一致收敛函数列与函数项级数的性质

1、精选文档§2 一致收敛函数列与函数项级数的性质教学计划：课时教学目的：让学生掌握一致收敛函数列与函数项级数的性质及其应用教学重点：函数列与函数项级数的确定的函数的连续性、可积性与可微性教学难点：在一致收敛的条件下证明各项分析性质教学方法：讲授法教学步骤：本节讨论由函数列与函数项级数的确定的函数的连续性、可积性与可微性定理138设函数列在上一致收敛于，且对每个，则和均存在且相等证先证是收敛数列.对任意，由于一致收敛，故有N，当和任意正整数，对一切有 (1)从而 这样由柯西准则可知是收敛数列设再证由于一致收敛于及收敛于A，因此对任意存在正数N，当时，对任意 同时成立.特别取有又，故存在，

2、当时，这样，当满足时，即 这个定理指出：在一致收敛的条件下，中两个独立变量与，在分别求极限时其求极限的顺序可以交换，即 (2)类似地，若在上一致收敛且存在，可推得；若在上一致收敛和存在，则可推得由定理13.8可得到以下定理定理13.9（连续性）若函数列在区间上一致收敛，且每一项都连续，则其极限函数在上也连续证设为上任一点。由于，于是由定理13.8知亦存在，且，因此在上连续由定理13.9可知：若各项为连续函数的函数列在区间上其极限函数不连续，则此函数列在区间上不一致收敛.例如：函数列的各项在上都是连续的，但其极限函数在时不连续，从而推得在上不一致收敛。定理13.10（可积性） 若函数列在上一致收

3、敛，且每一项都连续，则 证设为函数列在上的极限函数。由定理13.9，在上连续，从而与在上都可积因为在上，故对任给正数，存在N，当时，对一切，都有 再根据定积分的性质，当时有 这就证明了等式（3） 这个定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算的顺序可以交换例1 设函数 其图象如图所示显然是上连续函数列，且对任意又，因此在上一致收敛于的充要条件是由于，因此的充要条件是这样当时，虽然不一致收敛于，但定理的结论仍成立但当时，不一定收敛于，且也不收敛于.例1说明当收敛于时，一致收敛性是极限运算与积分运算交换的充分条件，但不是必要条件定理（可微性）设为定义在上的函数列，若为的收敛点，的每一项在上有

4、连续的导数，且在上一致收敛，则（4）证设，我们要证明函数列在区间上收敛，且其极限函数的导数存在且等于由定理条件，对任一，总有当时，右边第一项极限为A，第二项极限为（定理），所以左边极限存在，记为，则有其中。由的连续性及微积分学基本定理（第十章§5）推得这就证明了等式（4）在定理的条件下，还可推出上请读者自己证明与前面两个定理一样，一致收敛条件是极限运算与求导运算交换的充分条件，而不是必要条件例2函数列与在上都收敛于0，由于 所以导函数在上不一致收敛，但有 在上述三个定理中，我们都 可举出函数列不一致收敛但定理结论成立的例子。在今后的进一步学习中(如实变函数论)我们将讨论使上述定理 成

5、立的较弱的条件。但在目前的一般情况下，只有满足一致收敛的条件，才能保证定理结论的成立。 现在讨论定义在区间上函数项级数 的连续性、逐项求积与逐项求导的性质，这些性质可由函数列的相应性质推出定理（连续性）若函数列级数在区间上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在上也连续这个定理指出：在一致收敛条件下，（无限项）求和运算与求极限运算可以交换顺序，即定理（逐项求积）若函数列级数在上一致收敛，且每一项都连续，则定理（逐项求导）若函数列级数在上每一项都有连续的导函数，为的收敛点，且在上一致收敛，则定理和指出，在一致收敛条件下，逐项求积或求导后求和等于求和后再求积或求导最后，我们指出，本节中六个定理的意义不只是检验函数列或函数项级数是否满足关系式更重要的根据定理的条件，即使没有求出极限函数或函数，也能由函数列或函数项级数本身获得极限函数或和函数的解析性质例3设 证明函数项级数在上一致收敛,并讨论其和函数在上的连续性、可积性与可微性证 对每一个，易见为上增函数，故有 又当时，有不等式，所以