结构动力学研究报告桥梁动力分析与抗震设计

1、东南大学(20212021)年第一学期桥梁动力分析与抗震设计结构动力学研究报告成绩：姓名：张永超学号：122561专业：桥梁与隧道工程授课教师：万水日期：2013年1月目录1 概述31 1模态分析研究背景312模态分析的大体概念313模态分析理论的大体假设314模态分析的方式41 5模态分析的要紧进程42多自由度系统实模态分析52 1引言52 2无阻尼多自由度系统的实模态52 3无阻尼振动系统频响函数92 4粘性比例阻尼系统自由振动112 5粘性比例阻尼系统频响函数132 6结构比例阻尼系统143多自由度系统的复模态分析153 1一样阻尼振动系统的状态方程154 2自由振动下的复模态165 3

2、复特点矢量正交性176 4一样粘性阻尼系统复频率197 5复模态坐标系中的自由响应208 6一样粘性阻尼系统频响函数和脉冲响应函数219 7一样结构阻尼振动系统的频响函数2210 8多自由度系统的传递矩阵及留数矩阵244模态分析实例271概述11模态分析研究背景工程结构跨度变得愈来愈大，结构的动力特性也就显得愈来愈重要因此结构设计师和工程技术人员也对它加倍重视。一方面，通过对结构动力特性优化设计，使结构处于良好的工作状态，保证了结构的平安靠得住性，延长了结构的利用周期和减少了对环境的干扰；另一方面，通过结构的动力特性可了解复杂结构的结构性能和技术性能，从而作出科学的技术评定。模态分析是结构动力

3、特性分析的一种手腕，通过度析工程结构的模态特性可成立结构在动态鼓励条件下的响应，预测结构在实际工作状态下的工作行为及其对环境的阻碍。从20世纪40年代至今，模态分析技术的研究取得了必然进展。模态分析最初用于航天器动态特性研究，主若是在机械阻抗的概念上提出。由于那时模态测试技术依托于昂贵笨重的窄带模拟谱分析仪，严峻限制了模态分析技术的进展，以致尔后的40年大体处于寂静状态。20世纪70年代初期，快速傅里叶（FFT）谱分析仪的商业化、离散数据搜集器及便携高效且相对低本钱的电子运算机的显现，为模态测试手腕提供了便利条件，模态分析的进展和应用从此产生飞跃形成了今天如此一套较为完整的独特理论和方式。12

4、模态分析的大体概念简单地说，模态分析是一种分析方式，是依照结构的固有特性（包括频率、阻尼和模态振型）这些动力学属性去描述结构的进程。严格从数学意义上概念是指将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标，对方程解耦使之成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，以便求出系统的模态参数。坐标变换的变换矩阵为模态矩阵，其每列为模态振型。因此，模态变换是将方程从物理空间通过模态变换方程变换到模态空间的进程；是将一组复杂的、耦合的物理方程变换成一组单自由度系统的、解的方程的进程。模态分析的最终目标是在识别出系统的模态参数、为结构系统的振动特性分析、振动故障诊断和预报和结构动力特性的优化设计提供

5、依据。因此，从根上讲，模态分析要紧研究结构的固有特点，明白得固有频率和模态振型有助于设计噪声和振动应用方面的系统。模态分析要紧用于：评判现有结构的动态特性；振动故障诊断和预报；深切洞察振动发生的全然缘故；有助于识别出设计中的薄弱环节；结构动力学修改（SMD）；监测结构渐变；结构健康监测（SHM）；查验产品质量；验证有限元模型等。目前，模态分析作为一种分析手腕，普遍用于航空航天、船舶、汽车、土木、桥梁、机械等行业。13模态分析理论的大体假设模态分析理论的大体假设是：1、线性假设：结构的动态特性是线性的，确实是说任何输入组合引发的输出等于各自输出的组合，其动力学特性能够用一组线性二阶微分方程来描述

6、。每次进行模态测试时，应当第一检查结构的线性动态特性。2、时不变性假设：结构的动态特性不随时刻转变，因此微分方程的系数是与时刻无关的常数。由于不能不在结构上安装振动传感器的附加质量，可能显现典型的时不变性问题。3、可观测性假设：这意味着用以确信咱们所关切的系统动态特性所需要的全数数据都是能够测量的。为了幸免显现可观测性问题，合理地选择响应自由度是超级重要的。4、互易性假设：结构应该遵从Maxwell互易性原理，即在q点输入所引发的p点响应，等于在p点的相同输入所引发的q点响应。此假设使得质量矩阵、刚体矩阵、阻尼矩阵和频响函数都成了对称矩阵。14模态分析的方式研究结构的动力学特性有两种方式，一种

7、是实验法、与实验法相对应的模型称为模态模型，另一种是数值计算法、与数值计算方式相对应的模型称为直接模型。若是模态分析进程是由有限元计算的方式取得的，那么称为计算模态分析。若是是通过实验搜集系统输入与输出信号通过参数识别而取得模态参数，那么称为实验模态分析。数值计算法（利用有限元软件计算），即依照结构的几何形状、边界条件和材料属性，将结构的质量散布、刚度散布和阻尼散布别离用质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵表示出来，通过质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵确信结构的模态参数。实验法是通过数据搜集设备测量结构上一些测点位置的输入输出，然后将时域数据转换到频域，取得频响函数，再由模态参数估量算法估算结构的模态参数

8、。实验方式仅仅测量结构的输入和输出，意外量结构的质量和刚度。两种方式之间是彼此联系的，通过数值计算能够指导实验，而通过实验又能够修正数值计算结果，和作相关性检查等。工程结构可视一系统，系统的动态特性是指系统随频率、刚度、阻尼转变的特性。它既可用频域的频响函数描述，也可历时域的脉冲响应函数描述。成立频响函数与模态参数之间的关系，以便识别模态参数，是模态分析理论的一项重要内容。1 5模态分析的要紧进程一、动态数据的搜集及频响函数或脉冲响应函数的分析；（1）鼓励方式。实验模态分析是人为地对结构物施加必然动态鼓励，搜集各点的振动响应信号及激振力信号，依照力及响应信号，用各类参数识别方式获取模态参数。鼓

9、励方式不同，相应识别方式也不同。目前要紧由单输入单输出（SISO）、单输入多输出（SIMO）多输入多输出（MIMO）三种方式。以输入力的信号特点还可分为正弦慢扫描、正弦快扫描、稳态随机（包括白噪声、宽带噪声或伪随机）、瞬态鼓励（包括随机脉冲鼓励）等。（2）数据搜集。SISO方式要求同时高速搜集输入与输出两个点的信号，用不断移动鼓励点位置或响应点位置的方法取得振形数据。SIM或MIMO勺方式那么要求大量通道数据的高速并行搜集，因此要求大量的振动测量传感器或激振器，实验本钱较高。（3）时域或频域信号处置。例如谱分析、传递函数估量、脉冲响应测量和滤波、相关分析等。二、成立结构数学模型；依照已知条件，

10、成立一种描述结构状态及特性的模型，作为计算及识别参数依据。目前一样假定系统为线性的。由于采纳的识别方式不同，也分为频域建模和时域建模。依照阻尼特性及频率耦合程度分为实模态或复模态模型等。3、参数识别；按识别域的不同可分为频域法、时域法和混合域法，后者是指在时域识别复特点值，再回到频域中识别振型，鼓励方式不同（SlSO、SIMO、MIMO），相应的参数识别方式也不尽相同。并非越复杂的方式识别的结果越靠得住。关于目前能够进行的大多数不是十分复杂的结构，只要取得了靠得住的频响数据，即利用较简单的识别方式也可能取得良好的模态参数；反之，即利用最复杂的数学模型、最高级的拟合方式，若是频响测量数据不靠得住

11、，那么识别的结果必然可不能理想。4、振型动画；参数识别的结果取得了结构的模态参数模型，即一组固有频率、模态阻尼和相应各阶模态的振形。由于结构复杂，由许多自由度组成的振形也相当复杂，必需采纳动画的方式，将放大了的振形叠加到原始的几何形状上。以上四个步骤是模态实验及分析的要紧进程。而支持那个进程的除激振拾振装置、双通道FFT分析仪、台式或便携式运算机等硬件外，还要有一个完善的模态分析。通用的模态分析软件包必需适合各类结构物的几何物征，设置多种坐标系，划分多个子结构，具有多种拟合方式，并能将结构的模态振动在屏幕上三维实时动画显示。2 多自由度系统实模态分析21引言坐标变换和模态叠加原理是多自由度系统

12、响应分析的模态模型法的基础。模态分析的关键在于找到模态振型矩阵，将其作为一种新的坐标系统的向量基以组成模态坐标系统，并求得响应量在这一坐标系统中的坐标，称之为模态坐标。模态坐标除与激振力有关外，它是假设干参数（称为模态参数）的函数。因此，求取模态参数也是模态分析的内容。求得模态坐标及模态参数后，依照模态叠加原理，即可取得响应的计算模型一模态模型；运用模态模型，即可计算实际鼓励作用下结构的响应，包括位移、速度、加速度，乃至应力、应变。绝大多数振动结构可离散成为有限n个自由度的多自由度系统。对n一个有个自由度的振动系统，需用n个独立的物理坐标描述其物理参数模型。在线性范围内，物理坐标系中的自由振动

13、响应为每一个振动的线性叠加，每一个主振动都是一种特定形态的自由振动（简谐振动或衰减振动），振动频率即系统的主频率（固有频率或阻尼固有频率），振动形态即系统的主振型（模态），对应每一个阻尼系统的主振动有相应的模态阻尼。22无阻尼多自由度系统的实模态一样的，n个自由度系统有n个主频率和个n主振型和n个模态阻尼。多自由度系统具有多个主振型是区别于单自由度系统的最本质的地方。另外，还需讨论多自由度系统的频响函数和脉冲响应函数，即系统的非参数模型。下面假设系统受简谐鼓励，用坐标变换法研究模态参数模型和非参数模型。坐标变换法的基础是求解系统特点值问题。在系统强迫振动微分方程中令鼓励为零，得齐次方程，求解归

14、结为数学上的一个特点值问题。这一特点值问题与一个特定的振动系统相联系，反映了系统的固有特性。特点值（不必然确实是模态频率）与模态频率和模态阻尼相联系，特点矢量（不必然确实是模态矢量）与模态矢量相联系。所有独立的特点矢量组成一矢量空间的完备正交基，这一矢量空间称为模态空间，特点矢量具有特定的加权正交性，以其按列组合组成的特点矢量矩阵为变换矩阵，可将物理空间和模态空间相联系。在模态坐标系中将系统的振动方程解耦，进而求得物理坐标中的响应，频响函数和脉冲响应函数也随之而得。对无阻尼和比例阻尼系统，表示系统主振型的模态矢量是实数矢量，故称实模态系统，相应的模态分析进程称为实模态分析。下面第一介绍实模态分

15、析的大体理论。具有n个自由度的无阻尼系统振动微分方程为：MxKxf(t)M、K为系统的质量矩阵和刚度矩阵，它们均为nn阶实对称矩阵；x,x为位移列阵和加速度列阵，n1阶；f为激振力列阵，n1阶。质量矩阵M为正定矩阵，刚度矩阵K为半正定矩阵。对任何非零的x,x,系统的动能T和势能U：1 T1TTxTMx0,U-xTKx02 2假设K是正定矩阵，那么U>0,系统没有刚体位移，称为正定振动系统；假设是半正定矩阵，那么U0,系统将显现刚体位移，称为半正定振动系统。一个振动系统是正定或半正定，与结构的边界条件有关。自由振动时，令f(t)=0,那么MxKx0。(1)特点值问题设特解xejt一系统自由

16、响应幅值阵列。将xejt代入式MxKx0,取得(K2M)0,当为零时，这是一个广义特点值问题，为特点值，为特点矢量。上式也是以中元素为变量的n阶代数齐次方程组，K2M为其系数矩阵，该方程有非零解的充要条件是其系数矩阵行列式为零，即|K2M|0。式|K2M|0成为特点方程，它是关于2的n次代数方程。设无重根，解此方程得的n个互异正根0i(i1,2,n),通常按升序排列成001020n,式中，0i为振动系统第i阶主频率(模态频率)，对应无阻尼振动系统，主频率即为固有频率。将每一个0i代入式(K2M)0,取得关于i中元素的具有n-1个独立方程的代数方程组。由(K2M)0,共解得n个线性无关非零矢量的

17、比例解，通常选择必然方式进行归一化，称为主振型(模态振型、模态矢量或模态)。无阻尼振动系统主振型为固有振型，现在为实矢量i1i2imiT。特点值与特点矢量称为系统的特点。对n个特点矢量按列排成一个nn阶矩阵12nT称为系统特点矢量矩阵，现在特点矢量即为模态矢量，故又称为模态矩阵。(2)特点矢量正交性任一特点对均知足式(K2M)0。将0i,i代入上式并左乘T(j1,2,n),取得T2T(K0iM)i0(a)再将0i,i代入（K2M）0转置后右乘i,T2T（K:jM）i0（b）其中：KTK,MTM；（a）-（b）得（:j0i）；Mi0（c）系统无重根：ij,020i0：Mi0;当i可时，概念模态质

18、量（主质量）miTMi（d）M正定。将式子（c）代入式子（a）,得TKi0,（ij）（e）当i=j时，概念模态刚度（主刚度）kiTKi（f）K正定或半正定，因此ki0。k；式子（d）、（f）代入式子（a）,有0i,mi式（c）、（d）、（e）、（f）可表示为T0,ijTMi.，（i,j1,2,n）mi,ij上式说明，第j阶模态惯性力在第i阶模态运动中做的功为零；TK i0,i ki,ij.(i,j 1,2, ,n) j第j阶模态弹性力在第i阶模态运动中做的功为零。即各阶模态运动之间不发生能量互换，但每阶模态运动的能量（动能 +势能）是守恒的，这一性质称为特点矢量关于M, K加权正交。模态质量m

19、i和模态刚度ki均与i的大小有关。而 i个元素比例固定、大小不定。归一化方式不同,i大小不同，取得的 mi、ki值也不同。因此，仅讨论 mi、ki的数值大小无直接意义，其比值关系是确信的，即2_ki_0imi（3）实模态坐标系中的自由响应依照特点矢量正交性，n个线性无关的特点向量组成一个n维矢量空间的完备正交基,称这一n维空间为模态空间或模态坐标系。关于实模态系统，以n个模态矢量构造的模态空间为实线性空间。设物理坐标系中矢量x的模态坐标为yi(i1,2,n),那么nxiyiyi1以上式为变换矩阵的线性变换，反映了物理坐标系与模态坐标系间的关系，也称为模态展开定理。n将式xiyiy代入MxKx0

20、,左乘T,利用模态矢量的正交性，得i1diagmjydiagKy0式中diag一对角矩阵。无阻尼自由振动方程变成一组解耦的振动微分方程。正那上式说明，在模态坐标系中,么形式为2-diagoiy依照初始条件，有下式成立y。1 x。1diag miTMx00y。1x。1diag miTMx00模态坐标系中的自由响应V Y sin( 0iti)其中Yi,22y0iy0i 20iarctan上是与初始条件有关的常量。y0i(4)物理坐标系中的自由响应将式 yi Y sin( °iti)代入式xiyiy ,得物理坐标系中的自由响应iYi sin( 0ii)DiSin( 0i i)其中DiiY。

21、若是系统以某阶固有频率0i振动，那么振动规律xiDi sin( 0i i)(i 1,2, ,n)即为无阻尼系统的主振动。依照式DiiYi可知，Yi是与初始条件相关的常量，那么Diio可见，系统以某阶固有频率oi作自由振动时，振动形态与主振型完全相同。这确实是主振型的物理意义。考察主振动下各个物理坐标的振动情形，由式xiDisin(0ii)(i1,2,n),DiiY知为中，每一个元素XjiDsin(oiti)jiYsin(。1i)(j1,2,n),在第i个主振型中，i为与初始条件有关的常量，与物理坐标xji无关。因此，在每一个主振动中各物理坐标的初始相位角i相同。各物理坐标振动的相位角不是同相(

22、相差0度)确实是反相(相差180度)，即同时达到平稳位置和最大位置。这说明，无阻尼振动系统的主振型具有模态(振型)维持性，或“驻波形式”。这是实模态系统的模态特点。2.3无阻尼振动系统频响函数设无阻尼振动系统受简谐鼓励f(t)Fejt,F为鼓励幅值列阵，n1阶。系统稳态位移响应xXejt,X为稳态位移响应幅值列阵,n1阶。将它们代入式MxKx0,得2_(KM)XF,解得XH()F,其中21H()(KM),称为无阻尼振动系统的频响函数矩阵,n阶，是实对称矩阵。将坐标变换式y代入Mx Kx 0 ,左乘,并结合模态矢量正交性，得模态坐标系下的强迫振动方程diagmjydiagkjyTf(t)。设稳态

23、位移响应Uejt,将它代入强迫振动方程，并考虑式f(t)Fejdiagki2miUTF那么Udiag-kiTF。将式xXejUejtn代入式xi1iyi1diag-kimiTFXUdiagTFi1kiT2miF,即称为无阻尼振动系统频响函数矩阵的模态展式nH()i 1T22K mi能够直接写出频响函数矩阵的模态展式，即H()(K2M)11(K2M)1(T)1TnTT(K2M)1Tdiagki2mi1Ti1kimi频响函数模态展式中显含各类模态参数，它是频域法参数识别的基础。系统在单位脉冲力作用下的自由响应称为单位脉冲响应函数。单位脉冲力(t,t0,t关于单自由度系统，脉冲响应函数为h(t)(t

24、)dt 1tsin dt(为衰减系数)2m脉冲响应函数与频响函数是一对Fourier变换对，即H( )Fh(t)脉冲响应函数与频响函数都能反映振动系统动态特性。频响函数在频域内描述系统固有特性，脉冲函数在时域内描述系统的固有特性。脉冲响应函数与频响函数均组成系统的非参数模型，是系统识别的基础。系统的自由响应与脉冲响应函数只相差一个常数因子。频响函数矩阵模态展式H()nT2.2i 1 kimi2i 1 mi 0i其傅氏逆变换为脉冲响应函数矩阵，为n n阶实对称矩阵，即nTh(t)F1H()-sinat(t0)i1mi0ij个物理坐标产其中，第j行第l列元素hji(t)表示仅在第l个物理坐标作用单

25、位脉冲力对第生的脉冲响应，即nTi 1 mi 0ihjl(t)-JULsin0it(t0)2.4粘性比例阻尼系统自由振动具有粘性阻尼的自由度系统振动微分方程为MxCxKxf(t)式中C为粘性阻尼矩阵，nn阶，正定或半正定对称矩阵；x为速度列阵，n阶。粘性阻尼矩阵一样不能利用模态矢量的正交性对角化，故不能应用坐标变换直接将上式解耦。在特殊情形下可利用正交性对角化，如Rayleigh提出的粘性比例阻尼模型CMK、别离为与系统外、内阻尼有关的常数。此式可对角化。对某些小阻尼振动系统，这一模型是有效的。令ft0MxCxKx0,设特解xet,代入上式有特点值问题(2MCK)0。特点方程这是的2n次实系数

26、代数方程。设无重根，解得2n个共轲对形式的互异特点值dt(i 1,2, ,n)dt且J|Jd22i0i(i1,2,n)式中i一衰减系数；di一第i阶阻尼固有频率。i的模等于无阻尼固有频率0i,可见，i反映了系统的固有特性，且具有频率量纲，称为复频率。将2n个特点值i、i代入式(2MCK)0,解得2n个共轲特点矢量i、i。能够证明，它们为实矢量，且与无阻尼振动系统的特点矢量相等，那么j=j，故独立的特点矢量只有n个。将这n个特点矢量i按列排列，的特点矢量矩阵即模态矩阵，nn阶。特点矢量i或模态矩阵不仅具有关于M、K的正交性，还具有关于粘性比例阻尼矩阵C加权正交，即CdiagmiKdiagci式中

27、Ci一模态粘性比例阻尼系数，Gmiki；diagG一模态粘性比例阻尼矩阵。n得一组解耦方程diagm| y将坐标变换式Xiyiy代入式MxCxKx0并考虑特点矢量的正交性,diagqydiagkjy0,正那么形式为diag22iy diag 0iy 0其中 2 i 3(i1,2,mi,n)依照初始条件式得上式解耦方程的解V其中Y将式式中Diy01X01X0Yeitsin(dity0iiy0i)2diyiYeitsin(ditnXiYei1iY(i1,2,n)。若是系统以某阶阻尼固有频率喇小1diagmii)iarctany0ii）代入式Xitsin(ditTMX0TMX0diy0iiy0ii)

28、为与初始条件有关的常量。iyiy得物理坐标系中的自由响应nDie%网diti)i1di振动，那么振动规律XiDieitsin(dii)(i1,2,n)此即粘性比例阻尼系统的主振动,振动形态为Di二因此，主振型i反映了系统主振动的形态式中Xi的每一个元素在第i阶主振动下各个物理坐标的自由响应为xjiDjie it sin(diti)/Yeitsin(仙i)(j1,2,n)2. 5粘性比例阻尼系统频响函数nTh(t)-Je it sin dit(t 0)i 1 mi di设受简谐鼓励fFejt系统稳态位移响应xXejt们代入式MxCxKxf(t),假设写成H()F,那么频响函数矩阵H(2)(K2M

29、jC)H()为复对称矩阵，nn阶。n将坐标变换式xi1iyiy代入式MxCxKxf(t),左乘并结合模态矢量正交性，得解耦方程组diagmydiagcjydiagkjyf(t)将稳态位移响应式yUejt代入上式，并考虑f(t)Fejtdiagki2mijciUTFUdiagki12mi将式xXejUejt代入式xniyii1y并利用得频响函数的模态展式Udiagkidiag-ki12-miJTFmijgi1kiT2-mijCinH()i1kT广，将该矩阵表示为mijgn1H()i1mi(j进行傅氏逆变换，得脉冲响应函数矩阵2. 6结构比例阻尼系统只有结构阻尼的n个自由度系统振动微分方程Mx(K

30、jG)xFejt式中G一结构阻尼矩阵，为正定或半正定实对称矩阵，nn阶。称为(K+jG)复刚度矩阵。假设GMK,那么称为结构比例阻尼。设F=0,那么上式为Mx(KjG)x0,设特解仍为xet,将其代入上式，得2(2MKjG)0上式是以2为特点值、为特点矢量的广义特点值问题。特点方程为2MKjG0可得n个互异复特点值2。2可按无阻尼振动系统特点值求法求出。将式GMK代入上式取得2(J)M(1J)K0参考无阻尼系统特点值问题的求解，有2j(1j)2i即202ij(2i)Oi(1ji)其中iF(i1,2,n)。0ii概念为无量纲模态阻尼比,一2,可见，i特点值反映了系统固有频率与模态阻尼的特性。将每

31、一个 2一一代入式(2M K jG)0 ,得n个实特点矢量 i ,与无阻尼振动系统特点矢量相同。将i按列排列成模态矩阵，可证 i或具有正交性，且TGdiagmikidiaggi其中gimiki(-2")ki上，gi为模态结构比例阻尼系数；diaggi为结构0i比例阻尼矩阵。设式Mx (KjG)xFejt,稳态位移响应xXejt,将此式代入上式，得2(K2MjG)XF将此式写成X H ( )F,那么频响函数矩阵为H( ) (K2mjG) 1, H()为n复对称矩阵，n n阶。将坐标变换式xiyii 1y代入Mx(KjG)x Fej t，左乘 T ,结合模态矢量正交性，得解耦方程组dia

32、gmjydiagkijgiyTFej将稳态位移响应式y Uej t代入上式得diagki2mijgiUTF对照粘性比例阻尼系统的频响函数1diag-2-kimi JgiTFdiag ki12 mi一 CiTF将式x Xejt、式y Uej t代入式iyi并利用1UdiagrnTF有 jg idiag一 ki12mi- jgiTF i 1 kiT2 miF jgi得频响函数的模态展式nH() i1kT2 mijgii 1 ki2miTj iki3多自由度系统的复模态分析3. 1 一样阻尼振动系统的状态方程一样粘性阻尼和一样结构阻尼振动系统的模态矢量是复矢量，故称该系统为复模态系统，其大体理论称为

33、复模态分析。一样粘性阻尼系统的振动微分方程:Mx Cx Kx f (t)(3-1 )C为一样粘性阻尼矩阵，设为正定对称矩阵,但不知足对角化条件式:(3-2)引入辅助方程:Mx Mx(3-3)与振动微分方程合写所取得的方程，即为系统的状态方程:Px' Qxf (t)(3-4)其中C M,为对称正定矩阵；QMOKO，为对称矩阵，正定或半正定;O M,为状态空间矢量，f （t）f(t) 03. 2自由振动下的复模态由于前提条件为自由振动，因此令f(t)0,那么Px' Qx 0(3-5)卜面解此方程。设特解为:式中 表示x的幅值列阵。代入（3-5）得广义特点值问题P Q)(3-6)特点

34、值方程为:(3-7)式（3-7）为 的2n次实系数代数方程。由于式（3-1）与（3-4）所表示的系统为同一系统，故应有相同的特点值，因此式（3-7）应有2n个共轲对形式的互异复特点值*i、 i,即:式中 mimi j mdim j mdi(i 1,2, n)mdi样粘性阻尼系统的衰减系数;样粘性阻尼系统第阶阻尼固有频率。将2n个特点值代入式（3-6）,得2n个共轲复特点矢量i、i,记为:ii(i1,2,n)iiii*式中i系统的模态矢量，是n维复矢量；i、i状态方程的特点矢量。i、i只能称为特点矢重，不能称为模态矢重；而i、i既可称为特点矢量，又可称为模态矢重。复模态矢重i、i不具有关于mk、

35、Cm权正交性，因此，不以它们构造特点矢量矩阵做坐标变换矩阵，而是以i、i来构造。按i、i列排列得:其中一一复模态矩阵，nn阶,特点矢量矩阵，nn阶,谱矩阵或复频率矩阵，n n阶， diagdiag3.3复特点矢量正交性设特点值无重根，将两组特点对代入式(3-5),整理得:T0ijjTPi.(i,j1,2,n)aijtp0ij.(i,j1,2,n)aiij(3-8)t0ijjQibiij(i,j1,2,n)T0ijjQibiij(i,j1Zn)一bibi且i一，i一(i1,2,n),由于为正定矩阵，因此ai0、ai0,aiai式(3-8)说明特点矢量i关于P、Q加权正交，只是现在无明确物理意义。

36、写成矩阵形式为:式中diagai,ai对角阵中，前diagbi,bi对角阵中，前将（3-8）展开得:Tj(ij)MTPTQdiagai,ai*diagbi,bin个对角元素为n个对角元素为(3-9a)3-9b)a、后n个对角元素为a；*bi,后n个对角兀素为bi。aij(i,jj1,2,n)jT(ij)Maijj(i,j1,2,n)Tj(KjM)bij(i,j1,2,jn)3-10)jT(Kij)biiijj(i,j1,2,n)由此可见，复模态矢量i不具有实模态矢量关于M、K、C的正交性。将(3-9a)分块展开，得：将(3-9b)分块展开，得：(2MC)diagai(3-11a)(2*MC)d

37、iagai(3-11b)T(2ReMC)0(3-11c)T(K2M)diagbi(3-12a)T2(KM)diagbi(3-12b)TT(KM)(3-12c)其中RediagRei以上各式均是用模态矩阵表示正交性。3.4一样粘性阻尼系统复频率概念复模态质量mm、复模态刚度kmi、复模态阻尼Cmi别离如下:mmi*T*T*TkmiTK i Cmi iT(i 1,2, n)再依照式3-11c)、（3-12c）对角线元素可得:2Rei mmiCmi(i 1,2,n)(3-13a )km*i i mmi(i 1,2,n)(3-13b)式中ReCmi2mmi概念复模态阻尼衰减系数为miX,那么2 mmi

38、由（3-13b）及由(3-14) , ( 3-15)Im iRemik"，概念复模态固有频率为 mmi可得:mi2 (Re i)222mimimikmimmi(3-14)(3-15)(3-16 )概念复模态阻尼固有频率（特点频率）及复模态阻尼比别离为mdi2mi2mimimi2 mi阻尼比:mimi那么复频率imi j mdimi mi2mimi j mdimi mimi2 mimi ； 1(3-17)这确实是一样粘性阻尼系统复频率的物理意义。上面概念的复模态参数mmp kmp cm、小 m、mi、mdi均为实数，它们与实模态系统中的mkci、i、0i、di并非相等。当为粘性比例阻尼

39、时，复模态参数退化为实模态参数。3.5复模态坐标系中的自由响应依照一样粘性阻尼系统复特点矢量i、i的正交性，这2n个线性无关的复矢量组成了一个2n维复矢量空间的完备正交基。该复矢量空间与状态空间的变换式为(3-18)y式中y*x在这一复矢量空间中的坐标矢量，2n维;y*y、yn维列阵。将(3-18)代入(3-5)左乘T,并利用复特点矢量正交性式(3-9)得解耦方程组:*diagai,aiydiagbi,biy0(3-19)式(3-19)是一个2n阶方程组，前n方程与后n个方程是共轲关系。解之得：*ydiageit,eity(0)(3-20)y(0)111T式中初始条件y(0)1x(0)diag

40、,-tTPx(0)y(0)aiai将解代入式(3-18),取前n个元素，得物理坐标中的位移自由响应为：ttt*t,_一、xdiageiy(0)diageiy(0)(iyi(0)eiiyi(0)ei)(3-21)i1设y(0)Teji,y*(0)Tieji(i1,2,n)利用(3-17),那么(3-21)可化成：nTmitj(mditi)-j(mditi)/OCC、ie(ieie)(3-22)i1当系统以某阶复模态频率mdi做主振动时，振动规律为：xiTiemit(iej(mditi)*ej(mdit与(i1,2,n)(3-23)每一个物理坐标点的振动规律为：tj(.t.)*j(.t.)xjiT

41、iemi(jieHmdii;jie八mdi")(i,j1,2,n)、Ij*j.设jijiej,jijiej,(i,j1,2,n)则xji2Tijiemitcos(mditiji)(i,j1,2,，n)一样粘性阻尼系统以某阶主振动作自由振动时，每一个物理坐标的初相位（iji）不仅与该阶主振动有关，还与物理坐标有关，即各物理坐标量初相位不同。每一个物理坐标振动时并非同时达到平稳位置和最大位置，即主振动节点（线）是转变的，由式（3-23）得出，xi的幅值或振动形态与实模态系统不同，它不能维持与模态矢量相同的状态，不具有Dii的关系，既不具有模态维持性，主振型再也不是驻波形式，而是行波形式，

42、这确实是复模态系统的特点。简支梁实、复模态系统二阶模态半个周期内的转变如图3-1所示。图3-1 a ）为实模态系统，b）为虚模态系统3.6一样粘性阻尼系统频响函数和脉冲响应函数频响函数矩阵如下式：2H（）（K2MjC）3-4),左乘将坐标变换式（3-18）代入一样粘性阻尼系统的振动微分方程式（并结合特点矢量正交性式（3-9）取得解耦方程组*Tdiagai,aiydiagbi,biyf（t）（3-24）设稳态响应为Ujt/、yej（3-25）V式中U、Vn阶列阵。将（3-25）代入（3-24）并利用f（t）Fejt,那么可得:diagjai*,*bi,jaibi(3-26)式中UVdiag1-j

43、aibi*jaibi(3-27)卜面进行频响函数的模态展开，将式Xej3-25)代入(3-18)(3-27),有diag1jaibi1aibi(3-28)因此X(diagjaibidiag1*aibiT)Fjai*T一一)Fjaib于是得频响函数模态展开为*TH(jaibiaibi(3-29)又可写为H(1. T1iiaij1*ai j*T二)(3-30)对其做傅氏逆变换，得脉冲响应函数矩阵为:nTh(t)(ei 1 aiit* *T*ai*, t、 ei )(3-31)3.7一样结构阻尼振动系统的频响函数一样结构阻尼振动系统的振动微分方程为:Mx (K jG)xFej t(3-32)一样结构

44、阻尼矩阵G是正定或半正定实对称矩阵，不知足比例阻尼的条件式:CMK,故不能在模态坐标系中对角化。由下面的推导能够看出，复刚度矩阵(KjG)是可对角化的。因此可直接由坐标变换解耦振动微分方程。和结构比例阻尼系统推导相似，有特点值问题和特点方程式：(2MKjG)0(3-33)2MKjG0(3-34)将n个互异特点值2（i1,2,n）一代入（3-33）,得n个复特点矢量,i按列排列成复特点矢量矩阵（模态矩阵），即将两组特点对22i、i、jj别离代入式（3-33）,得:0ijmbij(i,j1,2,n)(3-35):(KjG)0ijkDijgDiij(i,j1,2,n)(3-36)式中mDi复特点质量

45、，为复数;kDi、jgDi别离为复特点刚度、复特点阻尼，均为实数。3-35)、( 3-36)写成（3-35）、（3-36）即为结构阻尼系统特点矢量的正交性。将（矩阵形式得：；MidiagmD/：(KjG)idiagk。jgDi(3-37)将2、i代入式（3-33）,左乘T,结合（3-37）得:假设概念复模态参数为k DimDij gDimDi(3-38)mmi*tm iikmiiTKgmi*tg i2mikmimmigmimi .kmi(3-39)式中，mmi、km、gmi、m、mi别离为结构阻尼系统的复模态质量、复模态刚度、复模态结构阻尼、复模态频率、复模态结构阻尼比，均为实数。将2、i代入

46、式（3-33）,（3-39）左乘T,那么:kDi j g DimDi mDi2mi(1 j mi)(3-40)式（3-40）即为结构阻尼系统特点值的物理意义，反映了系统的固有特性。结构阻尼系统频响函数矩阵与结构比例阻尼系统相同，即21H()(K2MjC)1上述求得的n个复特点矢量组成的复矢量空间完备正交基。这一复矢量空间称为复模态n空间或复模态坐标系。式xiyiy代入式（3-32）,左乘T并结合式（3-37）得i1解耦方程组为:(3-41)diagmDydiagk。jgDyTFejt设稳态响应为yUej,代入式（3-41）得:那么U diag将式x Xej t2diagkDi mDi jg D

47、i UkDi12 mhijg DiTFUejt代入式diagTFiYiI2.kDimDijg DiTF(3-42)(3-43)3-43)得:(3-44)由式（3-44）得频响函数模态展开式为:H()i2-i 1 kDi mTDi jg Di(3-45)利用式（3-39）、（ 3-40）,（3-45）可转化为:H()n mmi1 m。kmimijgmi(3-46)当为结构比例阻尼系统时,mmim。kmkDiki , gmigDi gi,那么（3-46）可化为:nH( )2i 1 kimijgiTj iki(3-47)这确实是一样结构阻尼振动系统的频响函数。3.8多自由度系统的传递矩阵及留数矩阵前

48、面讨论了多自由度系统的三种参数模型，给出模态分析有关的大体概念和大体理论，专门是频响函数的模态展式。但在求频响函数表达式时均假设系统受简谐鼓励。积分变换（傅氏变换和拉氏变换）是求系统频响函数的重要方式。只要系统鼓励和响应知足积分变换条件，就可应用积分变换求频响函数。其中拉氏变换比傅氏变换成立的条件要低得多，且t 0时，在虚数轴（频率轴）上拉氏变换即为傅氏变换，而实际振动问题老是在t 0意义下存在的。因此，采纳拉氏变换更具普遍性，也更方便。用拉氏变换直接取得的是复数域上j的传递函数，只要令s j ,即可取得虚数域（频率域）上的频响函数。故各类阻尼模型的振动系统都可用拉氏变换的方式求传递函数和频响

49、函数。下面以粘性阻尼系统为例进行讨论,频响函数的另外两种重要形式一一有理分式和留数展式。对具有粘性阻尼的多自由度系统的振动微分方程式：给出传递函数的Mx Cx Kx f (t)作初始条件为零（x（0） 0,x（0） 0）的拉氏变换，令s为复变量，得:可写成:2(s2M sC K)X(s) F(s)(3-48)Z(s)X(s) F(s)(3-49)其中阻抗矩阵Z（s） s2MsC K令 F(s) 0,由式(3-49)得系统的特点值问题:Z(s)X(s) 0(3-50)特点多项式:(s)Z(s) o(1iS2n、2nS )(3-51)特点方程为:(s)式（3-52）是关于s白2n次实系数代数方程。*(i1,2,7 n), 式中 m 0, mdi 0,S,SiZ(s)解得2n个共轲特点值为即上节取得的复频率(3-52)