2018年大学自主招生数学考试

1、A、296B、221C、225D、6412021 年北京大学自主招生数学模拟试题做题时注意：1、试卷总分值 150 分;测试时间：120 分钟.2、试卷共三大题,计 16 道题.测试结束后,将本卷及演算的草稿纸一并上交.一、选择题(共5小题,每题6分,共30分.以下每题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内.不填、多填或错填均不得分)嚼徐润属彩瘗琳5尻赖.221、如果关于 x 的方程x-ax+a-3=0至少有一个正根,那么实数 a 的取值范围是()A、-2a2B、JaW2c、-73aW2D、-V3a22、如图,：点E、F分别是正

2、方形ABCD的边AB、BC的中点,BD、DF分别交CE于点G、H,假设正方形ABCD的面积是 240,那么四边形BFHG的面积等于()沟靖金富爱建谴净.A、26B、28C、24D、303、设x、y、z是两两不等的实数,且满足以下等式:Vx3(yx)3+%；x3(z-x)3=Vy-x-Vx-z,x3y3z3-3xyz的值是(A、0B、1C34、如图,四边形BDCE内接于以BC为直径的.A,:3BC=10,cos/BCD=,/BCE=301那么线段DE的长5是()A、89B、7v13C、4+3,3D、3+435、 某学校共有 3125 名学生,一次活动中全体学生被排成一个n排的等腰梯形阵,且这n排

3、学生数按每排都比前一排多一人的规律排列,那么当n取到最大值时,排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数)r钢极镇桧猪锥.D、条件缺乏,无法计算残鸯楼静铸二、填空题：共5小题,每题6分,共30分6、：实常数a、b、c、d同时满足以下两个等式：asinH+bcosHc=0；acosBbsin日+d=0其中6为任意锐角,那么a、b、c、d之间的关系式是：7、函数y=x-1+2x-2+3x-3+4x-4的最小值是.8、一个三角形的周长和面积分别是 84、210,一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置如图,那么这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的局部的面积是.弹贸摄尔霁毙

4、撰砖卤尻.组p,q,r是.、解做题共6题,共90分11、此题总分值 12 分赵岩,徐婷婷,韩磊不但是同班同学,而且是非常要好的朋友,三个人的学习成绩不相伯仲,且在整个年级中都遥遥领先,高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学.后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告.报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解,英文中的a,b,c,|IH|,z26个字母不管大小写依次用1,2,3,111,26这 26 个自然数表示,并给出如下一个变换公式：II养技箧忘类蒋蔷.x+1其中x是不超过26勺正奇数y=21；对于任意的实数x,记号x表示xy1+13其中x是不超过26勺正偶数81不超过

5、x的最大整数；将英文字母转化成密码,如8T8_+13=17,即h变成q,再2,11.如11T一+1=6,即k变成f.他们给出以下一组号：etwcvcjwejncjw厦礴恳蹒骈2wcabqcv,把它译出来就是一句很好的临别赠言.现在就请你把它译出来,并简单地9、:那么V2可用含有理系数三次多项式来表示为：2=10、设 p、q、r 为素数,那么方程p3=p2+q2+r2的所有可能的解 p、q、r 组成的三元数写出译过程.12、此题总分值 15 分如果有理数m可以表示成2x2-6xy+5y2其中x、y是任意有理数的形式,我们就称m为“世博数.个“世博数a、b之积也是“世博数吗？为什么？证实：两个“世

6、博数a、bb#0之商也是“世博数.13、此题总分值 15 分如图,在四边形ABCD中,ABC、BCD、ACD的面积之比是3：1：4,点E在边AD上,CE交BD于G,设里=匹=k.GDEA求37k2+20的值；BHOOOO假设点H分线段BE成=2的两段,且AH+BH+DH=p,试用含p的代数HE式表示ABD三边长的平方和.14、此题总分值 16 分观察以下各个等式：12=1,12+22=5,12+22+32=14,12+22+32+42=301.2_2_222你能从中推导出计算1+2+3+4+十n的公式吗？请写出你的推导过程；请你用中推导出的公式来解决以下问题：2：如图,抛物线y=-x+2x+3

7、与x、y轴的正半轴分别交于点A、B,将线段OAn等分,分点从左到右依次为A、A、A、APA、4、An,分别过这n-1个点作x轴的垂线依次交抛物线于点BpB2、B3、B4、B5、B6、Bn,设OBA、AB1A2、4B2A3、A3B3A4、AnBnA的面积依次为当n=2021时,求&+S2+S3+S4+&+|+S2021的值;试探究：当15、此题总分值 16 分有如下图的五种塑料薄板厚度不计：两直角边分别为 3、4 的直角三角形ABC;腰长为 4、顶角为36口的等腰三角形JKL；腰长为 5、顶角为120叩勺等腰三角形OMN;两对角线和一边长都是 4 且另三边长相等的凸四边形PQRS;长为 4 且宽小于长与长的比是黄金分割比的黄金矩形WXYZ.它们都不能折叠,现在将它们一一穿过一个内、外径分别为 2.4、2.7 的铁圆环.我们规定：如果塑料板能穿过铁环内圈,那么称为此板“可操作；否那么,便称为“不可操作.证实：第种塑料板“可操作；求：从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作的概率.16、此题总分值 16 分定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆.如下图,：OI是ABC的BC边上的旁切