线性代数知识点全归纳

1、线性代数知识点1、行歹U式1 .n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；2 .代数余子式的性质：、Aj和aij的大小无关；、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为|A;精选范本，供参考!3.代数余子式和余子式的关系：Mj=()ijAijAij=(-1)jMij4. 设n行列式D:n(n1)将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1,则D1=(-1)-D;n(n1)将D顺时针或逆时针旋转90',所得行列式为D2,则D2=(_1)-D;将D主对角线翻转后(转置)，所得行列式为D3,则D3=D;将D主副角线

2、翻转后，所得行列式为D4,则D4=D;5. 行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；n(nA)、副对角行列式：副对角元素的乘积父(-1)丁；、上、下三角行列式(|、|=|)：主对角元素的乘积;n(n.1)A C OB-Aoc B、BA'-c BAo -OBA c、|和|:副对角元素的乘积M(7尸；= (-1)mLn AIb、拉普拉斯展开式：、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；n6. 对于n阶行列式|A，恒有：|KE-A=Kn+Z(-1)kSNn，其中Sk为k阶主子式;k土7. 证明A=0的方法:、|A=-A；、反证法；、构造齐次方程组Ax=0,证明其有非零解;

3、、禾1J用秩，证明r(A)<n;、证明0是其特征值；2、矩阵1 .A是n阶可逆矩阵：uA#0（是非奇异矩阵）；ur（A）=n（是满秩矩阵）UA的行（列）向量组线性无关；二齐次方程组Ax=0有非零解；uVbWRn,Ax=b总有唯一解；UA与E等价；UA可表示成若干个初等矩阵的乘积；0A的特征值全不为0;UATA是正定矩阵；UA的行（列）向量组是Rn的一组基；UA是Rn中某两组基的过渡矩阵；2 .对于n阶矩阵A:AA=AA=AE无条件恒成立；1*11TT1*TT*3 .（A）=（A尸（A）=（A/（A）=（A）_T_TT*_1_11（AB）=BA（AB）=BA（AB）=BA4 .矩阵是表格，

4、推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5 .关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：2±z2C2右A=.1AAsI、A=A1|A2IIIAs,A"rrA-LA2u、A=.、I'AOY=A工1pBl1。、|OAyj。出OJ(A工、hcTa工。BlIO、卜OYJACBJ(-B九,则:)；、As2);(主对角分块)B)BB;(副对角分块)O)1-X、CB;(拉普拉斯)BJ4n1二2；(eWW:A二B13、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个mxn矩阵A,总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F=fEOI0°mn等价类：所有与A等价的矩阵组

5、成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、8,若(A)=r(B)yA|_B;2.行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非。元素必须为1;、每行首个非。元素所在列的其他元素必须为0;3.初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换)r、若(A,E)口(E,X),则A可逆，且X=A-;c、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A-B,即：(A,B)-(E,A-B);r、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax=b,如果(A,b)(E,x),则A可逆，且x=A/b;4.初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由

6、其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;、A=龌.，左乘矩阵A,九乘A的各行元素；右乘，九乘A的各列元素;、对调两行或两列，符号f1H11E(i,j)，且E(i,j)工=E(i,j),例如：1|二11311)、倍乘某行或某列，符号、倍加某行或某列，符号E(i(k),且E(i(k)二=E(i(-),例如：1E(ij(k)Me(ij(k)/=E(ij(-k),如：k1(k=0)'b-k(k00)；15.矩阵秩的基本性质：、0<r(Am>n)<min(m,n)；、r(AT)=r(A);、若AB,则r(A)=r(B);、若P、Q可逆，则r(A)=r(PA)=r(AQ)

7、=r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩)、max(r(A),r(B)<r(A,B)<r(A)+r(B);(X)、r(A+B)<r(A)+r(B);(X)、r(AB)<min(r(A),r(B);O、如果A是mxn矩阵，B是nxs矩阵，且AB=0,则：()I、B的列向量全部是齐次方程组AX=0解(转置运算后的结论)；n、r(A)r(B)<n、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)>r(A)+r(B)_n;6 .三种特殊矩阵的方哥：、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量)父行矩阵(向量)的形式，再采用结合律；11ac、型如01b的矩阵：利用二项展开式；F0bn

8、二项展开式：(a+b)n=C：an+C；anTb1-a2bm加|+C尸a1bn-+C：bn=£Cnambn”;m-0注：I、(2+3”展开后有n+1项；Cmn(n-1)HHH(n-m1)n!C0Cn1、Cn=1皿1m=m!(nm)!Cnnn小组合的性质：Cm=C：3Cm平=Cm+Cn"工Cn=2nrCn=nd;r=0、利用特征值和相似对角化：7 .伴随矩阵：nr(A)=n、伴随矩阵的秩：r(A)=?1r(A)=n-1；0r(A):：:n-1、伴随矩阵的特征值：网(AX=AX,A*=AA=A*X=1AX)；九九、A*=AA:a*=An工8 .关于A矩阵秩的描述：、r(A)=n

9、,A中有n阶子式不为0,n+1阶子式全部为0;(两句话)、r(A)<n,A中有n阶子式全部为0;、r(A)>n,A中有n阶子式不为0；9 .线性方程组：Ax=b,其中A为mMn矩阵，则：、m与方程的个数相同，即方程组Ax=b有m个方程；、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax=b为n元方程;10 .线性方程组Ax=b的求解：、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换)；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:a11X1ax2inaix。=4D、a21x1a22x2111a?nxn=b?.I，111am1a

10、m2IIIamn人xm士1bmX1（向重方程，A为mxn矩阵，m个方程，n个未知数）faaHIa"B(全部按列分块，其中(a1a2l|an)：Ha1x1+a2x2汽|+anxn=P(线性表出)F=|d)、有解的充要条件：r（A）=r（A,P）<n（n为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m个n维列向量所组成的向量组A:O1,%,中,am构成nMm矩阵A=3，豆2,|,3m）;RTm个n维行向量所组成的向量组B：坪，P：，用，用构成mxn矩BBb=12；同含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2.、向量组的线性相关、无关、向量的线性表出、向量组的相互线性表示仁Ax=

11、0有、无非零解；（齐次线性方程组）仁Ax=b是否有解；（线性方程组）二AX=B是否有解；（矩阵方程）3.矩阵4湎与Bl刈行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax=0和Bx=0同解；（P101例14）4.r(ATA)=r(A);(P101例15)5.n维向量线性相关的几何意义：、a线性相关ua=0；、a,P线性相关ua,P坐标成比例或共线（平行）；、a,P,¥线性相关ua,P,¥共面；6.线性相关与无关的两套定理：若qcMI,r线性相关,则5,%,川口,as十必线性相关；若3，里Ml,as线性无关，则0（1,a2,UI,asq必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）

12、若r维向量组A的每个向量上添上n-r个分量，构成n维向量组B:精选范本，供参考！若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；(向量组的维数加加减减)简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7.向量组A(个数为r)能由向量组B(个数为s)线性表示，且A线性无关，则r<s；向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)<r(B);向量组A能由向量组B线性表示二AX=B有解；=r(A)=r(A,B)向量组A能由向量组B等价=r(A)=r(B)=r(A,B)8.方阵A可逆之存在有限个初等矩阵PiRlII, P ,使 A = P P2| |P ;、矩阵行等价:(左乘，P可逆)

13、u Ax =0与Bx = 0同解、矩阵列等价:cA B = AQ =B(右乘，Q可逆)；、矩阵等价:PAQ =B(P、Q可逆)；9 .对于矢I阵An：1n与Bl沏：、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；、若A与B行等价，则Ax=0与Bx=0同解，A与B的任何对应的列向量组有相同的线性相关性;、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵A的行秩等于列秩；10 .若AmxBs而=Cm滤，则：、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；(转置)11 .齐次方程组Bx=0的解一定是ABx=0的解，【考试中可以直接作为定理使用，而无需证明、AB

14、x=0只有零解二Bx=0只有零解；、Bx=0有非零解=ABx=0一定存在非零解；12 .设向量组BnX:bi,b2,|,br可由向量组An冷：就且2,|,as线性表示为：(bi,b2,|,b,)=(a1,a2,III,as)K(B=AK)其中K为sMr,且A线性无关，则B组线性无关0r(K)=r；(B与K的列向量组具有相同线性相关性)(必要性：17r=r(B)=r(AK)Mr(K),r(K)Mr,.r(K)=r;充分性：反证法)注：当r=s时，K为方阵，可当作定理使用；13 .、对矩阵An而，存在Qn淅，AQ=Emur(A)=m、Q的列向量线性无关;、对矩阵An而，存在Pn淅，PA=Enur(

15、A)=n、P的行向量线性无关；14 .：1,JH,：s线性相关u存在一组不全为0的数k1,kJH,ks,使得kM+k2%+lll+ksQs=0成立；(定义)GJ=a,%Hi,«s)x2旬有非零解，即Ax=0有非零解；wr(5,%,|Ps)<s,系数矩阵的秩小于未知数的个数；15 .设mxn的矩阵A的秩为r,则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩为：r（S）=n_r；16 .若"为Ax=b的一个解，；上,|,口上为Ax=0的一个基础解系，则*,。，。,|儿二线性无关;5、相似矩阵和二次型1.正交矩阵二八八=£或八-=AT（定义），性质：1ij、A的列向重都是

16、单位向重，且两两正父，即aiaj=W（i,j=1,2,|n）；0i=j、若A为正交矩阵，则A-=AT也为正交阵，且|A=!；、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2. 施密特正交化：（a,a2,IHajbi=a1,3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关;对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4.、A与B等价=A经过初等变换得到B;U PAQ = B ,二 r(A)=r(B)P、Q可逆；A、B同型;、A与B合同。CTac=b，其中可逆；yxTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数；、A与B相似uP工AP=B;5. 相似一定合同、合同未必相似；若C为正交矩阵，则CTAC=B=ALB,（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）6. A为对称阵，则A为二次型矩阵；7. n元二次型xTAx为正定：aA的正惯性指数为n;UA与E合同，即存在可逆矩阵C,使CTAC=E；二A的所有特征值均为正数；UA的各阶顺序主子式均大于0;=aii>0,A>0;（必要条件）第一章随机事件互斥对立加减功，条件独立乘除清；全概逆概百分比，二项分布是核心；必然事件随便用，选择先试不可能。第二、三章一维、二维随机变量1）离散问模型，分布列表清，边缘用加乘，条件概率定联合，独立试矩阵2）连续必分段，草图仔细看，积分