中考专题复习一次函数知识点总结

1、中考复习专题一一一次函数知识点总结一变量：自变量：自己变化的量；在一个变化的过程中,我们称数值变化的量是自变量.常量：有些量的数值是始终不变的量叫常量.函数：被变量是自变量的函数.函数值：当自变量确定一个值,被变量随之确定的一个值.因变量：自变量的变化引起另一个量的变化,另一个量是因变量.二一次函数和正比例函数的概念1.概念：假设两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+bk,b为常数,kw0的形式,那么称y是x的一次函数x为自变量,特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.（1） 一次函数的自变量的取值范围是一切实数,但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2） 一次函数y=kx+bk

2、,b为常数,kw0中的“一次和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次意义相同,即自变量x的次数为1,一次项系数k必须是不为零的常数,b可为任意常数.判断一个等式是否是一次函数先要化简3当b=0,kw0时,y=kx仍是一次函数.正比例函数4当b=0,k=0时,它不是一次函数.2.函数的表示方法：1解析法,2列表法,3图象法.列表法直观但不完全解析法准确完全但不直观图象法直观形象但不够准确也不太完全图象的画法：一列表、二描点、三连线顺次用平滑的曲线解析式的列法：一实际问题,确定自变量的取值二符合题意三函数的图象把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应

3、点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线.一次函数的图象由于一次函数y=kx+bk,b为常数,kw0的图象是一条直线,所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.由于两点确定一条直线,描出适合关系式的两点,再连成直线,一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点0,b,直线与x轴的交点-b,0.画正比例函数y=kx的图象时,k只要描出点0,0,1,k即可.四一次函数性质1.一次函数y=kx+bk,b为常数,kw0的性质(1) k的正、负决定直线的倾斜方向；k>0时,y的值随x值的增大而增大;k<O时,y的值随x值的增大而减小.(2) |k

4、|大小决定直线的倾斜程度,即|k|越大,直线与x轴相交的锐角度数越大(直线陡)|k|越小,直线与x轴相交的锐角度数越小(直线缓)；(3) b的正、负决定直线与y轴交点的位置；当b>0时,直线与y轴交于正半轴上；当b<0时,直线与y轴交于负半轴上；当b=0时,直线经过原点,是正比例函数.(4)由于k,b的符号不同,直线所经过的象限也不同;kb经过的象限Y随x的变化图象y=kx+b(b才0)k>0b>0一,二三Y随x的增大而增大1Zy=kx+b(bw0)k>0b<0一三四Y随x的增大而增大,y=kx+b(bw0)k<0b>0一二四Y随x的增大而减小y

5、=kx+b(bw0)k<0b<0二三四Y随x的增大而减小*(5)由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小,k相同,说明这两个锐角的大小相等,且它们是同位角,因此,它们是平行的.另外,从平移的角度也可以分析,例如：直线y=x+1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的.2.正比例函数y=kx(kw0)的性质(1)正比例函数y=kx的图象必经过原点；(2)当k>0时,图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；点P(x°,y°)与直线y=kx+b的图象的关系(1)如果点P(x°,y°)在直线y=kx+b的图象上,那么x0,y.的值必满

6、足解析式y=kx+b;(2)如果x0,y.是满足函数解析式的一对对应值,那么以x0,y.为坐标的点P(1,2)必在函数的图象上.例如：点P(1,2)满足直线y=x+1,即x=1时,y=2,那么点P(1,2)在直线y=x+l的图象上；点P'(2,1)不满足解析式y=x+1,由于当x=2时,y=3,所以点P'(2,1)不在直线y=x+l的图象上.确定正比例函数及一次函数表达式的条件(1)由于正比例函数y=kx(kw0)中只有一个待定系数k,故只需一个条件(如一对x,y的值或一个点)就可求得k的值.(2)由于一次函数y=kx+b(kw0)中有两个待定系数k,b,需要两个独立的条件确定

7、两个关于k,b的方程,求得k,b的值,这两个条件通常是两个点或两对x,y的值.五一次函数与方程1 .一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系,函数y=ax+b(aw0,a,b为常数)中,函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+b=0(aw0)的解,所对应的坐标(,0)是直线y=ax+b与x轴的交点坐标,反过来也成立；？直线ay=ax+b在x轴的上方,也就是函数的值大于零,x的值是不等式ax+b>0(aw0)的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零,x的值是不等式ax+b<0(aw0)的解.2 .坐标轴的函数表达

8、式函数关系式x=0的图像是y轴,反之,y轴可以用函数关系式x=0表示；？函数关系式y=0的图像是x轴,反之,x轴可以用函数关系式y=0表示.3 .一次函数与二元一次方程组的关系一般地,每个二元一次方程组,都对应着两个一次函数,于是也就是对应着两条直线,从“数的角度看,解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等,以及这两函数值是何值；从形的角度考虑,解方程组相当于确定两条直线的交点坐标,所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系.4 .两条直线的位置关系与二元一次方程组的解一y二kxb(1) 一兀一次方程组?有唯一的解u直线y=kix+bi不平行于直线y=k2x+b2y=k?xb2=

9、kiwk2.一y=kxbi一(2) 一兀一次方程组?无斛.直线y=kix+bi/直线y=k2x+b2.ki=k2,y=k2xb2biwb2.y=k1x片(3) 一兀一次方程组：有无数多个解u直线y=k1x+b1与y=k2x+b2重合y=k?xb2:=k1=k2,b1=b2.5 .待定系数法先设待求函数关系式(其中含有未知常数系数),再根据条件列出方程(或方程组),求出未知系数,从而得到所求结果的方法,叫做待定系数法.其中未知系数也叫待定系数.例如：函数y=kx+b中,k,b就是待定系数.用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：一设,二代,三解,四代入(1)设函数表达式为y=kx+b;(2)将

10、点的坐标代入函数表达式,解方程(组)；(3)求出k与b的值；(4)将k、b的之带入y=kx+b,得到函数表达式.例如：一次函数的图象经过点2,1和-1,-3求此一次函数的关系式.解：设一次函数的关系式为y=kx+bkw0,1=2k+b,-3=-k+b,由题意可知,45此函数的关系式为y=-x-.33六知识规律小结1 .常数k,b对直线y=kx+bkw0位置的影响.当b>0时,直线与y轴的正半轴相交；当b=0时,直线经过原点；当b<0时,直线与y轴的负半轴相交.当k,b异号时,即-b>0时,直线与x轴正半轴相交；k当b=0时,即-2=0时,直线经过原点；k当k,b同号时,即-2

11、<0时,直线与x轴负半轴相交.k当k>Qb>O时,图象经过第一、二、三象限；当k>0,b=0时,图象经过第一、三象限；当b>O,bvO时,图象经过第一、三、四象限；当k<O,b>0时,图象经过第一、二、四象限；当k<O,b=0时,图象经过第二、四象限；当kvO,bvO时,图象经过第二、三、四象限.2 .直线y=kx+bkw0与直线y=kxkW0的位置关系.直线y=kx+bk丰0平行于直线y=kxk丰0当b>0时,把直线y=kx向上平移b个单位,可得直线y=kx+b;当b<O时,把直线y=kx向下平移|b|个单位,可得直线y=kx+b.

12、3 .直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2klw0,k2w0的位置关系.kwk2yy1与y2相交；Jk#k2一,Uy1与y2相父于y轴上同一点0,b1或0,b2;B也k1="-一y2千仃;k1=k2,=b22021中考复习专题二次函数知识点总结二次函数知识点:1 .二次函数的概念：一般地,形如y=ax2+bx+ca,b,c是常数,a#0的函数,叫做7L二次方程类似,二次项系数a00,而b,c可以为零.二次函数.这里需要强调：和次函数的定义域是全体实数.2 .二次函数y=ax2+bx+c的结构特征:等号左边是函数,右边是关于自变量a,b,c是常数,二次函数的根本形式a是二次项

13、系数,x的二次式,x的最高次数是2.b是一次项系数,c是常数项.1.二次函数根本形式:y=ax2的性质:结论：a的绝对值越大,抛物线的开口越小.总结：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(0,0)y轴x>0时,y随x的增大而增大；x<0时,y随x的增大而减小；x=0时,y有最小值0.a<0问卜(0,0)y轴x>0时,y随x的增大而减小；x<0时,y随x的增大而增大；x=0时,y有最大值0.22. y=ax+c的性质:结论：上加下减.a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(0,c)y轴x>0时,y随x的增大而增大；x<0时,y随

14、x的增大而减小；x=0时,y有最小值c.a<0问卜(0,c)y轴x>0时,y随x的增大而减小；x<0时,y随x的增大而增大；x=0时,y有最大值c.总结:一2一一3. y=a(xh)的性质:结论：左加右减.总结：a的符号开口方向顶坐标对称轴性质a>0向上(h,0)X=hxh时,y随x的增大而增大；x<h时,y随x的增大而减小；x=h时,y有最小值0.a<0问卜(h,0)X=hxh时,y随x的增大而减小；x<h时,y随x的增大而增大；x=h时,y有最大值0.4. y=a(xhj+k的性质:总结:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(h,k)

15、X=hxh时,y随x的增大而增大；x<h时,y随x的增大而减小；x=h时,y有最小值k.a<0问卜(h,k)X=hxh时,y随x的增大而减小；x<h时,y随x的增大而增大；x=h时,y有最大值k.二次函数图象的平移1.平移步骤：将抛物线解析式转化成顶点式y=ax-hj+k,确定其顶点坐标h,k；_2y=ax2向右h>0或左h<0平移|k|个单位向上k>0【或下k<0】平移|k|个单位向右h>0【或左h<0】平移|k|个单位向上k>0或下k<0平移|k|个单位y=a(x-h)2+k向上k>0【或向下k<0】平移|k|个

16、单位Ay=ax2+ky=a(x-h)2保持抛物线y=ax平移规律在原有函数的根底上“h值正右移,负左移；k值正上移,负下移.的形状不变,将其顶点平移到h,k处,具体平移方法如下:向右h>0【或左h<0】2.平移|k|个单位概括成八个字“左加右减,上加下减.三、二次函数y=ax-hj+k与y=ax2+bx+c的比拟请将y=2x2+4x+5利用配方的形式配成顶点式.请将y=ax2+bx+c配成2y=ax-hJ+k.总结：从解析式上看,y=ax-hj+卜与丫=2*2+bx+c是两种不同的表达形式,后者通过配222方可以得到前者,即y=a'x+,其中h=-一,k=ac"-

17、.2a4a2a4a四、二次函数y=ax2bx,c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式y=axh2+k,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0,c、以及0,c关于对称轴对称的点2h,c、与x轴的交点为,0,0假设与x轴没有交点,那么取两组关于对称轴对称的点.画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点.五、二次函数y=ax2+bx+c的性质22、1.当a>0时,抛物线开口向上,对称轴为x,顶点坐标为,4ac-bI.2a12a4al当x<一2时,

18、y随x的增大而减小；当x>b时,y随x的增大而增大；当x=B2a2a2a2时,y有最小值4acb.4a22)2.当a<0时,抛物线开口向下,对称轴为x,顶点坐标为,4ac-b.当2a12a4a,x<2时,y随x的增大而增大；当x>一2时,y随x的增大而减小；当x=>时,y2a2a2a2有最大值4ac-b.4a六、二次函数解析式的表示方法1 .一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a*0);2 .顶点式：y=a(xh)2+k(a,h,k为常数,a=0);3 .两根式：y=a(xx)(xx2)(a¥0,x,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标).注意：

19、任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写2成父点式,只有抛物线与x轴有父点,即b-4ac20时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1 .二次项系数a二次函数y=ax2+bx+c中,a作为二次项系数,显然a#0.当a>0时,抛物线开口向上,a的值越大,开口越小,反之a的值越小,开口越当a<0时,抛物线开口向下,a的值越小,开口越小,反之a的值越大,开口越大.总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,a的大小决定开口的大小.2.一次项系数b在二次项系数a确定的

20、前提下,b决定了抛物线的对称轴.在a>0的前提下,当b>0时,旦<0,即抛物线的对称轴在y轴左侧;2a当b=0时,2=0,即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b<0时,2>0,即抛物线对称轴在y轴的右侧.2a在a<0的前提下,结论刚好与上述相反,即当b>0时,当b=0时,->0,即抛物线的对称轴在y轴右侧;2a2=0,即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b<0时,-<0,即抛物线对称轴在y轴的左侧.2a总结:3.常数项c当CA0时,抛物线与当c=0时,抛物线与总结起来,在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置.y轴交点的纵坐标为正；y轴交

21、点的纵坐标为0;y轴交点的纵坐标为负.y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与当c<0时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置.总之,只要a,b,c都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式确实定：根据条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况：1 .抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；2 .抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式；3 .抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；4 .抛物

22、线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.:、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达1 .关于x轴对称y=ax2+bx+c关于x轴对称后,得到的解析式是y=-ax2-bx-c；22y=a(xhj+k关于x轴对称后,得到的解析式是y=-a(x-h)-k；2 .关于y轴对称22_y=ax+bx+c关于y轴对称后,得到的解析式是y=axbx+c；22y=a(xhj+k关于y轴对称后,得到的解析式是y=a(x+h)+k；3.关于原点对称22y=ax+bx+c关于原点对称后,得到的解析式是y=-ax+bxc；22y=a(xh§+k关于原点对称后,得到的解析式是y

23、=-a(x+h)k；4 .关于顶点对称22b2y=ax+bx+c关于顶点对称后,得到的解析式是y=-ax-bx+c-;ay=a(x-h§+k关于顶点对称后,得到的解析式是y=-a(xh)+k.5 .关于点(m,n?寸称22y=a(x-h)+k关于点(m,n)对称后,得至解析式是y=-a(x+h2m)+2nk根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此|a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原那么,选择适宜的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.二次函数与一元二次方程：1 .二次函数与一元二次方