二面角及其度量

1、整理ppt13.2.43.2.4二面角及其度量二面角及其度量整理ppt2直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线射线. . 射线射线射线射线平面内的一条直线，把这个平面分成平面内的一条直线，把这个平面分成两两部分，部分，每一部分都叫做每一部分都叫做半平面半平面。思考：思考：平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫什么名称？分叫什么名称？l整理ppt3从一条直线出发的两个半平面所组成的空间图形称为什么？从一条直线出发的两个半平面所组成的空间图形称为什么？在平面几何中在平面几何中“角角”是怎样定

2、义的是怎样定义的？答：从平面内答：从平面内一点一点出发的两条出发的两条射射线线所组成的图形叫做角。所组成的图形叫做角。将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图形是一个角将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图形是一个角整理ppt4从一条直线出发的两个从一条直线出发的两个半平面半平面所组成的图所组成的图形叫做形叫做二面角二面角。这条直线叫做二面角的。这条直线叫做二面角的棱棱，每，每个半平面叫做二面角的个半平面叫做二面角的面面。l半平面半平面半平面半平面一一、二面角定义二面角定义l整理ppt5AB 二面角二面角 AB l二面角二面角 l 二面角二面角CAB DABCD5OBAAOB二、二面角的表示

3、方法：整理ppt6三三、二面角的画法、二面角的画法归纳出两种画法：归纳出两种画法：整理ppt7四、二面角的度量四、二面角的度量 发现：发现：想一想：想一想：该该整理ppt8从二面角的棱上从二面角的棱上任任一点在两个半平面内一点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线分别作垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角叫做所成的角叫做二面角的平面角二面角的平面角。B。OAB1。O1A1等角定理等角定理 若一个角的两边与若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方另一个角的两边分别平行且方向相同，则这两个角相等。向相同，则这两个角相等。小结：小结： 1.1.二面角就是用它的二面角就是用它的平面角平面角

4、来来度量的。一个二面角的平面角多大，我度量的。一个二面角的平面角多大，我们就说这个二面角是多少度的二面角们就说这个二面角是多少度的二面角。 2.2.二面角的平面角与二面角的平面角与点点（或（或垂直平面垂直平面）的位置无任何关系，只与二面角的张的位置无任何关系，只与二面角的张角大小有关。角大小有关。A O B？A1O1B1整理ppt9二面角的平面角必须满足：二面角的平面角必须满足：3）与棱垂直）与棱垂直1）点在棱上）点在棱上2）线在面内）线在面内 以二面角的以二面角的棱上任意一点棱上任意一点为端点，为端点，在在两个面内两个面内分别作分别作垂直于棱垂直于棱的两条射线，这的两条射线，这两条射线所成的

5、两条射线所成的角角叫做叫做二面角的平面角。二面角的平面角。10 lOAB规定：规定：二面角的范围是二面角的范围是180,0平面角是直角的二面角叫做平面角是直角的二面角叫做直二面角直二面角互相垂直的平面就是互相垂直的平面就是相交成直二面角的两个平面相交成直二面角的两个平面五五、二面角的范围：二面角的范围：整理ppt10作二面角的平面角的常用方法作二面角的平面角的常用方法、点、点P在棱上在棱上、点、点P在一个半平面上在一个半平面上、点、点P在二面角内在二面角内pABABpABOp定义法定义法三垂线定理法三垂线定理法垂面法垂面法几何几何法法整理ppt111、如图，、如图，AB是圆的直径，是圆的直径，

6、PA垂垂直圆所在的平面，直圆所在的平面，C是圆上任一点，是圆上任一点，则二面角则二面角P-BC-A的平面角为的平面角为: 练练 习习2、已知、已知P为二面角为二面角 内一内一点，且点，且P到两个半平面的距离都等到两个半平面的距离都等于于P到棱的距离的一半，则这个二到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？面角的度数是多少？pABOABCP60二面角ACP 整理ppt12ABCA/M例例1、已知：如图已知：如图ABC的顶点的顶点A在平面在平面M上上的射影为点的射影为点A/， ABC的面积是的面积是S， A/BC的面积是的面积是S/，设二面角设二面角A-BC-A/为为 求证：求证： S / =

7、S COS D射影面积法射影面积法是不找平面角求二面角的一种方法!整理ppt13回忆：回忆：1.异面直线所成角： cos|cos,| a b2.直线与平面所成角： sincos, n AB|ABCD1DABOnaban整理ppt14lcoscos,AB CDAB CDAB CD DCBA六、向量法求二面角：六、向量法求二面角：1.方向向量法（依据定义）注意：向量注意：向量AB,CD的方向：的方向：起点都在棱上，也可共起点起点都在棱上，也可共起点整理ppt15ll二面角的范围：0, 2.2.法向量法法向量法 1n 1n 2n 2n 12n n ，12n n ，12n n ，12n n ，cos1

8、2cos, n ncos12cos, n n注意注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角同进同出，二面角等于法向量夹角的补角整理ppt16) 1, 1 , 1() 1, 1, 1 (2111nBDCnBDA的法向量平面的法向量平面31,cos21nn31cos31arccos整理ppt17整理ppt18例例3 3：已知在一个二面角的棱上有两个点：已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱都垂直于棱AB，AB=4=4cm，AC=6=6cm，BD=8=8cm，CD= =2 17cm，求二面角的度数，求二面角的度数CDAB E几何法整理ppt19的夹角的正切。与求：平面，垂直于平面为直角梯形，已知例SCDSABADBCABSAABCDSAABCDABABCD.21, 1,904zCSABDxyn一题多解：一题多解：1）公式法；）公式法；2）几何法；）几何法；3）向量法；）向量法；22整理ppt20例例5已知已知E, F分别是正方体