矩形、菱形、正方形

1、初二特优生辅导矩形、菱形、正方形【知识梳理】 姓名_ （一）【知识结构】 （二）【几种特殊四边形的性质】边角对角线平行四边形对边平行且相等对角相等两条对角线互相平分矩形对边平行且相等四个角都是直角两条对角线互相平分且相等菱形对边平行四边相等对角相等两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角正方形对边平行四边相等四个角都是直角两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角（三）【几种特殊四边形的常用判定方法】平行四边形（1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；（3）一组对边平行且相等；（4）两条对角线互相平分；（5）两组对角分别相等。矩形（1）有三个是直角；（2）是平行四边形且有

2、一个角是直角；（3）是平行四边形且两条对角线相等。菱形（1）四条边都相等；（2）是平行四边形且有一组邻边相等；（3）是平行四边形且两条对角线互相垂直。正方形（1）是矩形，且有一组邻边相等；（2）是菱形，且有一个角是直角。（4） 【几个重要结论】1同底(等底)同高(等高)的三角形面积相等2同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等3菱形的面积等于两对角线乘积的一半或边长乘以高4直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半5直角三角形中，如果有一个锐角等于30°,那么30°所对的直角边等于斜边的一半6. 连接三角形任意两边中点所得线段叫三角形中位线，三角形的中位线平行于第三边并且等于

3、第三边的一半二、精典题例巧解点拨例1、（1）对角线_的平行四边形是菱形，对角线_的四边形是菱形；（2）、对角线_的平行四边形是矩形，对角线_的四边形是矩形。（3）、对角线_的平行四边形是正方形，对角线_的矩形是正方形，对角线_的菱形是正方形，对角线_的四边形是正方形。(4)、顺次连接平行四边形四边中点所得的四边形是_形，顺次连接菱形四边中点所得的四边形是_形，顺次连接矩形四边中点所得的四边形是形，顺次连接正方形四边中点所得的四边形是_形.(5)、顺次连接任意四边形四边中点所得四边形是_形，顺次连接对角线互相垂直的四边形的四边中点所得四边形是_形，顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所得四边形是

4、_形，顺次连接对角线互相垂直并且相等的四边形的四边中点所得四边形是_形。3、(1)、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作BPOC，且BP=OC，连接CP，试说明：四边形CODP的形状并证明你的结论。（2）、如果题目中的矩形变为菱形（如图），结论应变为什么？_.(3)、如果题目中的矩形变为正方形（如图），结论应变为什么？_.如果题目中的矩形变为菱形（如图），结论应变为什么？_.FEOBACD例2.在矩形ABCD中DF平分ADC，交AC于E，交BC于F，BDF=15°，求COF的度数。例3、如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M、N分别是AB、B

5、C边上的中点, 则MP+NP的最小值是_练习：(1).如图，点P是边长为4的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，BAD=60°，点M是AB边上的中点，求MP+BP的最小值是_.（2）、如图，G是矩形ABCD的边AD上一点，BG=DG ,P 是对角线BD上的点，PEBG于E，PFAD于F。求证：PE+PF=AB例4、如图，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PEBC于E，PFDC于F，连接EF。求证：（1）AP=EF （2）APEF跟踪练习：1、（2004黑龙江）已知，如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN最小值为_.2、如图，正方形A

6、BCD中，E是AD中点，EC交BD于F,与EB交于G。求证：AFBE3.如图，E是已知正方形ABCD的BC边沿长线上一点，AE交DC于H，交BD于F，G是HE的中点。连接FC、GC。求证：FCGC例5：已知，ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MNBC，MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F。CBEODNFAM（1）求证：EO=FO。（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论。练习：如图，在ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边ABD，等边ACE、等边BCF(1)试说明：四边形DAEF是平行四边形；(2)探究下列问题：(只填满足的条件

7、，不需证明)当ABC满足_条件时，四边形DAEF是矩形；当ABC满足_条件时，四边形DAEF是菱形；当ABC满足_条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在例6.如图：ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD=12cm，AC=6cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度运动.（1）若点E、F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形.（2）在（1）的条件下，当AB为何值时，四边形AECF是菱形；四边形AECF可以是矩形吗？为什么？例7（2010河南）（1）操作发现如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿BE

8、折叠后得到GBE，且点G在举行ABCD内部小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由（2）问题解决保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值；（3）类比探求保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值例8、已知，正方形ABCD中，MAN=45°，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线)于点M、N。当MAN绕点A旋转到BM=DN时，（如图1），易证BM+DN=MN;(1) 当MAN绕点A旋转到BMDN时，（如图2），线段BM、DN、MN之间有怎样的数量关系？写出猜想并证明。1. ）（3）DNCMBA）(2)M）C）D）N）A）B）（1）

9、DNCMBA）(2) 当MAN绕点A旋转到如图3时，线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想。【当堂检测】一、填空、选择1矩形ABCD的边AB的中点为P，且DPC为直角，则AD：BA2已知矩形ABCD中，对角线AC，BD交于O点，AOB=2BOC，AC=18cm，则AD=cm.3.矩形的边长为10cm和15cm，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分为_.4菱形ABCD中，BAD=120°，AB=10cm，则AC=_cm5若一条对角线平分平行四边形的一组对角，且一边长为a时，周长为_6若菱形的两条对角线的比为3：4，且周长为20cm，它的一组对边的距离为2.

10、4cm，它的两条对角线的长分别为_7.如图,矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是_.8已知正方形的一条对角线长为4cm，则它的面积是_cm28.E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，CECA，AE交CD于F，则AFC _ .9.如图是一块矩形ABCD的场地，长AB=102 m，宽AD=51 m，从A、B两处入口的中路宽都为1 m，两小路会合处路宽为2 m，其余部分为草坪，则草坪面积为_10.下列说法中正确的是( )A.一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形B.四个角都相等的四边形是矩形C.菱形的对角线相等且每条对角线平分一组对角D

11、.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形11.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )A.对角线互相平分 B.对角线相等C.对角线互相平分且相等 D.对角线互相垂直二、解答题：11（北京市竞赛题）、将边长为12的正方形ABCD折叠，使得A点落在边CD上的E点，然后压平得折痕FG，若FG的长为13，求线段CE的长。FABDECGH课后作业姓名_1.等边AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在BC、CD上，则B的度数是_.2.正方形ABCD中，点E、F分别在、上，BAE30°,DAF15°, 则AEF的面积为_.a123S4S1S2S33、（2010 菏泽）如图，在直

12、线a上依次摆放着七个正方形，已知斜放的三个正方形的面积分别为1、2、3。则。4(重庆市竞赛题)如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P为AB上的动点，PEAC于E，PFBD于F，求：PE+PF=_.5、如图，正方形ABCD中，E、F分别是AD、AB边上的中点，CE、DF交于G，连结BG。求证：BG=B C6、如图，正方形ABCD中，F是对角线BD上一点，E是BC边上一点，连接FD、FE。若AE=DF。求证：EFC是等腰直角三角形。7. 在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12，BD=16，E为AD的中点，点P在BD上移动，若POE为等腰三角形，则所有符合条件的点P共有_个8. 如图, 正方形 ABCO放