等比数列的前n项和（一）

1、等比数列的前等比数列的前n项和项和（一）（一）李超李超2006年年9月月（一）（一）知识回顾：知识回顾： 2.通项公式：通项公式： 11nnqaa3.等比数列的主要性质：等比数列的主要性质： 在等比数列在等比数列 中，若中，若 则则 ( ) ( ) naqpnmqpnmaaaaNqpnm, 成等比数列成等比数列 bGa,abG2(G,a,b 0)1.等比数列的定义：等比数列的定义： qnnaa 1Nnq, 0（常数（常数） （ ）传说古代印度有一个国王喜爱象棋，中国智者云传说古代印度有一个国王喜爱象棋，中国智者云游到此，国王得知智者棋艺高超，于是派人请来智者游到此，国王得知智者棋艺高超，于是派

2、人请来智者与其对弈，并傲慢地说与其对弈，并傲慢地说：“如果你赢了，我将答应你如果你赢了，我将答应你的任何要求。的任何要求。”智者心想：我应该治一治国王的傲慢，智者心想：我应该治一治国王的傲慢，当国王输棋后，智者说当国王输棋后，智者说：“陛下只须派人用麦粒填满陛下只须派人用麦粒填满棋盘上的所有空格，棋盘上的所有空格，第第1 格格1粒，第粒，第2格格2粒，第粒，第3 格格4粒粒 ，以后每格是前一格粒数的，以后每格是前一格粒数的2 倍。倍。”国王说国王说 ：“这太简单了。这太简单了。”吩咐手下马上去办。过了好多天，吩咐手下马上去办。过了好多天，手手下惊慌地报告国王下惊慌地报告国王：“不好了不好了”。

3、你猜怎么啦？原你猜怎么啦？原来经计算，印度近几十年生产的所有麦子加起来还不来经计算，印度近几十年生产的所有麦子加起来还不够。够。由刚才的例子可知：实际上就是一个以由刚才的例子可知：实际上就是一个以1为首项，为首项，2为公比的等比数列的前为公比的等比数列的前64项的求和问题，即：项的求和问题，即： 842164S 636222 把上式左右两边同乘以把上式左右两边同乘以2 2 得：得：646322842264S16+由由- - 得：得：126464S已知：等比数列已知：等比数列 ，公比为，公比为 ， naq21aaSn na，如何用，如何用 qna,1来表示来表示 nS解：解： 2111qaqaa

4、Sn11nqa两边同时乘以两边同时乘以 q 得：得： nqS211qaqannqaqa111 - - 得：得：nnqaaSq11)1 (当当 时时1qqqannS1)1(11q当当 时时1naSn等比数列的前项和公式：等比数列的前项和公式：)1()1(11)1(1qnaqSqqann或：或：)1()1(111qnaqSqqaann例例1.1.求等比数列求等比数列 ,814121 的前的前8项的和。项的和。 解解:由由211a212141q8n得：得： 2562551)(182182121S例例2. 某商场第某商场第1年销售计算机年销售计算机5000台，如果平均每年的销台，如果平均每年的销售量比

5、售量比上一年增加上一年增加10，那么从第，那么从第1年起，约几年内可使年起，约几年内可使总销售量达到总销售量达到30000台（保留到个位）？台（保留到个位）？解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同，解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第所以从第1年起，每年的销售量组成一个等比数列年起，每年的销售量组成一个等比数列 na其中其中50001a101q=1.1 30000nS,可得：可得： 300001 . 11)1 . 11(5000n6 . 11 . 1n可得：可得：两边取对数，得：两边取对数，得： 6 . 11 . 1lglgn5041. 020. 0n利用计算器

6、得：利用计算器得：(年年) 答：约答：约5年内可以使总销售量达到年内可以使总销售量达到30000台。台。 例例3.3.求和：求和： )()(2121yyxx ) 1, 1, 0(yxx1, 1, 0yxx解解:当当 时时)()(2121yyxx )(1nynx yyyxxxnn11)11 (11)1 (nnnnyyyxxx1111)(1nynx 2(xx211()yynx)1ny+例例3.3.求和：求和： )()(2121yyxx )(1nynx ) 1, 0(yx例例4.4.求数列求数列1,(1+2)， （1+2+ ), ( 222221 )21n前前n項和。項和。 21aaSnna) 12() 12(2) 12(n222nn 222121)21(2nnnn解解:2221ka12k1212)12(1kk练习练习:128P1. , , 2. 3. 课堂小结：课堂小结：等比数列的前等比数列的前n項求和公式項求和公式: : )1()1(11)1(1qn