傅里叶变换与系统的频域分析

1、信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-1页电子教案第三章第三章 傅里叶变换和系统的频域分析傅里叶变换和系统的频域分析3.1 3.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数 一、正交函数集一、正交函数集 二、信号分解为正交函数二、信号分解为正交函数3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数 一、周期信号的分解一、周期信号的分解 二、奇、偶函数的傅里叶级数二、奇、偶函数的傅里叶级数 三、傅里叶级数的指数形式三、傅里叶级数的指数形式3.3 3.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 一、周期信号的频谱一、周期信号的频谱 二、周期矩形脉冲的频谱二、

2、周期矩形脉冲的频谱 三、周期信号的功率三、周期信号的功率3.4 3.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 一、傅里叶变换一、傅里叶变换 二、奇异函数的傅里叶变换二、奇异函数的傅里叶变换3.5 3.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 一、线性一、线性 二、奇偶性二、奇偶性 三、对称性三、对称性 四、尺度变换四、尺度变换 五、时移特性五、时移特性 六、频移特性六、频移特性 七、卷积定理七、卷积定理 八、时域微分和积分八、时域微分和积分第三章第三章 傅里叶变换和系统的频域分析傅里叶变换和系统的频域分析信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-2页电子教案

3、第三章第三章 傅里叶变换和系统的频域分析傅里叶变换和系统的频域分析3.6 3.6 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 一、正、余弦函数的傅里叶变换一、正、余弦函数的傅里叶变换 二、一般周期函数的傅里叶变换二、一般周期函数的傅里叶变换 三、傅里叶系数与傅里叶变换三、傅里叶系数与傅里叶变换3.7 LTI3.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析 一、频率响应一、频率响应 二、无失真传输二、无失真传输 三、理想低通滤波器的响应三、理想低通滤波器的响应3.8 3.8 取样定理取样定理 一、信号的取样一、信号的取样 二、时域取样定理二、时域取样定理 三、频域取样定理三、频域取样定理第三章第三章 傅

4、里叶变换和系统的频域分析傅里叶变换和系统的频域分析信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-3页电子教案第三章第三章 傅里叶变换和系统的频域分析傅里叶变换和系统的频域分析 法国数学家、物理学家。法国数学家、物理学家。1768年年3月月21日生于日生于欧塞尔，欧塞尔，1830年年5月月16日卒于巴黎。日卒于巴黎。 1807年向巴黎科学院呈交年向巴黎科学院呈交热的传播热的传播论文，推导出著名论文，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以

5、展成三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。的无穷级数。 1822年在代表作年在代表作热的分析理论热的分析理论中解决了热在非均匀加中解决了热在非均匀加热的固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例热的固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例证之一，对证之一，对1919世纪数学和理论物理学的发展产生深远影响。世纪数学和理论物理学的发展产生深远影响。傅傅里叶分析等理论均由此创始。里叶分析等理论均由此创始。（傅里叶级数（即三角级数）、（傅里叶级数（即三角级数）、傅里叶积分、傅里叶变换，这些统称为傅里叶分析。）傅里叶积分、傅里叶变换，这些统称为傅里叶

6、分析。）其他贡其他贡献有：最早使用定积分符号，改进了代数方程符号法则的证法献有：最早使用定积分符号，改进了代数方程符号法则的证法和实根个数的判别法等。和实根个数的判别法等。 傅里叶简介傅里叶简介信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-4页电子教案3.1 3.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数3.1 3.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数一、矢量正交与正交分解一、矢量正交与正交分解 时域分析的要点时域分析的要点是，以是，以冲激函数冲激函数为为基本信号基本信号，任意，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而输入信号可分解为一系列冲激函数；而y

7、f (t) = h(t)*f(t)。 本章将以本章将以正弦信号正弦信号和和虚指数信号虚指数信号e jt为为基本信号基本信号，任，任意输入信号可分解为一系列意输入信号可分解为一系列不同频率不同频率的正弦信号或虚指的正弦信号或虚指数信号之和。数信号之和。 这里用于系统分析的独立变量是这里用于系统分析的独立变量是频率频率。故称为。故称为频域频域分析分析。 矢量矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义：正交的定义：其其内积内积为为0。即。即031iyixiyxvvVV信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点

8、实验室第3-5页电子教案3.1 3.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数由两两正交的矢量组成的矢量集合由两两正交的矢量组成的矢量集合-称为称为正交矢量集。正交矢量集。如三维空间中，以矢量如三维空间中，以矢量vx=（2，0，0）、）、vy=（0，2，0）、）、vz=（0，0，2)所组成的集合就是一个所组成的集合就是一个正交矢量集正交矢量集。 例如例如对于一个三维空间的矢量对于一个三维空间的矢量A =(2，5，8)，可以用，可以用一个三维正交矢量集一个三维正交矢量集 vx，vy，vz分量的线性组合表示。分量的线性组合表示。即即 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空间正交分解的概念可推

9、广到矢量空间正交分解的概念可推广到信号信号空间空间：在信：在信号空间找到若干个号空间找到若干个相互正交的信号相互正交的信号作为基本信号，使得作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。 信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-6页电子教案3.1 3.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-7页电子教案3.1 3.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数二、信号正交与正交函数集二、信号正交与正交函数集1.

10、 定义：定义： 定义在定义在(t1，t2)区间的两个函数区间的两个函数 1(t)和和 2(t),若满足若满足 210d)()(*21ttttt(两函数的内积为两函数的内积为0)则称则称 1(t)和和 2(t) 在在区间区间(t1，t2)内内正交正交。 2. 正交函数集：正交函数集： 若若n个函数个函数 1(t)， 2(t)， n(t)构成一个函数集，构成一个函数集，当这些函数在区间当这些函数在区间(t1，t2)内满足内满足 21, 0, 0d)()(*ttijijiKjittt则称此函数集为在则称此函数集为在区间区间(t1，t2)上的上的正交函数集正交函数集。 信号与系统信号与系统安庆师范学院

11、计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-8页电子教案3.1 3.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数3. 完备正交函数集：完备正交函数集： 如果在正交函数集如果在正交函数集 1(t)， 2(t)， n(t)之外，之外，不存在任何函数不存在任何函数 (t)(0）满足）满足 则称此函数集为则称此函数集为完备正交函数集完备正交函数集。例如：例如：三角函数集三角函数集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 和和虚指数函数集虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，是两组典型的是两组典型的在区间在区间(t0，t0+T)(T=2/)上的完备正交函数集。上的完备正交函数集。210d)

12、()(ttittt( i =1，2，n)信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-9页电子教案3.1 3.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数三、信号的正交分解三、信号的正交分解 设有设有n个函数个函数 1(t)， 2(t)， n(t)在区间在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这用这n个正交个正交函数的线性组合来近似，可表示为函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)C1 1+ C2 2+ Cn n 问题：问题：如何选择各系数如何选择各系数Cj使使f(t)与近似函数之间误差在与近似函数之间误

13、差在区间区间(t1，t2)内为最小。内为最小。 通常使误差的方均值通常使误差的方均值(称为称为均方误差均方误差)最小。均方误最小。均方误差为：差为： ttCtfttttnjjjd )()(12121122信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-10页电子教案3.1 3.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数为使上式最小（系数为使上式最小（系数Cj变化时），有变化时），有0d)()(21122ttnjjjiittCtfCC 展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为不为0，写为：，写为： 210d)

14、()()(222ttiiiiittCttfCC即：即： 21210d)(2d)()(22ttiittittCtttf所以系数所以系数212121d)()(1d)(d)()(2ttiittittiitttfKtttttfC信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-11页电子教案3.1 3.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数代入，得最小均方误差代入，得最小均方误差0d)(112212221njjjttKCttftt 在用正交函数去近似在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数时，所取得项数越多越多，即，即n越大，则均方误差越大，则均方误差越小越小。当

15、。当n时（为完备正交函数时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有集），均方误差为零。此时有 12221d)(jjjttKCttf 上式称为上式称为(Parseval)帕斯瓦尔方程（公式）帕斯瓦尔方程（公式），表明：，表明：在区间在区间(t1,t2)， f(t)所含能量恒等于所含能量恒等于f(t)在完备正交函数在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。集中分解的各正交分量能量的总和。 1)()(jjjtCtf函数函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和可分解为无穷多项正交函数之和信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-12页电子教案4.2 4

16、.2 傅里叶级数傅里叶级数3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数一、傅里叶级数的三角形式一、傅里叶级数的三角形式 设周期信号设周期信号f(t)，其周期为，其周期为T，角频率，角频率 =2 /T，当，当满足满足狄里赫利狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三条件时，它可分解为如下三角级数角级数 称为称为f(t)的的傅里叶级数。傅里叶级数。 110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatf系数系数an , bn称为称为傅里叶系数。傅里叶系数。 22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTb可见，可见， an 是是n的偶

17、函数，的偶函数， bn是是n的奇函数。的奇函数。信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-13页电子教案3.2 3.2 傅里叶级数傅里叶级数10)cos(2)(nnntnAAtf式中，式中，A0 = a022nnnbaAnnnabarctan 上式上式表明表明：周期信号可分解为直流和许多余弦分量。：周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中，其中， A0/2为为直流分量直流分量； A1cos( t+ 1)称为称为基波或一次谐波基波或一次谐波，它的角频率与原周，它的角频率与原周期信号相同；期信号相同； A2cos(2 t+ 2)称为称为二次谐波二次谐波

18、，它的频率是基波的，它的频率是基波的2倍；倍；一般而言，一般而言，Ancos(n t+ n)称为称为n次谐波次谐波。 可见可见An是是n的偶函数，的偶函数， n是是n的奇函数。的奇函数。 an = Ancos n， bn = Ansin n，n=1,2,将上式同频率项合并，可写为将上式同频率项合并，可写为信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-14页电子教案3.2 3.2 傅里叶级数傅里叶级数例例1：将图示方波信号：将图示方波信号f(t)展开为傅里叶级数。展开为傅里叶级数。解：解：( )3,2 /2 /3f tTT 为的周期信号，傅里叶系数为022

19、022222( )cos()( 1) cos()1 cos()TTTTnaf tn t dtn t dtn t dtTTT02 12 1 sin()sin() 202Tn tn tTT nT n考虑到考虑到=2/T，可得：，可得：0na 信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-15页电子教案3.2 3.2 傅里叶级数傅里叶级数信号的傅里叶级数展开式为：信号的傅里叶级数展开式为：011( )cos()sin()2nnnnaf tan tbn t022022222( )sin()( 1) sin()1 sin()TTTTnbf tn t dtn t d

20、tn t dtTTT02 12 1cos() cos() 202Tn tn tTT nT n21 cos() 1 cos()2TnnT n21 cos()nn0,2,4,6,4,1,3,5,nnn4111sin()sin(3)sin(5)sin(),1,3,5,35tttn tnn信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-16页电子教案3.2 3.2 傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-17页电子教案3.2 3.2 傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学

21、院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-18页电子教案3.2 3.2 傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-19页电子教案3.2 3.2 傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-20页电子教案3.2 3.2 傅里叶级数傅里叶级数二、波形的对称性与谐波特性二、波形的对称性与谐波特性1 . .f(t)为偶函数为偶函数对称纵坐标对称纵坐标22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTbbn =0，展开为余弦级数。，展开为余弦级数。2

22、 . .f(t)为奇函数为奇函数对称于原点对称于原点an =0，展开为正弦级数。，展开为正弦级数。 实际上，任意函数实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两都可分解为奇函数和偶函数两部分，即部分，即 f(t) = fod(t) + fev(t) 由于由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以所以 信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-21页电子教案3.2 3.2 傅里叶级数傅里叶级数2)()()(tftftfod2)()()(tftftfve3 . .f(t)为奇谐函数为奇谐函数f

23、(t) = f(tT/2) 此时，其傅里叶级数中只含奇此时，其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分次谐波分量，而不含偶次谐波分量即：量即：a0=a2=b2=b4=0 4 . .f(t)为偶谐函数为偶谐函数f(t) = f(tT/2) 此时，其傅里叶级数中只含偶此时，其傅里叶级数中只含偶次谐波分量，而不含奇次谐波分次谐波分量，而不含奇次谐波分量即量即 a1=a3=b1=b3=0 信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-22页电子教案3.2 3.2 傅里叶级数傅里叶级数三、傅里叶级数的指数形式三、傅里叶级数的指数形式 三角形式三角形式的傅里叶

24、级数，含义比较明确，但运算的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用常感不便，因而经常采用指数形式指数形式的傅里叶级数。可的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用从三角形式推出：利用 cosx=(ejx + ejx)/2 1)()(0ee22ntnjtnjnnnAA110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA10)cos(2)(nnntnAAtf 上式中第三项的上式中第三项的n用用n代换，代换，A n=An， n= n，则上式写为则上式写为 信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-23页电子教案3.2 3.2 傅里叶级数傅里

25、叶级数110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA令令A0=A0 e j 0 e j0 t ， 0=0 ntjnjnnAtfee21)(所以所以令复数令复数nnjnFFAnnee21称其为称其为复傅里叶系数复傅里叶系数，简称傅里叶系数。，简称傅里叶系数。 )(21)sincos(2121nnnnnnjnnjbajAAeAFn222222de)(1d)sin()(1d)cos()(1TTtjnTTTTttfTttntfTjttntfT信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-24页电子教案3.2 3.2 傅里叶级数傅里叶级数ntjnnFt

26、fe)( n = 0, 1, 2， 22de)(1TTtjnnttfTF表明：表明：任意周期信号任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。数信号之和。 Fn 是频率为是频率为n 的分量的的分量的系数，系数，F0 = A0/2为直流分量。为直流分量。信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-25页电子教案3.2 3.2 傅里叶级数傅里叶级数例例2：求如图所示周期信号的指数型傅里叶级数。：求如图所示周期信号的指数型傅里叶级数。解：解：( )3,2 /2 /3f tTT 为的周期信号，指数型傅里叶系数为230211

27、( )23Tjn tjn tjn tnoFf t edtedtedtT23221133j nj nj neeej nj n2321110233jn tjn teejnjn信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-26页电子教案3.2 3.2 傅里叶级数傅里叶级数23221133j nj nj neeej nj n23233j nj neej n423232jnjneejn433(1)2jnejn指数型傅里叶级数为：指数型傅里叶级数为：433( )(1)2jnjn tjn tnnnf tF eeejn信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安

28、徽省智能感知与计算重点实验室第3-27页电子教案3.3 3.3 周期信号的频谱周期信号的频谱3.3 3.3 周期信号的频谱及特点周期信号的频谱及特点一、信号频谱的概念一、信号频谱的概念 从广义上说，信号的某种从广义上说，信号的某种特征量特征量随信号频率变随信号频率变化的关系，称为化的关系，称为信号的频谱信号的频谱，所画出的图形称为信，所画出的图形称为信号的号的频谱图频谱图。 周期信号的频谱周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即相位随频率的变化关系，即 将将An和和 n的关系分别画在以的关系分别画在以为横轴的平为横轴的平面上得到的两个图，分

29、别称为面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图振幅频谱图和和相位频相位频谱图谱图。因为。因为n0，所以称这种频谱为，所以称这种频谱为单边谱单边谱。 也可画也可画|Fn|和和 n的关系，称为的关系，称为双边谱双边谱。若。若Fn为实数，也可直接画为实数，也可直接画Fn 。信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-28页电子教案3.3 3.3 周期信号的频谱周期信号的频谱例：例：周期信号周期信号 f(t) =试求该周期信号的基波周期试求该周期信号的基波周期T，基波角频率，基波角频率，画，画出它的单边频谱图，并求出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率。的平均

30、功率。63sin41324cos211tt解解 首先应用三角公式改写首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即的表达式，即263cos41324cos211)(tttf显然显然1是该信号的直流分量。是该信号的直流分量。34cos21t的周期的周期T1 = 8323cos41的周期的周期T2 = 6所以所以f(t)的周期的周期T = 24，基波角频率，基波角频率=2/T = /12根据帕斯瓦尔等式，其功率为根据帕斯瓦尔等式，其功率为 P= 323741212121122信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-29页电子教案3.3 3.3 周期信号的频谱

31、周期信号的频谱34cos21t是是f(t)的的/4/12 =3次谐波分量；次谐波分量； 323cos41是是f(t)的的/3/12 =4次谐波分量；次谐波分量；画出画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如下图：的单边振幅频谱图、相位频谱图如下图：(a)(b)oAn1264320A2141o33461232n1信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-30页电子教案3.3 3.3 周期信号的频谱周期信号的频谱二、周期信号频谱的特点二、周期信号频谱的特点举例：举例：有一幅度为有一幅度为1，脉冲宽，脉冲宽度为度为 的周期矩形脉冲，其周的周期矩形脉冲，其周

32、期为期为T，如图所示。求频谱。，如图所示。求频谱。 f(t)t0T-T122tTttfTFTTtjnTTtjnnde1de)(1222222sinnnT令令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数取样函数） nnTjnTtjn)2sin(2e122信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-31页电子教案3.3 3.3 周期信号的频谱周期信号的频谱)()2(TnSaTnSaTFn, n = 0 ,1，2， Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设为实数，可直接画成一个频谱图。设T = 4画图。画图。零点为零点为mn2所以所以mn2，m为整数。为整数。Fn0

33、22441特点特点： (1)周期信号的频谱具有谐波周期信号的频谱具有谐波(离散离散)性。谱线位置性。谱线位置是基频是基频的整数倍；的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。一般具有收敛性。总趋势减小。信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-32页电子教案3.3 3.3 周期信号的频谱周期信号的频谱谱线的结构与波形参数的关系：谱线的结构与波形参数的关系：(a) T一定，一定， 变小，此时变小，此时 （谱线间隔）不变。两零点之（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目：间的谱线数目： 1/ =（2 / ）/(2 /T)=T/ 增多。增多。(b) 一定，一

34、定，T增大，间隔增大，间隔 减小，频谱变密。幅度减小。减小，频谱变密。幅度减小。 如果周期如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱离散频谱就过就过渡到非周期信号的渡到非周期信号的连续频谱连续频谱。各频率分量的幅度也趋近。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。于无穷小。 信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-33页电子教案3.2 3.2 傅里叶级数傅里叶级数三、周期信号的功率三、周期信号的功率Parseval等式等式2222220111(

35、 )cos()2TTTTnnnAPft dtAn tdtTT 含义：含义：直流和直流和n次谐波分量在次谐波分量在1 电阻上消耗的平均功电阻上消耗的平均功 率之和。率之和。周期信号一般是功率信号，其平均功率为周期信号一般是功率信号，其平均功率为012nFA22012nnFF22011()22nnAA2|nnF0Fn是 的偶函数表明：表明：对于周期信号，在时域中求得的信号功率与在对于周期信号，在时域中求得的信号功率与在 频域中求得的信号功率相等。频域中求得的信号功率相等。2cos()cos() cos()2nnnnn tm tn tmnTmnA 展开式中具有形式的余弦项，其在一个周期内的积分等于零

36、；具有形式的项，当时，其积分为零，当时，其积分值为。信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-34页电子教案3.4 3.4 傅里叶变换傅里叶变换3.4 3.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换一、傅里叶变换一、傅里叶变换 非周期信号非周期信号f(t)可看成是周期可看成是周期T时的周期信号。时的周期信号。 前已指出当周期前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔趋近于无穷大时，谱线间隔 趋趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之分量的幅

37、度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。间仍有差别。 为了描述非周期信号的频谱特性，引入为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度频谱密度的的概念。令概念。令 TFTFjFnTnTlim/1lim)(单位频率上的频谱）单位频率上的频谱） 称称F(j)为频谱密度函数为频谱密度函数。信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-35页电子教案3.4 3.4 傅里叶变换傅里叶变换22de)(TTtjnnttfTFntjnnTTFtf1e)(考虑到：考虑到：T，无穷小，记为无穷小，记为d； n （由离散量变为连续量），而（由离散量变为连续量），而2d2

38、1T同时，同时， 于是，于是，ttfTFjFtjnTde)(lim)(de)(21)(tjjFtf傅里叶变换式傅里叶变换式“- -”傅里叶反变换式傅里叶反变换式“+”F(j)称为称为f(t)的的傅里叶变换傅里叶变换或或频谱密度函数频谱密度函数，简称，简称频谱频谱。f(t)称为称为F(j)的的傅里叶反变换傅里叶反变换或或原函数原函数。根据傅里叶级数根据傅里叶级数信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-36页电子教案3.4 3.4 傅里叶变换傅里叶变换也可简记为也可简记为 F(j) = F f(t) f(t) = F 1F(j)或或 f(t) F(j)

39、F(j)一般是复函数，写为一般是复函数，写为 F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX() 说明：说明： (1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数 f(t)的傅里叶变换存在的的傅里叶变换存在的充分条件充分条件:ttfd)(2)用下列关系还可方便计算一些积分用下列关系还可方便计算一些积分dttfF)()0(d)(21)0(jFf信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-37页电子教案3.4 3.4 傅里叶变换傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换单边指数函数

40、单边指数函数f(t) = e t(t)， 010tf(t)jjtjFtjtjt1e1dee)(0)(02. 双边指数函数双边指数函数f(t) = et , 0 10tf(t)2200211deedee)(jjttjFtjttjt信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-38页电子教案3.4 3.4 傅里叶变换傅里叶变换3. 门函数门函数(矩形脉冲矩形脉冲)2, 02, 1)(tttg10tg(t)22jtjFjjtj222/2/eede)()2Sa()2sin(24. 冲激函数冲激函数 (t)、 (t)1de)()(ttttjjttttttjtj0e

41、ddde)( )( 信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-39页电子教案3.4 3.4 傅里叶变换傅里叶变换5. 常数常数1有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1， (t) 等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。 可构造一函数序列可构造一函数序列fn(t)逼近逼近f (t) ，即，即而而fn(t)满足绝对可积条件，并且满足绝对可积条件，并且fn(t)的傅里叶变换所的傅里叶变换所形成的序列形成的序列Fn(j )是极限收敛的。则可定义是极限收敛的。则可定

42、义f(t)的傅的傅里叶变换里叶变换F (j )为为)(lim)(tftfnn)(lim)(jFjFnn这样定义的傅里叶变换也称为这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换广义傅里叶变换。 信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-40页电子教案3.4 3.4 傅里叶变换傅里叶变换构造构造 f (t)=e- -t ， 0 222)(jF)(lim1)(0tftf所以所以0,0, 02lim)(lim)(2200jFjF又又2arctan2lim12lim2lim020220dd因此，因此， 1212( ( ) ) 另一种求法另一种求法： (t)1(t)1

43、代入反变换定义式，有代入反变换定义式，有)(de21ttj将将 t t，t-t- )(de21ttj再根据傅里叶变换定义式，得再根据傅里叶变换定义式，得)(2)(2de1ttj信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-41页电子教案6. 符号函数符号函数3.4 3.4 傅里叶变换傅里叶变换0, 10, 1)sgn(ttt10tsgn(t)-1)(lim)sgn(0tft22211)()(jjjjFtfjjjFt22lim)(lim)sgn(22007. 阶跃函数阶跃函数 (t)jtt1)()sgn(2121)(10t(t)00,e0,e)(tttft

44、t构造信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-42页电子教案3.4 3.4 傅里叶变换傅里叶变换归纳记忆：1. F 变换对变换对2. 常用函数常用函数 F 变换对：变换对：t域域域域tetfjFtjd)()(d)(21)(tjejFtf(t)(t) j1)(e - - t (t) j1g(t) 2Sasgn (t) j2e |t| (t) 222 1 12()信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-43页电子教案3.5 3.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质3.5 3.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的

45、性质一、线性一、线性(Linear Property)Proof:ttbftaftjde)()(21ttfttftjtjde)(bde)(a1112()()aF jbFj12( )( )af tbf tF F1212( )( )()()af tbftaFjbFjthenIf1122( )() ,( )()ftFjftFj信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-44页电子教案3.5 3.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example F( j) = ?Ans: f (t) = f1(t) g2(t)f1(t) = 1 2()g2(t) 2

46、Sa() F( j) = 2() - - 2Sa()- -信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-45页电子教案3.5 3.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质二、奇偶性二、奇偶性(Parity)If f(t) is real, thentttfjtttfttfjFtjd)sin()(d)cos()(de)()()()(| )(|22XRjF)()(arctan)(RXSo that (1) R()= R( ) , X() = X ( ) |F(j)| = |F( j)| , () = ( )(2) If f(t) = f(-t) ,then X(

47、) = 0, F(j) = R() If f(t) = -f(-t) ,then R() = 0, F(j) = jX()( )( )RjX信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-46页电子教案3.5 3.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质三、对称性三、对称性(Symmetrical Property)If f (t) F(j) thenProof:de)(21)(tjjFtf（1）in (1) t ，t thentjtFftjde)(21)( （2）in (2) - - thentjtFftjde)(21)( F( jt) 2f () endF

48、( jt ) 2f ()信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-47页电子教案3.5 3.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example F(j) = ?211)(ttfAns:22| |2etif =1,2| |12et|2e212 t|2e11t信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-48页电子教案3.5 3.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质四、尺度变换性质四、尺度变换性质(Scaling Transform Property)If f (t) F(j) then where “a”

49、 is a nonzero real constant.Proof: F f (a t ) =teatftjd)(For a 0 ,F f (a t ) d1e)(afajatajFa1for a 0 ,F f (a t ) de)(1d1e)(ajajatfaafajFa1That is ,f (a t ) ajFa|1Also,letting a = - -1,f (- t ) F( - -j) ajFaatf|1)(信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-49页电子教案3.5 3.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example f

50、(t) = F(j) = ?11jtAns:11)(ejtt)(e211jt)(e211 jtUsing symmetry,using scaling property with a = - -1,so that,信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-50页电子教案3.5 3.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质五、时移性质五、时移性质(Time shifting Property)If f (t) F(j) thenwhere “t0” is real constant.)(e)(00jFttftjProof: F f (t t0 ) tttf

51、tjde)(000ede)(tjjttf)(e0jFtj信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-51页电子教案3.5 3.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example F(j) = ? f1(t) = g6(t-5) , f2(t) = g2(t-5) g6(t - 5) g2(t - 5) F(j) =5e)3Sa(6j5e)Sa(2j5e)Sa(2)3Sa(6j0f ( t )t2-1214680f1 ( t )t221468+0f2 ( t )t221468Ans: f (t) = f1(t) + f2(t)信号与系统信号与系统

52、安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-52页电子教案3.5 3.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example Given that f (t)F( j), find f (at b) ?Ans: f (t b) e - -jb F( j)f (at b) ajFabaje|1orf (at) ajFa|1f (at b) =)(abtafajFeabaj|1信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-53页电子教案3.5 3.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质六、频移性质六、频移性质(Frequency Sh

53、ifting Property)If f (t) F(j) thenProof:where “0” is real constant.F e j0t f(t)ttftjtjde)(e0ttftjde)()(0= F j(- -0) end)(e)(00tfjFtjFor example 1f(t) = ej3t F(j) = ?Ans: 1 2() ej3t 1 2(- -3)信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-54页电子教案3.5 3.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 2f(t) = cos0t F(j) = ?An

54、s:tjtjtf00e21e21)(F(j) = (-0)+ (+ +0)For example 3Given that f(t) F(j) The modulated signal f(t) cos0t ? 信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-55页电子教案3.5 3.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质七、卷积定理七、卷积定理(Convolution Property)1、Convolution in time domain：If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)Then f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j)2、Co

55、nvolution in frequency domain：If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)Then f1(t) f2(t) F1(j)*F2(j)21信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-56页电子教案3.5 3.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质Proof:d)()()(*)(2121tfftftf1212( )()ded( )()ed djtjtff ttff ttUsing time shiftingjtjjFttfe)(de)(22So that,1221( )()ed()( )edjjfFjFjf 12()()

56、F jFj12( )*( )f tf tF F12( )*( )f tf tF F信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-57页电子教案3.5 3.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example?)(sin2jFttAns:)Sa(2)(2tgUsing symmetry,)(2)Sa(22gt)()Sa(2gt )(*)(2)(*)(21sin22222ggggttg2()*g2()22- -20F(j)2- -20信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-58页电子教案3.5 3.5 傅里

57、叶变换的性质傅里叶变换的性质八、时域的微分和积分八、时域的微分和积分(Differentiation and Integration in time domain)If f (t) F(j) then )()()()(jFjtfnnjjFFxxft)()()0(d)(ttfjFFd)()()0(0Proof:f(n)(t) = (n)(t)*f(t) (j )n F(j) f(- -1)(t)= (t)*f(t) jjFFjFj)()()0()(1)(信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-59页电子教案3.5 3.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的

58、性质f(t)= 1/t2 ?For example 1Ans:jt2)sgn()sgn(22jt)sgn(1jt)sgn()sgn()(1ddjjtt|)sgn(12t信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-60页电子教案3.5 3.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 2Given that f (t) F1(j)Prooff (t) F1(j) + f(-)+ f() ( )j1)()()()(1)(dd)(d)(1dd)(d)()(11ffjFjtttfjFjtttfftftProof)()()()(1)()(2)(1f

59、fjFjfjFSo)()()()(1)(1ffjFjjFSummary: if f (n)(t) Fn(j)，and f(-)+ f() = 0 Then f (t) F (j) = Fn(j)/ (j)n信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-61页电子教案3.5 3.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 3f(t)2- -20t t2Determine f (t) F (j)f (t)t t2- -20- -11t t2- -2(1)(1)(-2)f (t)Ans:f ” ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2

60、)F2(j)= F f ” ”(t) = e j2 2 + e j2= 2cos(2) 2 F (j) =222)2cos(22)()(jjFNotice:d(t)/dt = (t) 1(t) 1/(j)信号与系统信号与系统安庆师范学院计算机与信息学院-安徽省智能感知与计算重点实验室第3-62页电子教案3.5 3.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质九、频域的微分和积分九、频域的微分和积分(Differentiation and Integration in frequency domain)If f (t) F(j) then (jt)n f (t) F(n)( j) xjxFtfjttfd