2024年北京市中考数学试卷(含答案解析)

年北京市中考数学试卷一、选择题〔此题共16分，每题2分〕第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．以下几何体中，是圆柱的为A． B． C． D．2．实数，，在数轴上的对应点的位置如以以下列图，那么正确的结论是A． B． C． D．3．方程组的解为A． B． C． D．4．被誉为“中国天眼〞的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．每个标准足球场的面积为，那么FAST的反射面积总面积约为A． B． C． D．5．假设正多边形的一个外角是，那么该正多边形的内角和为A． B． C． D．6．如果，那么代数式的值为A． B． C． D．7．跳台滑雪是冬季奥运会比赛工程之一．运发动起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一局部，运发动起跳后的竖直高度〔单位：〕与水平距离〔单位：〕近似满足函数关系〔〕．以以以下列图记录了某运发动起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运发动起跳后飞行到最高点时，水平距离为A． B． C． D．8．以以以下列图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为〔0，0〕，表示广安门的点的坐标为〔，〕时，表示左安门的点的坐标为〔5，〕；②当表示天安门的点的坐标为〔0，0〕，表示广安门的点的坐标为〔，〕时，表示左安门的点的坐标为〔10，〕；③当表示天安门的点的坐标为〔1，1〕，表示广安门的点的坐标为〔，〕时，表示左安门的点的坐标为〔，〕；④当表示天安门的点的坐标为〔，〕，表示广安门的点的坐标为〔，〕时，表示左安门的点的坐标为〔，〕．上述结论中，所有正确结论的序号是A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④二、填空题〔此题共16分，每题2分〕9．以以以下列图所示的网格是正方形网格，________．〔填“〞，“〞或“〞〕10．假设在实数范围内有意义，那么实数的取值范围是_______．11．用一组，，的值说明命题“假设，那么〞是错误的，这组值可以是_____，______，_______．12．如图，点，，，在上，，，，那么________．13．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，假设，，那么的长为________．14．从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早顶峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时〔单位：分钟〕的数据，统计如下：公交车用时公交车用时的频数线路合计A59151166124500B5050122278500C4526516723500早顶峰期间，乘坐_________〔填“A〞，“B〞或“C〞〕线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟〞的可能性最大．15．某公园划船工程收费标准如下：船型两人船〔限乘两人〕四人船〔限乘四人〕六人船〔限乘六人〕八人船〔限乘八人〕每船租金〔元/小时〕90100130150某班18名同学一起去该公园划船，假设每人划船的时间均为1小时，那么租船的总费用最低为________元．16．2024年，局部国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如以以下列图，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第________．三、解答题〔此题共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27，28题，每题7分〕解容许写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线〞的尺规作图过程．：直线及直线外一点．求作：，使得．作法：如图，①在直线上取一点，作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；②在直线上取一点〔不与点重合〕，作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；③作直线．所以直线就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，〔1〕使用直尺和圆规，补全图形；〔保存作图痕迹〕〔2〕完成下面的证明．证明：∵_______，_______，∴〔____________〕〔填推理的依据〕．18．计算：．19．解不等式组：．20．关于的一元二次方程．〔1〕当时，利用根的判别式判断方程根的情况；〔2〕假设方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的，的值，并求此时方程的根．21．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．〔1〕求证：四边形是菱形；〔2〕假设，，求的长．22．如图，是的直径，过外一点作的两条切线，，切点分别为，，连接，．〔1〕求证：；〔2〕连接，，假设，，，求的长．23．在平面直角坐标系中，函数〔〕的图象经过点〔4，1〕，直线与图象交于点，与轴交于点．〔1〕求的值；〔2〕横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象在点，之间的局部与线段，，围成的区域〔不含边界〕为．①当时，直接写出区域内的整点个数；②假设区域内恰有4个整点，结合函数图象，求的取值范围．24．如图，是与弦所围成的图形的内部的一定点，是弦上一动点，连接并延长交于点，连接．，设，两点间的距离为，，两点间的距离为，，两点间的距离为．小腾根据学习函数的经验，分别对函数，随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：〔1〕按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了，与的几组对应值；0123456〔2〕在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点〔，〕，〔，〕，并画出函数，的图象；〔3〕结合函数图象，解决问题：当为等腰三角形时，的长度约为____．25．某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩〔百分制〕，并对数据〔成绩〕进行整理、描述和分析．下面给出了局部信息．．A课程成绩的频数分布直方图如下〔数据分成6组：，，，，，〕；．A课程成绩在这一组是：7071717176767778797979．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：课程平均数中位数众数AB7083根据以上信息，答复以下问题：〔1〕写出表中的值；〔2〕在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是________〔填“A〞或“B〞〕，理由是_______；〔3〕假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过分的人数．26．在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，抛物线经过点，将点向右平移5个单位长度，得到点．〔1〕求点的坐标；〔2〕求抛物线的对称轴；〔3〕假设抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．27．如图，在正方形中，是边上的一动点〔不与点，重合〕，连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接，过点作交的延长线于点，连接．〔1〕求证：；〔2〕用等式表示线段与的数量关系，并证明．28．对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“闭距离〞，记作〔，〕．点〔，6〕，〔，〕，〔6，〕．〔1〕求〔点，〕；〔2〕记函数〔，〕的图象为图形，假设〔，〕，直接写出的取值范围；〔3〕的圆心为〔，0〕，半径为1．假设〔，〕，直接写出的取值范围．2024年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题〔此题共16分，每题2分〕第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．以下几何体中，是圆柱的为A． B． C． D．【答案】A【解析】A选项为圆柱，B选项为圆锥，C选项为四棱柱，D选项为四棱锥．【考点】立体图形的认识2．实数，，在数轴上的对应点的位置如以以下列图，那么正确的结论是A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴，故A选项错误；数轴上表示的点在表示的点的左侧，故B选项正确；∵，，∴，故Ｃ选项错误；∵，，，∴，故D选项错误．【考点】实数与数轴3．方程组的解为A． B． C． D．【答案】D【解析】将4组解分别代入原方程组，只有D选项同时满足两个方程，应选D．【考点】二元一次方程组的解4．被誉为“中国天眼〞的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．每个标准足球场的面积为，那么FAST的反射面积总面积约为A． B． C． D．【答案】C【解析】〔〕，应选C．【考点】科学记数法5．假设正多边形的一个外角是，那么该正多边形的内角和为A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，正多边形的边数为，其内角和为．【考点】正多边形，多边形的内外角和．6．如果，那么代数式的值为A． B． C． D．【答案】A【解析】原式，∵，∴原式．【考点】分式化简求值，整体代入．7．跳台滑雪是冬季奥运会比赛工程之一．运发动起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一局部，运发动起跳后的竖直高度〔单位：〕与水平距离〔单位：〕近似满足函数关系〔〕．以以以下列图记录了某运发动起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运发动起跳后飞行到最高点时，水平距离为A． B． C． D．【答案】B【解析】设对称轴为，由〔，〕和〔，〕可知，，由〔，〕和〔，〕可知，，∴，应选B．【考点】抛物线的对称轴．8．以以以下列图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为〔0，0〕，表示广安门的点的坐标为〔，〕时，表示左安门的点的坐标为〔5，〕；②当表示天安门的点的坐标为〔0，0〕，表示广安门的点的坐标为〔，〕时，表示左安门的点的坐标为〔10，〕；③当表示天安门的点的坐标为〔1，1〕，表示广安门的点的坐标为〔，〕时，表示左安门的点的坐标为〔，〕；④当表示天安门的点的坐标为〔，〕，表示广安门的点的坐标为〔，〕时，表示左安门的点的坐标为〔，〕．上述结论中，所有正确结论的序号是A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④【答案】D【解析】显然①②正确；③是在②的根底上，将所有点向右平移个单位，再向上平移个单位得到，故③正确；④是在“当表示天安门的点的坐标为〔0，0〕，表示广安门的点的坐标为〔，〕时，表示左安门的点的坐标为〔，〕〞的根底上，将所有点向右平移个单位，再向上平移个单位得到，故④正确．【考点】平面直角坐标系，点坐标确实定，点的平移

二、填空题〔此题共16分，每题2分〕9．以以以下列图所示的网格是正方形网格，________．〔填“〞，“〞或“〞〕【答案】【解析】如以以以下列图所示，是等腰直角三角形，∴，∴．另：此题也可直接测量得到结果．【考点】等腰直角三角形10．假设在实数范围内有意义，那么实数的取值范围是_______．【答案】【解析】被开方数为非负数，故．【考点】二次根式有意义的条件．11．用一组，，的值说明命题“假设，那么〞是错误的，这组值可以是_____，______，_______．【答案】答案不唯一，满足，即可，例如：，，【解析】不等式两边乘〔或除以〕同一个负数，不等号的方向改变．【考点】不等式的根本性质12．如图，点，，，在上，，，，那么________．【答案】【解析】∵，∴，∴，∵，∴．【考点】圆周角定理，三角形内角和定理13．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，假设，，那么的长为________．【答案】【解析】∵四边形是矩形，∴，，，在中，，∴，∵是中点，∴，∵，∴，∴．【考点】矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定14．从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早顶峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时〔单位：分钟〕的数据，统计如下：公交车用时公交车用时的频数线路合计A59151166124500B5050122278500C4526516723500早顶峰期间，乘坐_________〔填“A〞，“B〞或“C〞〕线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟〞的可能性最大．【答案】C【解析】样本容量相同，C线路上的公交车用时超过分钟的频数最小，所以其频率也最小，应选C．【考点】用频率估计概率15．某公园划船工程收费标准如下：船型两人船〔限乘两人〕四人船〔限乘四人〕六人船〔限乘六人〕八人船〔限乘八人〕每船租金〔元/小时〕90100130150某班18名同学一起去该公园划船，假设每人划船的时间均为1小时，那么租船的总费用最低为________元．【答案】【解析】租用四人船、六人船、八人船各1艘，租船的总费用为〔元〕【考点】统筹规划16．2024年，局部国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如以以下列图，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第________．【答案】【解析】从左图可知，创新综合排名全球第22，对应创新产出排名全球第11；从以以以下列图可知，创新产出排名全球第11，对应创新效率排名全球第3．【考点】函数图象获取信息三、解答题〔此题共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27，28题，每题7分〕解容许写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线〞的尺规作图过程．：直线及直线外一点．求作：，使得．作法：如图，①在直线上取一点，作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；②在直线上取一点〔不与点重合〕，作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；③作直线．所以直线就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，〔1〕使用直尺和圆规，补全图形；〔保存作图痕迹〕〔2〕完成下面的证明．证明：∵_______，_______，∴〔____________〕〔填推理的依据〕．【解析】〔1〕尺规作图如以以以下列图所示：〔2〕，，三角形中位线平行于三角形的第三边．【考点】尺规作图，三角形中位线定理18．计算：．【解析】解：原式．【考点】实数的运算19．解不等式组：．【解析】解：由①得，，由②得，，∴不等式的解集为．【考点】一元一次不等式组的解法20．关于的一元二次方程．〔1〕当时，利用根的判别式判断方程根的情况；〔2〕假设方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的，的值，并求此时方程的根．【解析】〔1〕解：由题意：．∵，∴原方程有两个不相等的实数根．〔2〕答案不唯一，满足〔〕即可，例如：解：令，，那么原方程为，解得：．【考点】一元二次方程21．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．〔1〕求证：四边形是菱形；〔2〕假设，，求的长．【解析】〔1〕证明：∵∴∵平分∴∴∴又∵∴又∵∴四边形是平行四边形又∵∴是菱形〔2〕解：∵四边形是菱形，对角线、交于点．∴．，，∴．在中，．∴．∵，∴．在中，．为中点．∴．【考点】菱形的性质和判定，勾股定理，直角三角形斜边中线22．如图，是的直径，过外一点作的两条切线，，切点分别为，，连接，．〔1〕求证：；〔2〕连接，，假设，，，求的长．【解析】〔1〕证明：∵、与相切于、．∴，平分．在等腰中，，平分．∴于，即．〔2〕解：连接、．∵∴∴同理：∴．在等腰中，．∴．∵与相切于．∴．∴．在中，，∴．【考点】切线的性质，切线长定理，锐角三角函数23．在平面直角坐标系中，函数〔〕的图象经过点〔4，1〕，直线与图象交于点，与轴交于点．〔1〕求的值；〔2〕横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象在点，之间的局部与线段，，围成的区域〔不含边界〕为．①当时，直接写出区域内的整点个数；②假设区域内恰有4个整点，结合函数图象，求的取值范围．【解析】〔1〕解：∵点〔4，1〕在〔〕的图象上．∴，∴．〔2〕①3个．〔1，0〕，〔2，0〕，〔3，0〕．②．当直线过〔4，0〕时：，解得．当直线过〔5，0〕时：，解得．当直线过〔1，2〕时：，解得．当直线过〔1，3〕时：，解得∴综上所述：或．【考点】一次函数与反比例函数综合，区域内整点个数问题24．如图，是与弦所围成的图形的内部的一定点，是弦上一动点，连接并延长交于点，连接．，设，两点间的距离为，，两点间的距离为，，两点间的距离为．小腾根据学习函数的经验，分别对函数，随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：〔1〕按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了，与的几组对应值；0123456〔2〕在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点〔，〕，〔，〕，并画出函数，的图象；〔3〕结合函数图象，解决问题：当为等腰三角形时，的长度约为____．【解析】〔1〕〔2〕如以以以下列图所示：〔3〕或或．如以以以下列图所示，个函数图象的交点的横坐标即为所求．【考点】动点产生的函数图象问题，函数探究25．某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩〔百分制〕，并对数据〔成绩〕进行整理、描述和分析．下面给出了局部信息．．A课程成绩的频数分布直方图如下〔数据分成6组：，，，，，〕；．A课程成绩在这一组是：7071717176767778797979．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：课程平均数中位数众数AB7083根据以上信息，答复以下问题：〔1〕写出表中的值；〔2〕在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是________〔填“A〞或“B〞〕，理由是_______；〔3〕假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过分的人数．【解析】〔1〕〔2〕B．该学生A课程分数低于中位数，排名在中间位置之后，而B课程分数高于中位数，排名在中间位置之前．〔3〕解：抽取