2018高考新课标1理科数学及答案解析

1、2021年普通高等学校招生全国统一测试(新课标全国卷I)理科数学本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两局部.总分值150 分,测试时间 120 分钟.第 I 卷一、选择题：本大题共 12 小题,每题 5 分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.(1)集合 A=x|x1,B=x|3x1,那么A.AB=x|x：0B.AUB=RC.AUB=x|x1D.ApB=(2)如图,正方形ABCD1的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色局部和白色局部关于正方形的中央成中央对称.在正方形内随机取一点,那么此点取自黑色局部的概率是(3)设有下面四个命题P1：假设复数Z

2、满足1wR,那么zwR;zP2:假设复数z满足Z2wR,那么zWR；P3：假设复数乙2满足zz2wR,那么zz;P4：假设复数z-R,那么zwR.其中的真命题为A.4D.C.i(5)函数f(x)在(g,y)单调递减,且为奇函数.假设足_1Mf(x-2)1000 的最小偶数 n,那么在I.和二两个空白框中,可以分别填入A.A1000 和n=n+1B.A1000 和n=n+2A.P1,P3B.P1,P4C.P2,P3(4)记Sn为等差数列aj的前n项和.假设a4+a5=24,的公差为A.1B.2C.4D.P2,P45=48,那么烝D.8C.Aw1000 和n=n+1D.Aw1000 和n=n+2_

3、2a2a(9)曲线C:y=cosx,C2：y=sin(2x+一),那么下面结论正确3,的是A.把C上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线06B.把.上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移三个单位长度,得到曲线G12C.把.上各点的横坐标缩短到原来的1倍,纵坐标不变,再把2得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线061.、D.把C上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移三个单位长度,得到曲线012(10)F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线li,l2,直线l1与C交于A、

4、B两点,直线l2与C交于DE两点,贝“AB+|DE的最小值为A.16B.14C.12D.10(11)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,那么A.2x3y5zB.5z2x3yC.3y5z2xD,3y2x100且该数列的前N项和为 2 的整数哥.那么该款软件的激活码是A.440B.330C.220D.110第 II 卷二、填空题：本大题共 4 小题,每题 5 分(13)向量 a,b的夹角为 60,|a|=2,|b|=1,贝U|a+2b1=.x2y1-2x+y之！那么z=3x2y的最小值为x-y0,b0)的右顶点为 A,以A为 ab圆心,b为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于MN两点.假

5、设/MAN60,那么C的离心率为.(16)如图,圆形纸片的圆心为 Q 半彳全为5cm,该纸片上的等边三角形ABC勺中央为QDE、F为圆O上的点,DBCECAAFAB分别是以BCCAAB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BCCAAB为折痕折起DBCAEC/AFAB使得DE、F重合,得到三棱锥.当ABC勺边长变化时,所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为.三.解做题：解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤(一)必考题：共 60.(17)(12 分)ABC勺内角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC勺面积为(1)求 sinBsinC(2)假设 6cosBcosC=1,a=3,求ABC勺周长

6、.(18)(12 分)如图,在四棱锥P-ABC冲,AB/CD,且.BAP,CDP=90：.(1)证实：平面PABL平面PAD(2)假设PA=PDAB=DC/APD=90,求二面角APBC的余弦值.(14)设 x,y 满足约束条件2a3sinA19.12 分为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件,并测量其尺寸单位：cnj.根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布NN,仃2.1假设生产状态正常,记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在23区 2+3之外的零件数,求PX91及X的数学期望;（2）一天内抽检零件中,

7、如果出现了尺寸在N-筑 1+的之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.i试说明上述监控生产过程方法的合理性；ii下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95,116经计算得又=6为=9书7,16i4s=JgX-x2=.-?x2-16x22忠0.212,其中Xi为抽取的第i个零件:16y,16y的尺寸,i=12,化.用样本平均数X作为卜的估计值巴用样本标准差s作为仃的估计值夕,利用估计值判断是否需

8、对当天的生产过程进行检查？剔除建一3五铮+3之外的数据,用剩下的数据估计 N 和.精确到 0.01.附：假设随机变量Z服从正态分布NR,.2,那么PN3仃b0),四点 P(1,1),沁(0,1),R(ab1,多,P4(1,冬中恰有三点在椭圆 C 上.(1)求 C 的方程；(2)设直线 l 不经过 B 点且与 C 相交于AB 两点.假设直线 PA 与直线沁 B 的斜率的和为-1,证实：l 过定点.21.(12 分)2xx函数f(x)=ae+(a-2)ex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)假设f(x)有两个零点,求a的取值范围.(二)选考题： 共 10 分.请考生在第 22、 23 题中任选一题

9、作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.(22)选修 44:坐标系与参数方程(10 分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为Ix=3cof,(6为参数),y=sin,直线l的参数方程为了4t,(t为参数)y=i-t,(1)假设a=-1,求C与l的交点坐标；(2)假设C上的点到l的距离的最大值为历,求a.(23)选修 45:不等式选讲(10 分)函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=Ix+1|+|x-1.(1)当a=1时,求不等式f(x)g(x)的解集；(2)假设不等式 f(x)g(x)的解集包含-1,1,求 a 的取值范围.C.D.2021 年普通高等学校招生全国统一测试全国 I 卷理

10、科数学.一、选择题：此题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.集合A=xxl,B=x3xcl,那么A.A0|B=xx：0B.AljB=RC.AUBxx1D,ApB=【答案】A【解析】A=xx1,B=x3x1=xx./.AAB-lxx：:0.,AUB-lxx：:1F,选 A2 .如图,正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色局部和白色局部位于正方形的中央成中央对称,在正方形内随机取一点,那么此点取自黑色局部的概率是A.B.【解析】设正方形边长为2,那么圆半径为1那么正方形的面积为2x2=4,圆的面积为兀

11、父12=兀,图中黑色局部的概率为-一 2兀那么此点取自黑色局部的概率为2二4-8应选 B3 .设有下面四个命题Pi:假设复数 z 满足1WR,那么z三R；zP2:假设复数 z 满足z2wR,那么zWR;P3:假设复数 zi,z2满足取2WR,那么 z1=9；P4:假设复数zWR,那么zwR-A.Pi,P3B.R,P4C.P2,P3D.P2,P4【答案】B11a-bi一【解析】P1：设 z=a+bi,那么R,得到 b=0,所以 zwR.故P正确；zabiabP2：假设z2=1,满足z2wR,而z=i,不满足z2wR,故P2不正确；P3：假设z1=1,z2=2,那么z/=2,满足乙z2wR,而它们

12、实部不相等,不是共轲复数,故P3不正确；P4：实数没有虚部,所以它的共轲复数是它本身,也属于实数,故P4正确；4.记&为等差数列4的前n项和,假设 a4+a5=24,0=48,那么aj 的公差为A1B.2【答案】C【解析】a4,a5=a13d-a1-4d=24-65&=6a65d=482|2a1+7d=24联立求得1a+15d=48父 3-得(21-15p=246d=24：d=4选 Cx的取值范围是A.1-2,2B.15.函数 fx在十强浮调递减,且为奇函数.f(1)=-1,那么满足-1f(x-2 户 1 的C.4D.8C.0,4【解析】由于 f(x)为奇函数,所以 f(_1)=_f(1)=1

13、,于是_1wf(x2 尸 1 等价于 f(1 尸 f(x_2/f(1)|又 f(X)在(血,+K)单调递减.-Kx-21,1x3应选 D1616.1+1+x)展开式中 x2的系数为A.15B.20C.30【答案】C.16616【解析】1+1x=11x21xxx65对(1+x6的 x2项系数为 C6=15对 f1+x6的 x2项系数为C6=15,x.x2的系数为15+15=30应选 C7 .某多面体的三视图如下图,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为 2,俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有假设干是梯形,这些梯形的面积之和为该立体图平面内只有两个相同的梯形的面

14、C.14D.16D.35A.把 C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标小艾, 再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线 C2B.把 CI上各点的横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标/、变, 再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线 C2C.把 CI上各点的横坐标缩短到原来的1l-倍,纵坐标/、变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线 C2D.把 G 上各点的横坐标缩短到原来的2倍, 纵坐标/、变, 再把得到的曲线向左平移兀127167112S 梯=242-2=6%梯=62=12应选 B8 .右面程序框图是为了求出满足 3n_2nA1000 的最小偶数 n,那么在1000n=n+1B

15、.A1000n=n+2C.AW1000 和门=门 1D.AW1000 和 n=n2【答案】D【答案】由于要求A大于 1000 时输出,且框图中在“否时输出中不能输入 A1000排除 A、B 又要求n为偶数,且n初始值为 0,“T中n依次加 2 可保证其为偶应选 D29 .曲线 Cy=cosx,C2：y=sin.2x+,那么下面结论正确的选项是3个单位长度,得到曲线 C2【答案】D-_22 兀【解析】C1:y=cosx,Cz：y=sin.2x+首先曲线G、C2统一为一三角函数名,可将Ci:y=cosx用诱导公式处理.(兀兀:(兀:一y=cosx=cos.x+一万 J=sin.x+万|.横坐标变换

16、需将 m=1 变成切=2,(yC1上各点横坐标缩短它原来 1(、(即 y=sin!x12y=sin12x=sin21x.2.242 兀兀yy=sin,2x+=sin2.x+I3.3注意切的系数,在右平移需将 0=2 提到括号外面,这时 x+平移至 x+-,43根据“左加右减原那么,“x+到“x+需加上,即再向左平移.43121210 .F为抛物线 C：y2=4x 的交点,过F作两条互相垂直li,I2,直线li与 C 交于A、B两点,直线I2与 C 交于D,E两点,AB+|DE 的最小值为()A16B.14C.12【答案】A【解析】2P2P工-1cos212D.10设AB倾斜角为日.作AK1垂直

17、准线,AK2垂直x轴|AFcos8*GF=AK1几何系易知AK1=AF抛物线特性|AF|cosP=AFPP同理|AF|=；a a, ,BFBF1-cosU1cos12Psin2|AB|2P1-cos2又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为2DE|_._2sin而 y2=4x,即 P=2.ABDE=2P3=4 士旦=sin1cos116一2一16sin2r-兀当 a=a=取4即|AB1+DE 最小值为 16,应选 A11 .设 x,y,z 为正数,且 2x=3y=5z,那么()D.3y：2x：5z【答案】D【答案】取对数：xln2=yln3=ln5.xln33=yln22:2x3yxln2=zln5

18、xln55贝 U_=zln22:2x5z:3y2x100 且该数列的前 N 项和为2的整数哥.那么该款软件的激活码是()A.440B.330C.220D.110【答案】A【解析】设首项为第 1 组,接下来两项为第 2 组,再接下来三项为第 3 组,以此类推.设第n组的项数为n,那么n组的项数和为2n1n由题,N100,令14 且 nWN,即 N 出现在第 13 组之后2n第n组的和为汽=2n-1n组总共的和为2(1-2Ln=2n2-n1-2假设要使前 N 项和为 2 的整数哥,那么N-nn)项的和2 2k-1 应与-2-n 互为相反2数k*即 2-1=2+n(k=N,n14)k=log2n34

19、sinccos112sin24A.2x：:3y：:5zB.5z：2x：3yC.3y：5z:二 2xfn=29,k=5ntt29129贝 UN=5=4402应选 A填空题：此题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分.=444=12a+2b|=质=23x2y-1 表示的平面区域如下图x-y_0由 z=3x2y 得 y=x,22求 z 的最小值,即求直线 y=3xz 的纵截距的最大值 22当直线 y=|x-：过图中点A时,纵截距最大圆A与双曲线 C 的一条渐近线交于M,N 两点,假设/MAN=60)那么 C 的离心率为13.向量a,b 的夹角为 60.,【答案】2,3【解析】：+21二(a2bT2

20、1cos602b)=22222-22-|-2xy-1由 jx+2y=1 解得A点坐标为(1,1),此时 z=3M(1)2 父1=53/MAN=60,-AP=b,2OP=JOAI2TpA2=F1b216.如图,圆形纸片的圆心为 O,半径为 5cm,该纸片上的等边三角形 ABC 的中央为 O,D、E、F为元 O上的点,4DBC,AECA,FAB 分别是一 BC,CA,AB为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起4DBC,AECA,FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当ABC的边长变化时,所得三棱锥体积单位：cm3的最大值为.【答案】415【解析】由题,连接 OD,交

21、BC 与点 G,由题,OD1BC3OG=BC,即 OG 的长度与 BC 的长度或成正比 6设 OG=x,贝 U UBCBC=2v3X,DG=5x三棱锥的高 h=VDG2-OG2=$25-10 xX2-x=；25-10 xSABC=2.33x4-33x22A=60,sinA=百,3【解析】如图,OA=a,AN|AM=bbco解得 a2=3b2a2.33h=.3x*5.25 二 10 x=325x4-10 x54_5_5令 f(x)=25x-10 x,x(0,),令fx)0,即 x4_2x30,x2那么 f(x 产 f(2)=805那么 v4SAABC一.34fx=100 x-50 x那么v73x

22、780=45:体积最大值为4475cmcm3三、解做题：共 70 分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.第 17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题：共 60 分.2a17.ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,ABC的面积为3sinA(1)求 sinBsinC;(2)假设 6cosBcosC=1,a=3,求4ABC的周长.【解析】此题主要考查三角函数及其变换,正弦定理,余弦定理等根底知识的综合应用a2一 1(1)面积 S=-a.且 S=bcsinA3sinA23sinA2232,a=-bcsinA2232,.由正

23、弦TE理得 sinA=sinBsinCsinA,22由 sinA#0 得 sinBsinC=.32(2)由(1)得 sinBsinC=,cosBcosC3八八八八1:cosA=COS(LB-C)=cos(B+C)=sinBsinC-cosBcosC=一2又.AW(0,n)JbcsinA1cosA=一2由余弦定理得 a2=b2+c2-bc=9由正弦定理得 b=asinB,c=asinCsinAsinAa2bc=-2sinBsinC=8sinA由得 b+c=J33:a+b+c=3+必,即ABC 周长为 3+?2)、PB=(V2,2,J5)、BC=(-26,0,0)、3一一设n=(x,y,z)为平面

24、 PBC 的法向量KLf,nPB=0,口.2x2y-.2z=0由 T,得?nBC=0-22x=04令 y=1-Uz=6,x=0,可得平面 PBC 的一个法向量 n=(0,1,&)ZAPD=90 口,PD_LPA又知AB_L平面PAD,PDU 平面PAD.PD_LAB,又PAHAB=APD_L平面PAB即PD是平面PAB的一个法向量,PD=-42,0,夜且/BAP=/CDP=90 叫O-xyz由图知二面角 A_PB_C 为钝角,所以它的余弦值为_火319.12 分为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程,实验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件,并测量其尺寸单位：cm.根据长期生产经验,可以认

25、为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 NN,仃2.1假设生产状态正常,记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在N3 仃,H 十 3cr之外的零件数,求 PX1及X的数学期望；2一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在N-3 仃,R+3.之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.I试说明上述监控生产过程方法的合理性：II下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.9516X162716经

26、计算得 x=x=9.97,s=KX=x2-16x2&0.212,其中 Xi为i1.16i416 一抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,川,16.用样本平均数X作为卜的估计值快,用样本标准差s作为仃的估计值夕,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查,剔除俘-3.国+3 日之外的数据,用剩下的数据估计口和仃精确到 0.01.附：假设随机变量 Z 服从正态分布 NN,仃2,那么 PR3 仃Z卜+3 仃=0.9974.0.997416之 0.9592,J0008fc0.09.【解析】1由题可知尺寸落在N-3.,N十州之内的概率为0.9974,落在卜一3仃,R+30之外的概率为0.0026.PX=

27、0=01051-0.997400.997416比 0.9592PX-11=1-PX=01-0.9592=0.0408由题可知 XB16,0.0026.EX=160.0026=0.04162i尺寸落在-3仃,N+3.之外的概率为0.0026,由正态分布知尺寸落在N-3仃,+3cr之外为小概率事件,因此上述监控生产过程的方法合理.ii-3.=9.97-30.212=9.3343:一二 9.9730.212=10.606.3 仃,3+3 仃尸(9.334,10.606)19.22圭(9.334,10.606),.需对当天的生产过程检查.因此剔除9.229.9716-9.22.剔除数据之后：N=10.

28、02.15222222C-=9.95-10.0210.12-10.029.96-10.029.96-10.0210.01-10.02222229.92-10.029.98-10.0210.04-10.0210.26-10.029.91-10.0222222110.13-10.0210.02-10.02110.04-10.02|10.05-10.02i9.95-10.02,:,:150.008.:;-.0.008:0.0920.(12 分)椭圆 C:x2+=1(aAb0),四点 P(1,1,P2(0,1),屋1,E),P41,印abl2Jl2J中恰有三点在椭圆 C 上.(1)求C的方程；(2)设

29、直线 l 不经过P2点且与 C 相交于A、B两点,假设直线P2A与直线F2B的斜率的和为-1,证实：l过定点.【解析】(1)根据椭圆对称性,必过 P3、R又 P4 横坐标为 1,椭圆必不过 P,所以过 P2,R,R 三点将 P20,1,P3-1,也(f 弋入椭圆方程得21=1b23,解得工+2-2,2-1、ab22a=4,b=1,椭圆 C 的方程为:2x2.+y=1.4(2)当斜率不存在时,设 l:x=m,A(m,yAbB(m,一丫人)kP2AkP2B1=二=_1mmm得m=2,此时l过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足.当斜率存在时,设 l：y=kx+b(b#1)y=kxb 联立22cx4

30、y-4=02_-8kb4b-4x1x2-2xXIx-214k14k2,整理得 14k2x28kbx4b2-4=0那么 kP2A-kP2B二七1-为二1Kx2x2kxb-x2xkxb-xxx2228kb2-8k-8kb28kb14k224b-414k28kb-1=_1,又b#14b1b-1=b=2k-1,此时A=-64k,存在k使得A.成立.,直线 l 的方程为 y=kx_2k-1当 x=2 时,y=1所以 l 过定点(2,-1 卜21.(12 分)函数 f(x.ae2x+(a-2px-x.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)假设 f(x)有两个零点,求 a 的取值范围.【解析】(1)由于 f(

31、x)=ae2x+(a-2)exx故 fx=2ae2x,1a-2ex-1=aex-12ex1当 aE0 时,aex-10.从而 f(x)0时,令f(x)=0,从而aex_1=0,得x=-lna.x_lna)-lna(一 lna,+8)f(x)0+f(x)单调减极小值单调增综上,当 aW0 时,f(x)在R上单调递减；当 a0 时,f(x)在(-o,lna)上单调递减,在(lna,飞 c)上单调递增(2)由(1)知,当a0 时,fmin=f(Tna)=1十 lna.人 1令 g(a)=1-+lna.人 1 一 11.一,令 g(a)=1一十 lna(a0),那么 g(a)=+-0.从而 g(a)在(0,十兀)上单倜 aaa增,而 g(1)=0.故当 0a1 时,g(a)1 时 g(a)01=1_+lna=g(a)