问多么巧妙， 其关键一点在于规范、 准确地画出带电粒子的运动轨迹。 只要确定了带电粒子 的运动轨迹，问题便迎刃而解。下面举几种确定带电粒子运动轨迹的方法。一、对称法带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出， 则其轨迹关于入射点和出射 点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如

2、图1）；带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心 （如图 2）。利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。例 1 如图 3 所示，直线 MN上方有磁感应强度为 B的匀强磁场。正、负电子同时从同 一点 O以与 MN成 30 °角的同样速度 v 射入磁场（电子质量为 m，电荷为 e），它们从磁场 中射出时相距多远？射出的时间差是多少？解析： 正、负电子的半径和周期是相同的。只是偏转方向相反。先确定圆心，画出半径和轨迹（如图 4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。所以两个射出点相距 s=2r =，由图还看出经

3、历时间相差，所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称。例 2如图 5 所示，在半径为 r 的圆形区域内，有一个匀强磁场。一带电粒子以速度v0从 M点沿半径方向射入磁场区，并由 N 点射出， O点为圆心。当 MON 120°时，求：带电 粒子在磁场区的偏转半径 R 及在磁场区中的运动时间。解析： 分别过 M、 N点作半径 OM、ON的垂线，此两垂线的交点 O'即为带电粒子作圆周 运动时圆弧轨道的圆心，如图 6 所示。由图中的几何关系可知，圆弧 MN所对的轨道圆心角为 60°， O、O'的边线为该圆心角 的角平分线，由此可得带电粒子圆轨道半径为R=r/tan30

4、 ° =又带电粒子的轨道半径可表示为：故带电粒子运动周期：带电粒子在磁场区域中运动的时间二、旋转圆法在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时， 带电粒子的运动轨 迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。例 3如图 8 所示， S为电子源， 它在纸面 360°度范围内发射速度大小为 v0，质量为 m， 电量为 q 的电子（ q<0）， MN是一块足够大的竖直挡板，与 S的水平距离为 L，挡板左侧充 满垂直纸面向外的匀强磁场， 磁感应强度大小为 mv0/ qL，求挡板被电子击中的范围为多大？解析： 由于粒子从同

5、一点向各个方向发射， 粒子的轨迹为绕 S点旋转的动态圆， 且动态 圆的每一个圆都是逆时针旋转， 这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹， 如图 9所示， 最 高点为动态圆与 MN的相切时的交点 P，最低点为动态圆与 MN相割，且 SQ为直径时 Q为最得：低点，带电粒子在磁场中作圆周运动，由洛仑兹力提供向心力，由SQ为直径，则：SQ=2L，SO=L ，由几何关系得：P为切点，所以OPL ，所以粒子能击中的范围为。例 4（2010 全国新课程卷）如图 10所示，在 0xA0y 范围内有垂直于 xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点 O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为 m、电荷量为

6、 q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在 xy 平面内，与 y 轴正方向的夹角分布在 0 90°范围内。 己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于到a 之间， 从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的 四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的：1）速度大小；（ 2）速度方向与 y 轴正方向夹角正弦。解析：设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的半径为力公式得：，解得：。R，由牛顿第二定律和洛仑兹从 O点以半径 R（ < R< a）作“动态圆”，如图 11 所示，由图不难看出，在磁场中 运动时间最长的粒子， 其轨迹是圆心为 C 的

7、圆弧， 圆弧与磁场的边界相切。 设该粒子在磁场 中的运动时间为 t ，依题意，所以 OCA 。设最后离开磁场的粒子的发射方向与 y 轴正方向的夹角为 ，由几何关系得：， ，再加上 ，三、缩放圆法带电粒子以大小不同， 方向相同的速度垂直射入匀强磁场中， 作圆周运动的半径随着速 度的变化而变化，因此其轨迹为半径缩放的动态圆（如图12），利用缩放的动态圆，可以探索出临界点的轨迹，使问题得到解决。例 5如图 13 所示，匀强磁场中磁感应强度为 B，宽度为 d，一电子从左边界垂直匀强 磁场射入，入射方向与边界的夹角为 ，已知电子的质量为 m，电量为 e，要使电子能从轨 道的另一侧射出，求电子速度大小的范

8、围。解析： 如图 14 所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射 出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从右边界射出， 几何关系得： r+r cos =d设此时的速率为 v0，带电粒子在磁场中作圆周运动， 由电 子 在 磁 场 中 运 动 时 洛 伦 兹 力 提 供 向 心 力 ： ， 所 以 ：联立 解 得： ，所以电子 从另一 侧射 出的 条件是 速度大 于。例 6（ 2010 全国 II 卷）如图 15 所示，左边有一对平行金属板，两板的距离为d，电压为 U，两板间有匀强磁场，磁感应强度为B0，方面平行于板

9、面并垂直纸面朝里。图中右边有一边长为 a 的正三角形区域 EFG（EF边与金属板垂直） ，在此区域内及其边界上也有匀强 磁场，磁感应强度大小为 B，方向垂直纸面向里。假设一系列电荷量为q 的正离子沿平行于金属板面、垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板间的区域，并经 EF 边中点 H 射入磁场区域。不计重力。（ 1）已知这些离子中的离子甲到达边界EG后， 从边界 EF穿出磁场， 求离子甲的质量；2）已知这些离子中的离子乙从 EG边上的 I 点（图中未画出）穿出磁场，且 GI 长为3a/4 ，求离子乙的质量；3）若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大

10、的，问磁场边界上什么区域内可能有离子到达？解析： 由题意知，所有离子在平行金属板之间做匀速直线运动，则有：qvB0 =qU/ d，解得离子的速度为： v=U/B0d（为一定数值）。虽然离子速度大小不变， 但质量 m改变， 结合带电离子在磁场中做匀速圆周运动的半径公式 R=mv/qB分析，可画出不同质量的带电离子在磁场中的运动轨迹，如图 16 中的动态圆。（1）由题意知，离子甲的运动轨迹是图17 中的半圆，半圆与 EG边相切于 A点，与 EF边垂直相交于 B点，由几何关系可得半径： R甲=acos30 ° tan15 °=（） a，从而求得离子甲的质量m甲=2）离子乙的运动轨

11、迹如图 18 所示，在 EIO2 中，由余弦定理得：，解得 R乙 =a/4 ，从而求得乙离子的质量 m乙 =3）由半径公式R=mv/qB可知 R m，结合（ 1）2）问分析可得：若离子的质量满足 m甲/2 m m甲，则所有离子都垂直 EH边离开磁场， 离开磁场的位置到 H 的距离介于 R甲到 2R甲之间，即；若离子的质量满足 m甲m m乙，则所有离子都从 EG边离开磁场，离开磁场的位置介 于 A到 I 之间，其中 AE的距离 AE=，IE 距离 IE= 。四、临界法以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径 r 和速度 v 以及磁场 B 之间的约束关系进行动态轨迹分析，

12、 确定轨迹圆和边界的关系， 找出临界点， 然 后利用数学方法求解极值，画出临界点的轨迹是解题的关键。例 7长为 L 的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图19 所示，磁感应强度为 B，板间距离也为 L，两极板不带电，现有质量为 m电量为 q 的带负电粒子（不计重力） 从左边极板间中点处垂直磁感线以水平速度 v 射入磁场， 欲使粒子打到极板上， 求初速度的 范围。解析： 由左手定则判定受力向下，所以向下偏转， 恰好打到下板右边界和左边界为两个临界状态， 分别作出两个状态的轨迹图，如图 20、图 21 所示， 打到右边界时， 在直角三角形 OAB中，由几何关系得：解得轨道半径电子在磁场中运动

13、时洛伦兹力提供向心力 因此打在左侧边界时，如图 21 所示，由几何关系得轨迹半径电 子在磁场中运动时 洛伦兹力提供 向心力 ， 所以所以打在板上时速度的范围为 v例 8如图 22 ，一足够长的矩形区域 abcd 内充满磁感应强度为 B，方向垂直纸面向里 的匀强磁场，现从矩形区域 ad 边中点 O射出与 Od边夹角为 30°，大小为 v0 的带电粒子， 已知粒子质量为 m, 电量为 q，ad 边长为 L， ab 边足够长，粒子重力忽略不计。求：（1）试求粒子能从 ab 边上射出磁场的 v0的大小范围；2）粒子在磁场中运动的最长时间和在这种情况下粒子从磁场中射出所在边上位置的范围。解析：（1）画出从 O点射入磁场的粒子运动轨迹的动态圆，能够从ab 边射出的粒子的临界轨迹如图 23 所示，轨迹与 dc 边相切时，射到 ab 边上的 A点，此时轨迹圆心为 O1，则轨道半径 r 1=L，由得最大速度轨迹与 ab 边相切时，射到 ab 边上的 B 点，此时轨迹圆心为O2，则轨