线性代数试题库(矩阵)

1、1.对任意n阶方阵A,B总有A.ABBAB.ABBAC.(AB)TATBTD.(AB)2A2B2答案：B解:AXEA2X (A E)X A2 EABBAA|B2.在下列矩阵中，可逆的是（000A.0100011 10C.0111 21答案：D3.设A是3阶方阵，且AA.-2C.1答案：B1114.设矩阵A121231A.2C.0答案：B提示：显然第三行是第一行和)1 10B.2200011 00D.1111 012,则A1()B.12D.2的秩为2,则（）B.1D.-15.设A101020,矩阵X满足方程AXEA2X,求矩阵X.答案：X101001A020AE010显然A E可逆，所以:101

2、100(AE)1(AE)XX(AE)1(A2E)_1_(AE)(AE)(AE)AE6.求下列矩阵的秩0111202220A0111111011答案：3147.设矩阵P,D110,矩阵A由矩阵方程2P 1AP D确定，试求A5.1A 1A答案511/3127/3127/331/3P1APDAPDP又因为A 1A5PD5P1所以：A5 PD5P 11/34/ 31/31/3,D51 00 32141 01/3.110 32 4/31/31/3511/3 127/3127/331/38.设矩阵A可逆，证明（A*）1A1A. *证明：因为AAA*A A E ,矩阵A可逆，所以A 0AA*AA.一*所以

3、：（A）9若人是（），则A必为方阵.A.分块矩阵C.转置矩阵 答案：BC.D.AA*答案：A11若（），则 A: BA. A BB.秩口）=秩（8）C. A与B有相同的特征多项式D. n阶矩阵A与B有相同的特征值，且 n个特征值各不相同 答案：B112.设 A 2 ，则 AAT 3123答案：24636913.设m n矩阵A,且秩（A）r, D为A的一个r 1阶子式，则DB.可逆矩阵D.线性方程组的系数矩阵10.设n阶方阵A,且A0,则（A*）1（）.B.答案：014已知P1AP答案：12031，一15 .已知X,求矩阵X。12031X1 1011101“一20上、解：矩阵可逆，所以由3/2

4、1/23/21/2111/2031X1/210116 .若对称矩阵A为非奇异矩阵，则A1也是对称矩阵证明：因为矩阵A为非奇异矩阵，所以AA1A1AE(AA1)T(A1A)TET,即：(A1)TATAT(A1)TE因为矩阵A为对称矩阵，所以AA,则有：(A1)TAA(A1)TE所以：(A1)TA1,即A1也是对称矩阵.。17 .设A是mn矩阵，B是sn矩阵，C是ms矩阵，则下列运算有意义的是(A.ABB.BCC.ABTD.ACT答案：C18 .设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列各式中不正确的是()A. (A B)T AT BT_11_B. (A B) A B1_ 11C. (AB) B AD. (

5、AB)T BTAT答案：B19 .设A为n阶矩阵，秩(A)n1,则秩(A)()B.1D. nA.0C.n1答案：A因为A是由矩阵A的代数 余子式组成，但是秩(A) n 1,所以其代数余子式全部为0,.一 *所以：A 010120矩阵A 023000A.1C.3答案：321.设A为2阶方阵，且A答案：204的秩为()5B.2D.41 -一,则 2A222.设A是3阶矩阵，秩A=2,则分块矩阵A A的秩为23.设矩阵A2 2 1110,求矩阵B ,使A 2B AB1 2 3解：由A 2BAB得：(A 2E)B A, A 2E021110,121(A 2E,A)021211 0 112110 302

6、0 21212 45302所以：B21224524.设三阶方阵 A的行列式det(A)3,则A的伴随矩阵A的行列式det(A )答案：9提示：det(A*)det(A)31ab25.设a，且det(A)adbc0,则Aad bc，C (2, 1),则(A B)CT0 3答案11 1 1 0且满足XA B ,求X2 1 1cd答案：db27. (5 分)设 Aca解:XAA可逆1BA11/31/34/32/31/31/31/35/64/31/31/34/3所以:BA2/31/31/31/35/64/328.设矩阵A(A1)2*ABA1A其中，A一*A为A的伴随矩阵.计算det(C)解:A(A1)

7、2*ABA1AE AB10显然:det(C)29.A, B是两个n阶方阵,若AB0则必有(B.A.D.C.答案:30.若A,B都是方阵，且 A 2, BA. -2C.12答案：CD.B. 2131.矩阵一的伴随矩阵A4A.34B.2D.4C.3答案：C32.设4矩阵,若矩阵A的秩为2,则矩阵3AT的秩等于（B.D.A.1C.3答案:33.设A为4阶矩阵,A3,则答案：334.设A则A5答案：3235.设A答案:36.答案:14提示：用分块对角矩阵做。1-00337.设 A1i0_0,求满足关系式ABA6ABA的3阶矩阵B410072A1BA6ABA(A1E)BA6AB6(A1E)11(A1E)

8、2a1解：A231041ab300所以：B6(A1E)102000112a138.设矩阵A2310的秩为2,求a,b.41ab12 a 10712a207 a 2 b12a10712a200a1b21,b 2因为：矩阵A的秩为2,所以a10,b202一一-39.已知n阶万阵A满足关系式A3A2E0,证明A是可逆矩阵，并求出其逆矩阵证明：A2 3A 2E 0 A(A 3E) 2EA EA3E所以A是可逆矩阵，且其其逆矩阵为：40.设A是3阶方阵，且A1,则2AA.8B.2C.2D.8答案：A41.设矩阵A1(答案：542B.A.0210C. 1101002答案：A210D. 11000242.设

9、A是n阶方阵，A0,则下列结论中错误的是（A.秩(A)nB. A有两行元素成比例C. A的n个列向量线性相关D. A有一个行向量是其余n个行向量的线性组合答案：B43.设A,B均为n阶矩阵，且秩（A）=秩（B）,则必有（）A.A与B相似B.A与B等价C.A与B合同D.AB答案：B44.答案:2 517 445.若A,B均为3阶矩阵，且A2,B3E,则AB46 .设矩阵A答案：1aibi aba2 bl a2 b2a3 bl a3b2aha2b3 ，其中 aiba3b30(i 1,2,3)则秩(A) =47 .设 A10 02 11,矩阵X满足方程AX BT ,求X .1 2 2381答案： 4

10、124012100解：B211122BT1 21T1 T0 12 , AX B1 X A 1BI0 12A,BT r E,X.*n 148 .设A是n阶方阵，A 0,证明A A证：AA* AE AA*AE| lAnAA*|lAn-*n1因为A0,所以：AA49.设A是3阶方阵，且A2,则A(A.-6B.-2C.2D.6答案：B02050.设 A003,则A的伴随矩阵A4000 0 6A 12 0 00 8 00 12 0B.0086 0 0012 0C. 008600006D. 1200080答案：A51.653答案：010422、14皿152.设A，则A10334101答案：A130353.

11、设A1112033答案：123110解：ABA2B23A2E11122(A2E,A)1154.设方阵A满足A证：A2A2E(30且ABA2B3，求B。(A2E)BA30,很容易得到21123A2E0,证明A(AE)2E2E是可逆的。所以：100033010123001110A可逆，并求其逆阵。A”E2B(A2E)1A所以：A可逆，且其逆阵为55.设n阶方阵A,B,C满足ABCE,则必有()A.ACBEB.CBAEC.BACED.BCAE答案：D56.设n阶方阵A中有n2n个以上元素为零，则A的值（A.大于零B.等于零C.小于零D.不能确定答案：B56.设3阶矩阶A=(

12、ai,3,丫)，B=(a2,3,丫)，且A2,BA.4B.2C.1D.-4答案：A57.设A是4阶方阵，A2,则A*答案：-858.设矩阵A00000203040010皿1，则A100答案:00014100-0301002100059.设A423110,且矩阵X满足AXA2X,求X。123解：AXA2X(A2E)XAA 2E22 311 0可逆，所以121223110,容易证明A2E1211X(A2E)A(A 2E,A)03860296121233所以：X21261.设A,B均为n阶方阵,则必有（A.ABBAB.C.(AB)TBD.(AB)TattAB答案：A62.设A12B.A.0D.C.0

13、答案：C63.若方阵A与方阵B等价，则（A.R(A)R(B)B.C.D.存在可逆矩阵P,使P1AP答案：A2ATA, （ E为3阶单位矩阵），则11.T.64.A(202),BEAA,CEBC答案：E3013,165.已知A2,且A1451一*4，则A3311答案：404251366.设A802-*-_*020,A为A的伴随矩阵，则A301答案：1667.已知A10112020,则(A3E)(A9E)001201答案：01000268.设A,B为n阶方阵，满足ABAB130210,求矩阵A。002ABABA(BE)BBE可逆。所以：AB(BE)69.设A是4阶矩阵，则A ()A.4AB.A答案

14、：C70.设A为n阶可逆矩阵，下列运算中正确的是()TT11A.(2A)2AB.(3A)3AC(A)T)T1(A1)1TD.(A1)TA答案：A13771.设A是2阶方阵可逆，且A1，则A(12A.B.C.D.答案：B72.设A,B均为3阶矩阵，若A可逆，秩(B)2,那么秩(AB)(A.0B.1C.2D.3答案：C73.设A为n阶矩阵，若A与n阶单位矩阵等价，那么方程组AXb()A.无解B.有唯一解C.有无穷多解答案：B74.设矩阵Aa,则AATbD.解的情况不能确定答案:a2ababb212.75.设矩阵A,则行列式 A234答案：41176 .矩阵0100答案：3577 .设矩阵A0011

15、的秩等于1102001,求矩阵方程XA21B的解X.500解：A012,很容易得到A是可逆的。所以：XABXBA037500100012010A037C001,所以：XB100123120214113231411378.设A,B为同阶对称矩阵，证明ABBA也为对称矩阵证：A,B为同阶对称矩阵，所以：ATA,BTB(ABBA)TBTATATBTBAABABBA所以：ABBA也是对称矩阵。79.设矩阵A100020，则A1等于(003A1A.002001B.0C.010001答案：B81.设A是方阵，如有矩阵关系式A.B.BABAC,则必有（0C.D.答案:82.设A答案:84.设A答案:(1)(

16、2).则A2B.求（1）ABT;(2)4A.1810104A43A64A2.所以4A43A64A12885.设矩阵B使其满足矩阵方程ABA2B.答案：212解：ABA2B即(A2E)B12231(A2E)1101 21所以B(A2E)1A143423153110164123386296212986.设矩阵A12102426210233332634求：秩（A）;1210212102A0006203283032820006209632000217解：对矩阵 A施行初等行变换所以：秩为3.87.设方阵A满足A3 0,试证明E A可逆，且（E12102032830003100000A) 12(E A

17、A2)证:Q(EA)(EAA 1 011 02,所以：A* A3 1 |A2 40 0 2)EA3,A30(EA)(EAA2)EEA可逆，且(EA)1(EAA2)88.设行矩阵A现C2e3 , Bbb, b3，且 ATB答案：021089.设A110,A为A的伴随矩阵，则A002答案：4一*312提不：AAA90.若A为使矩阵A的秩有最小秩,应为答案:解答：A要使得矩阵91.解:A的秩有最小秩,已知矩阵X满足AXB容易证明矩阵1CB92.设A,B均为ABBA0、一2证：（AB）C,其中求矩阵X.（6分）A,B都可逆,所以:AXB阶方阵,A2(AB)(AB)因为：A2A,B2B,所以:若（AB)

18、2AABBABABBA若ABBA0,A,B2A2(AABB)2AABABAAB则(AB)2AAB1CB1B,证明（ABAB2ABBAABBABABAAB34B)2BA010AB的充分必要条件是1293.设矩阵A, B3 41425,则下列矩阵运算有意义的是（）36AACBB.ABCCBACD.CBA答案：B94.设n阶方阵A满足A2E0,其中E是n阶单位矩阵，则必有【A.AEB.AEC.AA1D.det(A)1答案：C195.设A为3阶万阵，且行列式det(A),则det(2A)【2A.-4B.4C.-1D.1答案：A1-1320tt96.设矩阵A,B,AT为A的转置.则ATB=2010122

19、答案：206197.设矩阵2则行列式5det(AAT)的值为答案：199.设 B 是 n(n2）阶方阵,B的元素全都是1,E是n阶单位位矩阵。证明:(EB)1证明：（EB)(EIB)n 12BB n 1 n 1因为B的元素全都是1,所以:B2的元素全部为n ,即：B2 nB所以：（E B）（EB)E B B2n 1 n 1E ,即：(E B) 1nV100.设A是n阶方阵，X是1矩阵，则下列矩阵运算中正确的是（）A. XTAX B.XAX C. AXA D. XAXT答案：A101.A,B,C,E为同阶矩阵，E为单位阵，若ABCE,则下列各式中总是成立的有（）A.BACEB.ACBEC.CBA

20、ED.CABE答案：D102 .已知A有一个r阶子式不等于零，则秩（A）（）A.rB.r1C.rD.r答案：D103 .设A是n阶阵，且ABAC,则由（）可得出BC.A.A0B.A0C.秩（A）nD.A为任意n阶矩阵答案：A2112104.X，则X1 214答案:1/301/32105.A=A11122332,则秩（A）1121答案：3106. 24614691答案：0107. 若A2A,且A不是单位阵，则A答案：0108. A4,则A1-1答案：14n1 1109. =22答案:3n110. A,B,C均为阶可逆阵，则（ABC）1答案：C1B1A1111.设A是5阶方阵,A1,则2A答案:3

21、2112A答案:113.答案:(A,E)22B2A2(B1A)1解：B2A2(B1A)B2A2A1BB2ABB(BA)22114.n阶方阵A满足A22A4E0,其中A给定，证明A可逆，并求其逆矩阵。证：A22A4EA(A2E)4EAATEE所以A可逆,且A12E4115.设矩阵A(1,2,3),B10，则AB为（A.0B.0C.106D.7答案：D116.设A,B均为n阶矩阵，且A可逆，则下列结论正确的是（A.若AB0,则B可逆B.若AB0,则B0C.若AB0,则B不可逆D.若ABBA,则BE答案：B117.设3阶方阵A的元素全为1,则秩父）为（）A.0C.2答案：BB.1D.3118.设A为

22、3阶方阵，且行列式A1,则2A之值为（）A.-8C.2答案：A119.设A为n（n2）阶方阵，且A的行列式AB.-2D.8a0,则A等于（A.B.aC.nD.a答案：C120.设矩阵A111答案：1551514121.设A,B均为3阶方阵，且A3,B2,则ABT答案：6122 .设3阶方阵A的秩为2,矩阵010100P100,Q010001101若矩阵BPAQ,则秩（B）=答案：2a00123 .设A0b0,则An00can00答案：0bn000cn124.已知矩阵A答案：1132k11k11753125.试求矩阵方程132k11k1，秩（A）2,求k的值.1753132k04k2k10433

23、k1321301X21111132k04k2k1，所以k1001k22k45中的未知矩阵X。3解:1321301211114100405r010112300114540所以：X1121451210126.设P,B且APPB,求An1402丘12解：P2141P可逆。又APPBAPBP从而得到：AnPBnP11 2 ,B1 4211 1，Bn2 2100 2n所以：An12 101 40 2n2 2n 2n 12 2n1 2n 1 1m1m1127.已知A0,证明：EA可逆，且（EA）EALA。0,所以:证：因为(EA)(EALAm1)EAm,又因为Am(E A)(E A L Am 1)E ,显

24、然E A可逆，且（EA) 1 E A L Am 1。128.设A是n阶非零矩阵,* .A是其伴随矩阵，且满足 a.Aj ,证明A可逆。T证：有a.Aj得:AA所以：A*AAA*AEATAAATAE假设A不可逆，则A0,所以：ATAAAT0nATAAAT0%加0级0(i1,2,n)k1所以A 0 ,这与题目A是n阶非零矩阵矛盾，所以A可逆。129 .两矩阵即可以相加又可以相乘的条件是 答案：两矩阵为同阶方阵。1 1130 .已知 A 2 51 26 10k 1 ,且其秩为2,则k 1 k答案：3131.若A是n阶可逆矩阵,B是m阶可逆矩阵，CO ,则 R(C) B答案：mn132.设A与B均为n

25、阶方阵，则下列结论中()成立。Adet(AB)0,则A0,或B0;Bdet(AB)0,则det(A)0,或det(B)0;CAB0,则A0,或B0;DAB0,则det(A)0,或det(B)0。答案：B1331设A为n阶方阵，且det(A)2,则det(1A)1A3答案：-2134.求解矩阵方程X111答案：X011001135设3阶方阵A按列分块为A(a1,a2,a3)(其中ai是A的第i歹U),B(a12a23al4a3,5a2),贝UB答案：-100136100220的伴随矩阵为A,则(A)1333答案:137设A答案:138设A答案:1394 22 00 00 000001，且BAAB

26、,求矩阵B。735102002400001300571224a1,B为三阶非零矩阵，且AB0,则a311-1已知A1 0 10 2 0 满足 BA 2EB 2A2,求矩阵B。402答案：04060411400答案:14111.设A，则（2A）101答案:142若A,B为同阶方阵，则（AB）（AB）A2B2的充分必要条件是答案：ABBA143设A,B都是n阶矩阵，且AB0,则下列一定成立的是（）A0或B0BA,B都不可逆CA,B中至少有一个不可逆DAB0答案：C亦可逆,144设A,B均为可逆矩阵，则分块矩阵答案:001145设A为3阶可逆矩阵，且A1 23I*012,则A123答案：012001

27、146A,B均为n阶矩阵，下列各式中成立的为()，一、_22_2(A) (AB)A2ABB(B) (AB)TATBT(C) AB0,则A0或B0(D)若|AAB|0,则|A|0或|IB|0答案：D147设A为6阶方阵，且|A|=2，则AA=答案：644 0,人、，一r148设A,将A表示成3个初等矩阵的乘积，即A=5 3答案:4 0 10 100 15 10 3，人，、一，Er0，149 .任一个mKn矩阵A,仅经过初等行变换可化为的标准形式。()00答案：x150 .A为5行6列矩阵，且r(A)=5，则A一定没有不等于0的5阶子式。()答案：X151 .两个初等矩阵的乘积仍为初等矩阵。()答

28、案：X152 .A,B均为n阶方阵，AwO,且AB=O则B的秩(A)等于O(B)小于n(C)等于n(D)等于n-1答案：B122153.已知A014且A2AB=E求矢I阵Bo0010412答案：008000解：A1,故A可逆，由于A2ABE,故A(AB)E,即即ABA1,即10故A1A(注：作行变换(AE)(EA1一)得到也正确)1012154.设A是mKn矩阵,则下列(A)答案：155设ABD(B)BTAT(0(AB)T(D)的运算结果是ATBTn阶方阵。A,B为n阶方阵,Aw0Bw0,且AB=0,则A,B的秩()(A)一个小于n,一个等于(C)都小于n答案：C156.下列结论中，不正确的是

29、(a)设A为n阶矩阵，则(AE)(A(b)设A,B均为n1矩阵，则ATB(c)设A,B均为(d)设A,B均为答案:157.设(a)(c)答案：B(B)都等于n(D)必有一个等于零一2_E)A2EBTAn阶矩阵，且满足AB0,则(AB)2A2B2n阶矩阵，且满足ABBA,则AkBmBmAk,(k,mA,B均为n阶矩阵,ATTABABBA158.设A为n阶可逆矩阵,n2答案：AA159.设矩阵A阵，求矩阵X。k为正整数，则下列各式中不正确的是(b)(d)N)ATTAB(AB)k|AkB2,A是其伴随矩阵，则(A)11。矩阵X满足AXA12X,其中A是A的伴随矩解：由AXA12X*AAXE2AXAX

30、2AXE(A2A)XE知（A2A）可逆，且（A2A）1X由(A2A,E)160.设n阶矩阵A非奇异，n*2,A是其伴随矩阵，则（*n1(a)(A)=AA(b)*n2(c)(A)=AA(d)答案：C(A)=A*_n(A)=A161.设A为m阶矩阵，B为n阶矩阵，且Aa,Bb。若C03AB0答案:(1)mn3mab12162 .设A4t31答案：3163 .已知XAX23,B为三阶非零矩阵，且1010B,其中A111101AB0。则t11,B20,求矩阵X。53解：由XAXB,有(EA)XB所以(EA)1BX11011由(EA,B)10120102531101110011310100333003-

31、1所以X=20。1-11100011023An164.设A，求AA和a0011'10000100解A0010000101000010EB00010000n nCnB-n0n1n1-2n2-2(EB)CnECnEBCnEBL0 0 100 0 0 10 0 0 00 0 0 00102001B00000000100000101000100000001000010000000001000010000100000001000000000000B4b3b000100000000000001000010000100000000000000000000(EB)nC0EnC1En1BC2En2B2C

32、3En3B3nnnn12233EBBBnnn1000010000100001010010010Cn 0 0 0 1000000102000 1Cn 0 0 0 0000000013000 0Cn 0 0 0 00000121 CnCn10 1Cn0010003Cn2Cn1Cn121020121A20012000113313013300130001a11a12La1na11a12La1a21a22La2na21a22La2LLLLLLLL设A是实对称矩阵，且A20,证明：A0证明：QA2nnan1an2annan1an2annn其主对角线上的元素为aa0ikkik1又，A是实对称矩阵aikaki

33、2ai12ai2ai2n0ai1ai2Lain0即A0111A 的逆矩阵为 A121，试求伴随矩阵A的逆矩阵。113解：QA(A)1(|A|A1)111(A)2(A1)1注：也可以用初等变换求逆:1.解矩阵方程(2)解:11112115设n阶矩阵A满足Am0,m是正整数。试证A可逆，且(EA)EAALA证明：(EA)(EAA2LAm1)AmE12m1EA可逆且(EA)EAALA7.若方阵A满足A2A2E0,证明A及A2E都可逆，并求A1及（A2E）1.证明：由A2A2E0,有A(AE)2E(AE)A-E一一1所以A可逆且A(AE)2又由A2A2E0有(A2E)(A3E)4E(A2E)(A3E)

34、4所以A2E可逆且（A2E)1(A3E)已知APPB,其中B,P,求A及A10因为PA10B30,所以P可逆,PBPAPPB1P4P4)4PBp44)2PBp4%4吁P31)PB10P10所以B10B2A10PB10P21pb2p1100100200411设A是三阶方阵，且A，求(3A)118A)27么11111解：(3A)1A1A9A33A1-(3A)18A) 9A 18A3329A ( 9) A ( 9) A 1112223已知矩阵A101235解：将矩阵化为行阶梯形a 31 4 的秩为3,求a的值。1 55 4112 a 32 2 3 14A10 1152 3 5 5 411200101

35、1000a 31 2a 21 a26 3a0112001011000a 31 2a 21 a 26 3a 0所以6a 3 0a 2当时矩阵的秩为3设A是n阶方阵，若存在n阶方阵B 0 ,使AB0,证明 R(A) n。证明：反证法。设R(A)n,则A可逆，而由AB0,有A1ABA100与B0矛盾，所以R(A)n1的秩最小11确定参数，使矩阵1221解：将矩阵化为行阶梯形112212121211203232032 2 2411203232002211时矩阵的秩最小为2设是三维列向量,的转置，若T1，则设A,B为n阶矩阵,*A,B分别为A,B对应的伴随矩阵、分块矩阵0,则C的伴B随矩阵C1AA三阶方

36、阵，AA11,B2,则T12解：2(ATB1)223AT设四阶矩阵B-1T_TX(ECB)C解：先化简，再计算。-1T_TX(ECB)C因为A%AT122(ATB1)20设A,B是IAbE,求矩阵XC(E23,CC1B)1)2122,且矩阵X满足关系式11T八TCCBXCBE12 3 4012 3C BX00 1200 0 1100210321432101020110000100210121设列矩阵x(x1,L,xn)T,AExxT,证明2T.(1) AA的充分必要条件是xx1(2) 当xTx1时，A是不可逆矩阵.分析：线性代数中，若要证明A不可逆或|A 0,往往可以用反证法：假设A可逆，再在已知等式两端同乘以A 1,即可得到所需要的结论。或者直接由Ax 0有非零解，得A0。证明：(1)22T、2TT,T、TTAAA