二次函数-因动点产生的等腰三角形问题典型例题

1、二次函数-因动点产生的等腰三角形问题例1、如图1,在RtABO,/A=90°,AB=6,AC=8,点D为边BC的中点,DEELBC交边AC于点E,点P为射线AB上的一动点,点Q为边AC上的一动点,且/PDQ=90.(1)求EDEC的长;(2)假设BP=2,求CQ的长;记线段PQ与线段DE的交点为F,假设PDF为等腰三角形,求BP的长.(3)思路点拨1 .第2题BP=2分两种情况.2 .解第2题时,画准确的示意图有利于理解题意,观察线段之间的和差关系.3 .第3题探求等腰三角形PDFF寸,根据相似三角形的传递性,转化为探求等腰三角形CDQ总分值解答(1)在RtABO43,AB=6,AC

2、=8,所以BC=10.在RtACDE,CD=5,所以EDCDtanC5且15,EC卷.444(2)如图2,过点D作DMLAB,DNLAC垂足分别为MN,那么DMDN>ABC勺两条中位线,DM=4,DN=3.由/PDQ=90,/MDN=90,可得/PDIM=/QDN因此PDMhQDN所以型QNDM4.所以QN3PM,PM4QN.DN343如图3,当B鼻2,P在BMLlH,PM=1.33319此时QN-PMa.所以CQCNQN4-.4444如图4,当BP=2,P在MB勺延长线上时,P阵5.315153144QDDN3此时QN3PM15.所以CQCNQN43-1.3如图5,如图2,在RSPDQ

3、htanQPD-PDDM4BA3在RtAABC,tanCBA±所以/QPD=/C.CA4由/PDQ=90,/CDE=90,可得/PDM/CDQ因此PDWCDQ当APD比等腰三角形时,CDQ1是等腰三角形.如图5,当CQ=CD=5时,QN=CQ-CN=54=1如图3所示.44一45此时PM-QN.所以BPBMPM3-CQ如图6,当QC=QD寸,由cosCCH,可得CQ54卷.257所以QN=C*CQ=4y；如图2所示.47725此时PM-QN.所以BPBMPM3-.3666不存在DP=DF的情况.这是由于/DF田/DQP>/DPQ如图5,图6所示.考点伸展如图6,当CDQ等腰三角

4、形时,根据等角的余角相等,可以得到BDP&是等腰三25角形,PB=PD在BD即可以直接求解BP25.例2、如图1,抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0)、R3,0)、Q0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点,当PACW周长最小时,求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M使MAC;等腰三角形,假设存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标；假设不存在,请说明理由.图1思路点拨1 .第(2)题是典型的“牛喝水问题,点P在线段BC上时PAC勺周长最小.2 .第(3)题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性.总分值解答(1)由于抛物

5、线与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点,设y=a(x+1)(x3),代入点C(0,3),得3a=3.解得a=-1.所以抛物线的函数关系式是y=(x+1)(x3)=x2+2x+3.(2)如图2,抛物线的对称轴是直线x=1.当点P落在线段BC上时,PA+PC最小,PAC勺周长最小.设抛物线的对称轴与x轴的交点为H.由里PH,BO=CQ彳#PH=BH=2.BOCQ所以点P的坐标为(1,2).图2(3)点m的坐标为(1,1)、(1,76)、(1,76)或(1,0).考点伸展第(3)题的解题过程是这样的:设点M的坐标为(1,m).在MA(C3,AC=10,M(C=1+(rnr3)2,mA=4+m2.

6、如图3,当MAMC寸,MA=MC.解方程4+m2=1+(mr3)2,得m1.此时点M的坐标为(1,1).如图4,当AM=AC时,AM=AC.解方程4+m2=10,得mJ6.此时点M的坐标为(1,76)或(1,乔).如图5,当CM=CA时,CM=CA.解方程1+(mv3)2=10,得m0或6.当M1,6)时,MAC三点共线,所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)图3图4图5例3、如图1,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB勺位置.(1)求点B的坐标；(2)求经过AOB的抛物线的解析式；(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、OB为顶点的三角形

7、是等腰三角形？假设存在,求点P的坐标；假设不存在,请说明理由.图1思路点拨1 .用代数法探求等腰三角形分三步：先分类,按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验.2 .此题中等腰三角形的角度特殊,三种情况的点P重合在一起.总分值解答(1)如图2,过点B作BCLy轴,垂足为C.在RtAOBO,/BOC=30,OB=4,所以BC=2,OC2百.所以点B的坐标为(2,2J.y=ax(x-4),(2)由于抛物线与x轴交于QA(4,0),设抛物线的解析式为代入点B(2,2向,2732a(6).解得所以抛物线的解析式为y<,32-x2.3x-3(3)抛物线的对称轴是直线x=2

8、,设点P的坐标为(2,y).当OP=OB=4时,OP=16,所以4+y2=16.解得y2忌.当P在(2,26)时,BOP三点共线(如图2).解得y1y2273.当BP=B0=4时,BP=16.所以42(y2石)216.当PB=PO时,P戌=PO.所以42(y273)222y2,解得y273.综合、,点P的坐标为(2,2J3),如图2所示.图2图3考点伸展如图3,在此题中,设抛物线的顶点为D,那么DOATOAB两个相似的等腰三角形.由yx(x4)(x2)2壁,得抛物线的顶点为D(2,R3).6633因此tanDOA23,所以/DOA=30,/ODA120.3例4、如图1,一次函数y=x+7与正比

9、例函数y4x的图象交于点A,且与x轴交3于点B.(1)求点A和点B的坐标;(2)过点A作Ady轴于点C,过点B作直线ly轴.动点P从点O出发,以每秒1个单位长的速度,沿O-C-A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l交x轴于点R交线段BA或线段AO于点Q当点P到达点A时,点P和直线l都停止运动.在运动过程中,设动点P运动的时间为t秒.当t为何值时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？假设存在,求t的值；假设不存在,请说明理由.思路点拨1 .把图1复制假设干个,在每一个图形中解决一个问题.2 .求APR的

10、面积等于8,根据点P的位置分两种情况讨论.事实上,P在CA上运动时,高是定值4,最大面积为6,因此不存在面积为8的可能.3 .讨论等腰三角形APQ根据点P的位置分两种情况讨论,点P的每一种位置又要讨论三种情况.总分值解答yx7,x3(1)解方程组4得x3,所以点A的坐标是(3,4).yx,y4.3令yx70l|x7.所以点B的坐标是(7,0).(2)如图2,当P在OC±运动时,0Wt<4.由SaprS弟形CORASaacpSapor8,1112得(3+7t)4-4(4t)-t(7t)8.整理,得t8t120.解得1=2或1=6222(舍去).如图3,当P在CA上运动时,APR勺

11、最大面积为6.因此,当t=2时,以AP、R为顶点的三角形的面积为8.图2图3图4我们先讨论P在OC上运动时的情形,0Wtv4.如图1,在4AO升,/B=45,/AOB>45,OB=7,AB4J2,所以OB>AB因此/OAB>/AOB>/B.如图4,点P由O向C运动的过程中,OP=BR=RQ所以PQx轴.因此/AQP=450保持不变,/PA电来越大,所以只存在/APQ=/AQP勺情况.此时点A在PQ勺垂直平分线上,OR=2CA=6.所以BR=1,t=1.我们再来讨论P在CA上运动时的情形,4<t<7.在APQKcosA3为定值,AP57t,AQ5520OAOQ

12、OA-OR-t333如图5,当AP=AQ时,解方程3t空,得t3418如图6,当QP=QA时,点Q在PA的垂直平分线上,AP=2(OR-OP.解方程7t2(7t)(t4),得t5.如7,当PA=PQ时,那么cosa2AQ因此AQ2APcosA.解方程AP2032(7t)22643综上所述,t=1或41或5或当时,apq等腰三角形.843考点伸展当P在CA上,QP=QA时,也可以用AP2AQcosA来求解.第9页共14页例5、如图1,在矩形ABC由,AB=m值大于0的常数,BC=8,E为线段BC上的动点不与B、C重合.连结DE彳EF,DEEF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y.1求y关于x

13、的函数关系式；2假设m=8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少？3假设y要使DEE等腰三角形,m的值应为多少？m图1思路点拨1 .证实DC&AEBF根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式.2 .第2题的本质是先代入,再配方求二次函数的最值.3 .第3题头绪复杂,计算简单,分三段表达.一段是说理,如果DE助等腰三角形,那么得到x=y；一段是计算,化简消去m得到关于x的一元二次方程,解出x的值;第三段是把前两段结合,代入求出对应的m的值.总分值解答EDG=/FEB又由于/C=/B=90,(1)由于/EDCI/FEBtB是/DECW余角,所以/DC所以DC摩EBF因此D

14、CCE.整理,得y关于x的函数关系为8一x.m2如图2,当m=8时,8(x422.因此当x=4时,y取得最大值为2.2x8x120.解得x=2或x=6.要使DEF为等腰三角形,只存在mED=EF的情况.由于DC声EBF所以CE=BF,m=6(如图3);12即x=y.将x=y=2代入y,得m、,-12将x=y=6代入y,得m=2考点伸展此题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系,例如:,19819由第(1)题得到y-x28x-(x2mmm8x)12(x4)m16那么不管m为何值,当x=4时,y都取得最大值.对应的几何意义是,m不管AB边为多长,当E是BC的中点时,BF都取得最大值.第2题mr8是第1题

15、一般性结论的一个特殊性.再如,不管m为小于8的任何值,DEF都可以成为等腰三角形,这是由于方程x总有一个根x8mm的.第3题是这个一般性结论的一个特殊性.例6、如图1,在等腰梯形ABC珅,AD/BCE是AB的中点,过点E作EF/BCCDT点F,AB=4,BG=6,ZB=60.(1)求点E到BC的距离；(2)点P为线段EF上的一个动点,过点P作PMLEF交BC于M过M作MN/AB交折线ADC1N,连结PN设EP=x.当点N在线段AD上时(如图2),APMN勺形状是否发生改变？假设不变,求出PMN的周长；假设改变,请说明理由；当点N在线段DC上时(如图3),是否存在点P,使PMN；等腰三角形？假设

16、存在,图3思路点拨1 .先解读这个题目的背景图,等腰梯形ABCD勺中位线EF=4,这是x的变化范围.平行线间的距离处处相等,AD与EF、EF与BC间的距离相等.2 .当点N在线段AD上时,PM附PMDMN的长保持不变是显然的,求证PN的长是关键.图形中包含了许多的对边平行且相等,理顺线条的关系很重要.3 .分三种情况讨论等腰三角形PMN三种情况各具特殊性,灵活运用几何性质解题.总分值解答(1)如图4,过点E作EGLBC于G1 -在RtABEGJ,BEAB2,/B=60,2所以BGBEcos601,EGBEsin6073.所以点E到BC的距离为J3.(2)由于AD/EF/BCE是AB的中点,所以

17、F是DC的中点.因此EF是梯形ABCD勺中位线,EF=4.如图4,当点N在线段AD上时,PMN勺形状不是否发生改变.过点N作NHLEF于H,设PH与NM于点Q在矩形EGM冲,EPGM=x,P阵EG=3在平行四边形BMQE,BM=EQ=1+x.所以BG=PQ=1.由于PMIMNH平行且相等,所以PHfNMM相平分,PH=2PQ=2.在RtAPNHI,NH=V3,PH=2,所以PN=".在平行四边形ABM冲,MN=AB=4.因此PMN勺周长为i'3+77+4.图4当点N在线段DC上时,CMN1为等边三角形.如图5,当PM=PN时,PMCTPNC于直线PC对称,点P在/DCB勺平分线上.在RtAPCMfr,P阵套,/PCM=30,所以MC=3.此时MP分别为BCEF的中点,x=2.如图6,当MP=MN寸,MP=MN=MC=J3,x=GM=GC-M