二次函数与一元二次方程知识点及经典例题

1、二次函数y=ax2bxc与ax2bxc =0（a0）的关系1、 一元二次方程ax2bxc =0（a0）的根是二次函数y=ax2bxc（a0）与x轴交点的横坐标，反之y=ax2bxc（a0）与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2bxc =0（a0）的根；52、 一元二次方程ax2bxc =0（a0）根情况的判别即二次函数y=ax2bxc（a0）与x轴交点个数情况：判别式直接看方程平移例1：抛物线y=ax2bxc图像如下， 则 ax2bxc =0的根有 （ ）个ax2bxc+30的根有（ ）个ax2bxc40的根有（ ）个 x例2：若关于x的不等式组 无解，则二次函数y=（a-2）x2-x与X x

2、 轴交点有（ ）个；例3：一元二次方程与X轴的交点个数为（ ）个；例4：二次函数y=ax2bxc（a0）的图像如图所示，根据图像解答下列问题：（1） 写出方程ax2bxc =0的两个根；（2） 写出不等式ax2bxc >0的解集；（3） 写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范值；（4） 若方程ax2bxc =k有两个不相等的实数根，求k的取什范围。 32213、 韦达定理在二次函数y=ax2bxc（a0）中的应用（） 已知其中一个交点，求另一个交点：例5：若抛物线与X轴的一个交点是（2，0）则另一个交点是（ ）； 求两交点A,B线段的长度例6：若抛物线与X轴的交点为A，B，且AB的长度

3、为10，求a 利用韦达定理求面积：例7：抛物线与X轴的一个交点是A(3，0），另一个交点是B，且与y轴交于点C， （1）求m的值；（2）求点B的坐标；（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x>0，y>0），使，求点D的坐标。y例5：已知如图，二次函数与x轴于A,B两点，若OA:OB=3:1，求mxBAO例6：已知二次函数的图像交x轴于A(，0)、B（，0）两点，交y轴正半轴于点C，且。（1） 求此二次函数的解析式； （）（2） 是否存在过点D(0，)的直线与抛物线交于点M、N,与x轴交于E点，使得M、N关于点E对称？若存在，求直线MN的解析式；若不存在，请说明理由。4、 抛

4、物线ax2bxc =0与x轴交点及对称轴之间的关系；设抛物线与x轴的交点为A(，0)和B（，0）则对称轴为直线，抛物线任纵坐标相等的两点关于对称轴对称，即若有，则则对称轴为直线。31例10：已知二次函数的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程的解是（ ）5. 若二次函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴共有两个交点，则a可取( )6. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）经过点M（-1，2）和点N（1，-2），交x轴于A，B两点，交y轴于C则：b=-2； 该二次函数图象与y轴交于负半轴； 存在这样一个a，使得M、A、C三点在同一条直线上； 若a=1，则OAOB=OC2以

5、上说法正确的有（） A B C D解析：解：二次函数y=ax2+bx+c（a0）经过点M（-1，2）和点N（1，-2），2ab+c 2a+b+c解得b=-2 故该选项正确方法一：二次函数y=ax2+bx+c，a0该二次函数图象开口向上点M（-1，2）和点N（1，-2），直线MN的解析式为y=-2x，根据抛物线的图象的特点必然是当-1x1时，二次函数图象在y=-2x的下方，该二次函数图象与y轴交于负半轴；方法二：由可得b=-2，a+c=0，即c=-a0，所以二次函数图象与y轴交于负半轴故该选项正确根据抛物线图象的特点，M、A、C三点不可能在同一条直线上故该选项错误当a=1时，c=-1，

6、该抛物线的解析式为y=x2-2x-1当y=0时，0=x2-2x+c，利用根与系数的关系可得 x1x2=c，即OAOB=|c|，当x=0时，y=c，即OC=|c|=1=OC2，若a=1，则OAOB=OC2，故该选项正确 总上所述正确 故选C7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=kx+b（k0）与反比例函数y2m/x(m0)交于A（-2，n）及另一点B，与两坐标轴分别交于点C、D过A作AHx轴于H，若OC=2OH，且ACH的面积为9（1）求一次函数与反比例函数的解析式及另一交点B的坐标；（2）根据函数图象，直接写出当y1y2时自变量x的取值范围解析：（1）A（-2，n），OH=2，O

7、C=2OH=4，CH=2+4=6，SACH1/2CH|yA|1/2×6n9n=3，（2分）A（-2，3），C（4，0），一次函数图象过点A（-2，3），C（4，0），y11/2x+2（4分）3m/-2，m=-6y26/x，B（6，-1）；（8分）（2）x-2或0x6（10分）8. 已知二次函数y=x2+ax+a-2(1)说明y=ax2+ax+a-2与x轴有两个不同交点（2）求出交点距离（用a的 表达式）解析：(1)因为a2-4(a-2)=(a-2)2+40，（即y=0时，方程x2+ax+a-20有两个不同的实数根），故y=x2+ax+a-2与x轴有两个不同交点。 （2）令交点坐标为（x1,0)、(x2,0),且：x2x1，故：交点距离x2-