三角形五心的经典考题

1、学习必备欢迎下载P，Q，S. 证明以 APS， BQP，CSQ的外心为有关三角形五心的经典试题三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心 、外心 .三角形外接圆的圆心，简称外心 . 与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例 1过等腰 ABC底边 BC上一点 P引 PMCA交 AB于 M；引 PNBA交 AC于 N. 作点 P关于MN的对称点 P. 试证： P点在 ABC外接圆上( 杭州大学中学数学竞赛习题 ) 分析：由已知可得 MP=MP=MB， NP=NP=NC，故点 M是 PBP的外心，点N是 PPC的外心 .有11BPP= BM=P BAC，2211PPC= PNC=

2、BAC.22BPC=BPP+PPC=BAC.P点与 A， B，C共圆、即 P在 ABC外接圆上 .从而，由于 P P平分 BPC，显然还有 PB: P C=BP: PC.例 2在 ABC的边 AB， BC，CA上分别取点 顶点的三角形与 ABC相似 .( B·波拉索洛夫中学数学奥林匹克 分析：设 O1，O2， O3是 APS， BQP， CSQ的外心，作出六边形 O1PO2QO3S后再由外 心性质可知PO1S=2A，QO2P=2B， SO3Q=2C.PO1S+QO2P+SO3Q=360°. 从而又知 O1PO2+O2QO3+O3SO1=360°将 O2QO3绕着

3、O3点旋转到 KSO3，易判断 KSO1 O2PO1，同时可得 O1O2O3 O1KO3.1 O2O1O3=KO1O3= O2O1K21=( O2O1S+ SO1K)21=( O2O1S+ PO1O2)21=PO1S= A；2同理有 O1O2O3=B. 故 O1O2O3 ABC.、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心 . 掌握重心将每条中线都分成定比 2:1 及中线长度公式，便于解题P 是任意一点 . 证明：在 PAD， PBE， PCF中，例 3 AD，BE， CF是 ABC的三条中线， 其中一个面积等于另外两个面积的和( 第 26 届莫斯科数学奥林匹克 ) 分析：设 G为 ABC重心

4、，直线 PG与 AB ，BC相交.从 A，C，D，E，F分别 作该直线的垂线，垂足为 A， C， D， E， F .易证 AA =2DD， CC=2FF，2EE=AA EE=DD+FF.有 SPGE=SPGD+S PGF. 两边各扩大 3 倍，有 SPBE=SPAD+S PCF.例 4如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似 . 其逆亦真 .分析：将 ABC简记为，由三中线 AD，BE，CF围成的三角形简记为 . G为重心，连 DE 到 H，使 EH=DE，连 HC， HF，则就是 HCF.(1)a2，b2， c2成等差数列 .若 ABC为正三角形，易证

5、. 不妨设 a b c，有 CF=1 2a2 2b2 c2 ，2 BE=1 2c2 2a2 b2 ，2 AD=1 2b2 2c2 a2 .2将 a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得CF= 3 a ，BE= 3b，AD= 3c.222CF: BE: AD = 3 a: 3b:22=a:b: c.故有 .(2) a2，b2，c2 成等差数列 .当中 a b c 时，中 CF BE AD.，S ' ( CF ) 2 Sa据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的3”4，有 S ' = 3S4CF 22a3a2=4CF2=2a2+b2-c22 2 2a2+c2=2b2

6、.三、垂心 三角形三条高的交战，称为三角形的垂心 .由三角形的垂心造成的四个等 （外接 ）圆三角 形，给我们解题提供了极大的便利 .例 5设 A1A2A3A4为 O内接四边形， H1，H2， H3， H4依次为 A2A3A4， A3A4A1， A4A1A2， A1A2A3的垂心 .求证： 定出该圆的圆心位置 .（1992 ，全国高中联赛 ） 分析：连接 A2H1， A1H2， H1H2，记圆半径为 R. 由 A2A3A4 知H1， H2， H3， H4 四点共圆，并确A2H1=2R A2H1=2Rcos A3A2A4；sin A2A3H 1由 A1A3A4得 A1H2=2 Rcos A3A1A

7、4.但 A3A2A4=A3A1A4，故 A2H1=A1H2. 易证 A2H1 A1A2，于是， A2H1 A1H2， =故得H1H2 A2A=1.设H1A1与H2A2的交点为= M，故 H1H2与A1A2关于 M点成中心对称 . 同理， H2H3与 A2A3， H3H4与 A3A4，H4H1与 A4A1都关于 M点成中心对称 . 故四边形 H1H2H3H4 与四边形 A1A2A3A4 关于 圆上 . 后者的圆心设为 了.例 6H 为 ABC的垂心， D， EF，FD， DE于 A1， A2， 求证： AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.（1989 ，加拿大数学奥林匹克训练题 分析：

8、只须证明 AA1=BB1=CC1即可 . 设BC=a， CA=b， AB=c， ABC外 接圆半径为 R， H的半径为 r. 连 HA1， AH交 EF于 M.是，M点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3， H4在同一个M成中心对称 . 由 O，M两点， Q点就不难确定Q，Q与 O也关于E，F 分别是B1， B2， C1，BC， C2.CA， AB的中心 . 一个以H 为圆心的 H交直线A A12 =AM2+A1M2=AM2+r 2-MH2=r2+( AM2- MH2) ，又 AM2-HM2=( 1 AH1) 2-( AH- 1 AH1)2 22=AH·AH1- AH2=A

9、H2· AB- AH2=cosA· bc- AH2 ， 而 AH=2R AH2=4R2cos2A,sin ABHa =2R a2=4R2sin 2A.sin AAH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2.由、有2 2 22bcAA12=r2+bc a ·bc-(4 R2- a2)=1 ( a2+b2+c2)-4 R2+r2.2同理， BB12 = 1 ( a2+b2+c2)-4 R2+r2，12CC12 = 1 (a2+b2+c2)-4 R2+r 2.2故有 AA1=BB1=CC1.四、内心 三角形内切圆的圆心，简称为内心 . 对于内心，要掌握张角公式，还要记住下

10、面一个极 为有用的等量关系：设I 为 ABC的内心，射线 AI 交 ABC外接圆于 A，则有 A I=AB=AC.换言之， 点 A必是 IBC 之外心 ( 内心的等量关系之逆同样有用 ).EF中点 P 是ABC例 7 ABCD为圆内接凸四边形，取 DAB， ABC， BCD， CDA的内心 O1， O2，O3， O4.求证： O1O2O3O4为矩形 .(1986 ，中国数学奥林匹克集训题 证明见中等数学 1992； 4 例 8已知 O内接 ABC， Q 切 AB， 之内心 .( B·波拉索洛夫中学数学奥林匹克 )分析：在第 20届 IMO中，美国提供的一道题实际上是例 8的一种特例，

11、但它增加了条件 AB=AC. 当 AB AC，怎样证明呢？r 如图，显然 EF中点 P、圆心 Q，BC中点 K都在 BAC平分线上 . 易知 AQ= sinMECKQK·AQ=MQ·QN， QK= MQ QNAQ(2R r) r=sin (2R r). r/sin由 RtEPQ知 PQ= sin r . PK=PQ+QK= sinr +sin (2R r) =sin 2R.PK=BK.利用内心等量关系之逆定理，即知P是 ABC这内心 .五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心 旁心还与三角形的半周长关系密切 例 9. 旁心常

12、常与内心联系在一起，在直角三角形中，求证：式中 r ，r a，r b，r c分别表示内切圆半径及与 a，b，c相切的旁切圆半径， p 表示半周 . 杭州大学中学数学竞赛习题 )设 Rt ABC中， c 为斜边，先来证明一个特性： p( p- c)=( p- a)( p- b).1 p(p- c)= ( a+b+c)2 12= ( a+b) 24 =1ab；21(p- a)( p- b)= (- a+b+c) ·21 2 2 =c2-( a- b) 2= ab.42 p( p- c)=( p-a)( p-b). 观察图形，可得 r a=AF-AC=p-b， r b=BG- BC=p-

13、a， r c=CK=p.1而 r= ( a+b-c)2= p-c.r+ra+r b+r c=( p- c)+( p- b)+( p- a)+p =4p-( a+b+c)=2 p. 由及图形易证 .例 10M是 ABC边 AB上的任意一点 .r1，r2，rr+r a+r b+r c=2p.(分析：1 ( a+b- c)2c21(a- b+c)21分别是 AMC，BMC， ABC内切圆的半径，q1，q2，q分别是上述三角形在 ACB内部的旁切圆半径 .证明： r1 · r2 =r . q1q2 q( IMO-12)分析：对任意 A B C，由正弦定理可知A'OD=OA·

14、 sin2= A BB' sin2sin A'O'B'A' sin2= A BA' B' sin sin22 A' B' sinOAOB'C'A' B' cos cosO E= A B22A' B' sin2OD tg A'tg B'.O'E 2 2亦即有r1 · qr2 =tg Atg q22q1CMAtg CNBtg B2 2 2BrA tg tg =2 2 q六、众心共圆这有两种情况： (1) 同一点却是不同三角形的不同的心； (2)

15、同一图形出现了同一三角 形的几个心 .例 11设在圆内接凸六边形 ABCDFE中， AB=BC，CD=DE，EF=FA.试证： (1) AD， BE， CF三条 对角线交于一点；(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA AK+BE+CF.(1991 ，国家教委数学试验班招生试题 )分析：连接 AC，CE，EA，由已知可证 AD， CF， EB是 ACE的三条内角平分线， I 为 ACE 的内心 . 从而有 ID=CD=DE，IF =EF=FA，IB=AB=BC.再由 BDF，易证 BP，DQ， FS是它的三条高， BI +DI+FI 2·E(rIdPo.+.sIQ+IS).不难证明

16、IE=2IP， IA=2IQ，IC=2IS. BI+DI+FI IA +IE +IC.AB+BC+CD+DE+EF+FA=2(BI+DI+FI)(IA+IE+IC)+( BI +DI+FI )= AD+BE+CF.I 就是一点两心 .例 12 ABC的外心为 O， AB=AC， D是 AB中点，( 加拿大数学奥林匹克训练题 ) 分析：设 AM为高亦为中线，取 AC中点F，E必在 DF上且 DE: EF=2:1. 设 CD交 AM于 G，G必为 ABC重心 . 连 GE，MF，MF交 DC于 K. 易证：11 1DG: GK= DC:() DC=2:1.32 3I 是它的垂心，利用 不等式有：E

17、是 ACD的重心 .证明 OE丄 CD.DG: GK=DE: EF GEMF.OD丄 AB，MF AB，OD丄 MF OD丄 GE.但 OG丄 DE G又是 ODE之垂心 . 易证 OE丄 CD.例 13 ABC中 C=30°，O是外心，I 是内心，边 AC上的 D点与边 BC上的 E 点使得 AD=BE=AB. 求证： OI 丄 DE， OI=DE.(1988 ，中国数学奥林匹克集训题 ) 分析：辅助线如图所示，作 DAO平分线交 易证 AID AIB EIB， AID=AIB=EIB.利用内心张角公式，有1AIB=90° + C=105°，2 DIE=360&

18、#176; -105 °× 3=45°.1+ DAO21+ ( BAC- BAO)21+ ( BAC-60 ° )2 AKB=30=30=301 BAC=BAI= BEI.2IE.垂心2CAK由等腰 AOD可知 DO丄 AK， DO丄 IE，即 DF是 DIE的一条高 . 同理 EO是 DIE之垂心， OI丄 DE. 由 DIE= IDO，易知 OI=DE. 设外心到三边距离和为 d 外，重心例 14锐角 ABC中， O，G，H 分别是外心、重心、 到三边距离和为 d 重，垂心到三边距离和为 d 垂 .求证： 1·d 垂+2· d 外

19、=3·d 重. 分析：这里用三角法 .设 ABC外接圆半径为 1，三个内角记为 A， B，C. 易知 d 外=OO1+OO2+OO3=cos A+cosB+cos C， 2d 外 =2(cos A+cosB+cos C). AH1=sin B· AB=sin B· (2sin C)=2sin B·sin C， 同样可得 BH2· CH3.3d 重=ABC三条高的和=2 · (sin B· sin C+sin C·sin A+sin A· sin B)BH=2 ，sin BCH HH1=cos C· BH=2· cos B· cos C.同样可得 HH2， HH3.d 垂=HH1+HH2+HH3=2(cos B·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)欲证结论，观察、，cos B)+(cosA+ cosB+须 证 (cos B · cos C+cos C · cos A+cos A cos C)=sin B·sin C+sin C·sin A+sin A·sin B. 即可 .练习题1.I 为