武汉理工线性代数课件第三章

1、X1X2X31X1X22x332x1X2X34先把第1个方程的-1-2倍分别加到第x1x2X312x2X343x23x36把第3个方程两边同乘-1/3并且和第2个方程换位置:第三章线性方程组本章包含两个内容：向量和线性方程组研究线性方程组的解是?线性代数?的最主要的任务，用矩阵方法来讨论线性方程组的解的情形和求解线性方程组，用向量表示线性方程组的 解和表达解之间的关系§1线性方程组定义3.1由m个方程n个未知量组成的线性方程组的一般形式:a1 Xa2Xa 22 X2a1nXna2nXnbi b2am1X1am2X2amnXnbm矩阵形式是：Axb其中矩阵a11a12a1nb1X1a2

2、1a22a2nb2X2Ab =Xam1am2amnbmXm分别称为系数矩阵，常数项矩阵和未知量矩阵,称Ab为增广矩阵，满足线性方程组的有序数组xnx2,人称为线性方程组的 解，线性方程组的全部解组成解集，求解的过程称为 解线性方程组.对方程进行适当变化而解不变，叫做同解变换.显然，以下三种变换是同解变换：(1) 交换两个方程的位置；(2) 用一个非零数同乘某个方程的两边；(3) 把一个方程乘以某个数加到另一个方程上2线性方程组的消元解法线性方程组的消元解法就是利用上述的三种同解变换，逐步消去未知量化为一元一次方程,得到这个方程中的未知量的解，再逐步回代得出其它未知量的解。也就是两个过程：消元和

3、回 代。观察下面的例子，体会同解变换和消元法：12，3个方程上去，消去2X1X2X31X2X3232X2X34再把第2个方程的2倍加到第3个方程上:去，消去x2X1X2X31X2X3243X30在中学时，我们一般从第3个方程得到x3回代到第2个方程得到X2，再把X2和X3回代到第1个方程中，得到Xi。现在我们把第3个方程乘1/3，再将其-1丨倍加到第1, 2个方程上去，捲 x21X22 5X30然后把第2个方程的-1倍加到第1个方程上去，得到X-I1x22 6X30以上的解法中，方程组1变化到4的过程是消元，后面 2个步骤是回代。无论是消元还 是回代，都只是未知量的系数和常数项参与了运算，未知

4、量本身并未改变；而且对方程组所作 的三种同解变换对应矩阵的三种行初等变换。因此解线性方程组相当于增广矩阵的行初等变换。通过对消元法解线性方程组的观察和分析可以写出每个过程对应的矩阵，我们必须建立以下的观念：线性方程组和增广矩阵一一对应，矩阵的每一行相当于一个方程；在变换的过程中，所有的矩阵都是等价的，每一个矩阵都对应一个线性方程组，这些方程组都是同解方程组也可以叫做等价方程组！消元：通过初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵；回代：通过初等行变换把阶梯形矩阵化为行最简形矩阵；解线性方程组只能用初等行变换，不可以用列变换！对增广矩阵 Ab作行初等变换，可以化为矩阵B :cl1C12C1 rC1 nd

5、10022C2rC2nd2a11厲2a1n b1a?1A b21a22a2n b2r00CrrCrndrBrA U0000dr 1am1am2amn bm000000 0000观察到dr 1 0方程组无解；dri0方程组有解。并且dr1 0R(A) r,R(A b) r 1，即 R(A)R(A b)；dr1 0R(A) R(Ab) r进一步地分析,当R(A)R(A b) r n时，方程组有唯一解；当 R(A) R(A b) r n 时,方程组含有n r个自由未知量xr 1, xn，可以任意取值，方程组的解有无穷多个。因此我们 得到下面的定理。定理 非齐次线性方程组宀/ b有解的充分必要条件是R

6、(A b) R(A)，并且R(Ab) R(A) n时有唯一解，R(A b) R(A) n时有无穷多解。定理3.2齐次线性方程组 Am nx 0有非零解的充分必要条件是R A n , Ax 0仅有零解的充分必要条件是R A n.推论1当m n时，齐次线性方程组 AmnX 0有非零解.这是因为当m n时，齐次线性方程组 Am nX 0的系数矩阵的秩一定小于 n.推论2当m n时，齐次线性方程组 AmnX 0有非零解的充要条件是A 0 ；仅有零解的充要条件是A 0。要清楚以上定理中的n是未知量的个数，m是方程的个数。但是判断解的情形总是根据矩阵 的秩而不是方程的个数或未知量的个数。3线性方程组的消元

7、解法步骤解非齐次线性方程组 AmnX b的步骤：(1) 写出Am nX b对应的增广矩阵(A b)；(2) R(A b) R(A)?假设不相等，得出无解的结论，假设相等就进行下一步；(3) 继续初等行变换把矩阵化为行最简形，R(A b) R(A) n时可直接写出它的唯一解,R(A b) R(A) n时，进行下一步；(4) 根据行最简形写出等价方程组，令其中的n r个自由未知量非首元所在列为任意常数：C|,C2, ,Cn r，并把其它未知量首元所在列用 G,Q, ,Cn r表示.增广矩阵对应原始方程组，阶梯形矩阵用于判断线性方程组有没有解和有多少解，行最简 形矩阵用于求解.解齐次线性方程组 Am

8、 nX 0的步骤：(1)写出Am nX 0对应的系数矩阵A ；R(A) n?假设R(A) n ,得出仅有零解的结论，假设R(A) r n进行下一步；(3)继续初等行变换把矩阵化为行最简形，写出等价方程组，令其中的n r个自由未知量非首元所在列为任意常数：c1,c2, , cn r，并把其它未知量首元所在列用g,c2,r表示.无论非齐次还是齐次线性方程，判断解的情形只需化为阶梯形矩阵，而求解必须化为行最 简形矩阵.例3.1解下面的线性方程组4x1 2x2 x323x1 x2 2x310421 232121338(Ab)312 1012312101130 80006c 11338231. 0101

9、134000611 x-i 3x28解对线性方程组的增广矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵:3，说明秩不相等，所以方程组无解得到 R(A) 2, R(Ab)例3.2解线性方程组2x1X23x333x-iX25x304x1X2X33X13x26X31解对增广矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵：2 1 3 3r3 r23 15 0 D r1 一(Ab)14 92128312 63136 1r2 r114 92bA06175r4r10231071511 361149242'12442023106175 13 £ 04620002921 1347 3 r 074 293 0290492124

10、0110004 1 1 3r1 r42 2319314 0010001000发现R(A) R(Ab) 3，说明有唯一解，因此继续初等行变换，化为行最简形矩阵:710 0 12* 42 亠 0 10 21 *00110 0 0 0 0得到解:X11X22X31k值时方程组的通解例3. 3 k为何值时，下面的齐次线性方程组有非零解？求最小5 k x-i 2x2 2x3 02x16 k x202xi (4 k)X305k22t2220 t1r3AA26k02t 10rrt22204 k20r2t 1r32t 1020t1 20t 122tA1 22G2>02-(t2t4)» 04(t

11、t 4)r3r22320t 11t0t 11 t解对方程组的系数矩阵作初等行变换，化为阶梯形矩阵.为了计算的方便，令5 k t，0 t 124(tt 4)130(t 9t)40或t3，即k2或 k2021 c1B042 -21 24000令!(t39t)0，得 t4线性方程组有非零解.当 k 2 时，t 3，A等价方程组：5或 k1 00 10 08时,1120R(A)23，齐次X1 X301门x2x302 2 3令自由未知量x3 c， c为任意常数，得到全部解:x1c1x2c2X3 c如果方程组的系数或常数项中含有未知参数，在对矩阵作初等行变换时，要注意运算的可一 一 2行性.在本例中，如果

12、不先换行，而作变换：r2r1使(2,1)元化为零，是不可以的，因为不能确定是否t 0作初等行变换，有时计算比拟难，如果方程的个数和未知量的个数相同时，可以克莱姆法那么，再用矩阵的初等行变换用行列式是否为零来判断解的情形和确定未知参数的值 消元法求出解本例可以采用这种克莱姆法那么和消元法结合的方式:5 k 2令 A 26 k2 0得t 0或t 3，即k 当k 2时，3 2A 2 42 02t2202 t 104 k20 t 12或k5 或 k 8 ；21 0 1A0r0 1 -220 0 0t39t记 5 k tXiX2X3得到方程组的解:c1 c2c3.2向量及其运算1向量的定义定义3.2 n

13、个有序的数a1,a2, ,an组成的数组称为 n维向量，n称为向量的 维数，这n个 数称为该向量的 n个分量，第i个数a,是第i个分量，每个分量都是实数的向量称为 实向量， 分量中有复数的向量称为复向量.本课程仅讨论实向量.向量可以写成一列或写成一行，分别称为列向量或行向量，记作：aia2、或(ai, a2, an)一个行向量的转置是一个列向量，一个列向量的转置是一个行向量 一个列行向量可以看成一个列行矩阵对于向量，我们有以下的说明：(1 )行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；(2 )行向量和列向量都按照矩阵的运算法那么进行运算；(3 )当没有明确指明是行向量还是列向量时，都当作列向量定义

14、3.3每个分量都是零的向量称为 零向量，记作0;将向量 的每个分量变成相反数得到的向 量称为 的负向量，记作有不同维数的零向量定义3.4假设干个维数相同的向量组成的集合称为向量组.线性方程组的一个解是一个向量，称为解向量，解的集合称为 解向量组向量组：1T(1,0, ,0), 2T(0,1,0),同维数的初始单位向量组(0,0,1)称为初始单位向量组，有不2向量的线性运算定义3.5当且仅当两个向量的维数相同且对应的分量相等时称这两个向量相等，记作:ai4a?b2即：假设有2 ,2，那么ai b (i 1,2,n)anbn下面我们定义向量的加法和数乘运算，暂时不作向量的乘法运算(1)加法a1b1

15、a1b1设有两个n维向量：a2与b,称向量a2b2为与和，记作:anbnanbn即：a1b1a2b2an bn数乘aikai设有n维向量a?kap和数k,称向量为数k与向量 的乘积，记作k ，即:ankankaika2kkan根据负向量和数乘运算的定义，我们得到向量的减法：a1 b|a2 b2an bn行向量的线性运算类似上述列向量的运算定义3.6向量的加法和数乘运算统称为线性运算既然向量可以看成列矩阵或行矩阵，那么向量的线性运算与矩阵的加法和数乘运算完全相 同，也就具有相同的算律，这里不再重复 3向量与矩阵、方程组的关系一个矩阵Am n的每一行元素可以构成一个向量，得到m个n维的行向量，称为

16、矩阵 An的行向量组.每一列元素可以构成一个向量，得到n个m维的列向量 1, 2, , n，称为矩阵Amn的列向量组用分块矩阵的观点看，矩阵珞n以列向量为子块：A ( 1 2n)，也可以以行向量为子块A ( i 2m)T.如果矩阵A ( 1 2n)是n阶方阵，那么它的行列式可以写成 |A | j 2 n .线性方程组它的每个未知量的系数组成一个列向量，得到(j 1,2,n)，常数项也组成一个 m维列向量1Xl2X2nXnn个m维列向量j(aij,a2j,2呵)丁，用向量的线性运算表示为：Sii xi812X2aln Xnbia2i X|玄22 X2a2n Xnb2am1X1am2X2am nX

17、nbm那么齐次线性方程组可表示为1X1 2X2nXn0在方程组中1, 2,n是未知量 X1, X2,xn的系数，而在向量的运算中，可以把例3.4向量12,1, 0,3,20, 2,3,5,31,5,3,1，求一个向量使得2 1 2 343成立.解先将所求向量用向量1 , 2,3表示出来，再作向量的线性运算 .由于2123431 2 124 3所以2 2,1,0,30,2, 3,541, 5,3,1520, 15,150,4, 3, 35例3.5向量2, a, 0 ,1, 0, b ,c, 5, 4，且0.求：a, b,c的值解2, a,01, 0, b c, 5, 41 c, a5, b 40

18、根据向量相等的定义1c 0, a 50, b 40a5, b4, c1Xi,X2, ,Xn看成是向量 1 , 2,n的系数这在向量关系的讨论中很重要§ 3.3向量组的线性相关性1线性组合线性组合研究一个向量与一个向量组的关系定义3.7对于给定的向量组成立，那么称向量1, 2 , n线性表示，等式k1 1 k2k1, k2, ,kn之间的关系。n和向量，如果存在一组数 k1, k2,kn n是向量组 1, 2, , n的一个线性组合，或者说向量 数k1, k2, ,kn称为组合系数。2kn n表达了向量组一般有两类问题：n和一组数k1, k2, ,kn，求向量n和向量，求一组数k1,k

19、2, ,kn.1,2, ,k11k22n和向量,kn使得()可以由向量组以及组数前一个是向量的线性运算问题，后一个是求线性组合的系数问题 可以认为()式是一个线性方程组，它以k1,k2, ,kn为未知量, 常数项，显然线性方程组的解就是组合系数。因此有 定理向量是向量组 量的矩阵的秩和以1 > 2 > 丨 R 1 2判断向量 是否是向量组 组是否有解及求解的步骤相同 表示法不唯一。.如何求组合系数呢？1, 2, n为系数，为n的一个线性组合的充分必要条件是以 为列向量的矩阵的秩相等，即：R 12n2, n的一个线性组合并求出组合系数，和判断线性方程1, 2, n为列向.如果方程组有

20、唯一解，表示法唯一；如果方程组有无穷多解，那么注意：求组合系数时，应把所有的向量写成列向量组成矩阵，并且作初等行变换，不可以 作列变换！定义3.8设有两个向量组：(A) 1, 2, , s, (B) 1, 2, , t，如果(A)组的每个向量都可 以由(B)组线性表示，称(A)可由 侣)线性表示；如果(A)与(B)可以互相表示，那么称 向量组(A) 与向量组(B)等价.等价向量组的性质： 自反性：每个向量组与自身等价；2 对称性：假设向量组(A)与向量组(B)等价，那么(B)与(A)等价; 传递性：假设向量组 设向量组(A)(A)与(B)等价，且向量组(B)与(C)等价，那么向量组(A)与(C

21、)等价. S可由向量组即：存在矩阵其中，A ( 数矩阵。更简单地说,k“ 1(kij )t s 使得BK2 , s), B矩阵方程 A阵。ktj,t线性表示，那么存在k1j, kj使得1,2, ,s(B)t)。称K为向量组(A)由向量组(B)线性表示的系BX有解，那么向量组 A由向量组B线性表示，其解X为表示矩例3.6问向量 8,2, 5, 9能否由向量组：131,1,1, 21,1, 1,3, 31,3, 1,7线性表示？假设能，写出其表示式。3118101一21132 ,7解1 ,2 ,3 ,01211152000013790000R 1 ,2,3,R1 , 2,3可由向量组 1, 2,

22、3线性表示，且有一 1 7 2 0 3。2 22线性相关与线性无关线性相关和线性无关研究一个向量组与零向量的关系定义3.9对于给定的向量组1, 2, , n，如果存在一组不全为零的数ki,k2, ,kn使得kn n 0成立，称向量组那么称1, 2,n线性相关；如果当且仅当k1 k2(3.3.2)kn0时(3.3.2)式成立,n线性无关.对于给定的向量组1, 2, , n，如何判断是否有一组不全为零的数k1,k2, , kn使k1 1 k2 2kn n 0呢？如何求出这组数呢？可以将(3.3.2)式看成一个齐次线性方程组，它以k1,k2,kn为未知量，1, 2, , n为系数，那么就变成了讨论齐

23、次线性方程组是否有非零解因此得到下面的定理：定理3.4向量组1, 2,n线性相关的充分必要条件是R 12nn，线性无关的充分必要条件是R 12nn.推论1 n个n维向量1,2, n线性相关的充分必要条件是12n0,线性无关的充分必要条件是1 2 n 0.推论2 n k(k N)个n维向量一定线性相关，即向量组中所含向量个数大于维数时必定线 性相关.根据上面的讨论，n个m维向量组成的向量组当m n时，一定线性相关;当m n时，可用行列式1 2 n是否为零判断其线性相关性;无论n和m哪个大，都可以用初等变换求秩来判断是否线性相关，与判断齐次线性方程 组是否有非零解的步骤相同.求线性关系式的一组系数

24、 k1,k2, ,kn，就是要求出相应的齐次线性方程组的任一组非零 解。下面是一些关于线性组合和线性相关的简单有用的结论： 一个零向量线性相关，一个非零向量线性无关； 含有零向量的向量组线性相关；两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例； 初始单位向量组线性无关； 任何向量可由初始单位组线性表示； 零向量是任何向量组的线性组合；向量组中的任何一个向量可以由该向量组线性表示定义3.10由向量组中的一局部向量组成的新向量组称为原向量组的局部组定理3.5 一个向量组线性无关，那么它的任何局部组线性无关；如果向量组的一个局部组线性相 关，那么原向量组线性相关例3.7证明：两个向量线性相关的充要条件是

25、对应分量成比例证明必要性：设向量a1, a2 ,an和d,b2, ,bn线性相关，即存在不全为零的数 k1,k2，使得k1k2 =0不妨设匕0，那么由k1k2 =0k2k1，即有ak2 .aibik1(i 1,2,n)成立，即对应分量比例.充分性：如果 ，对应分量比例成比例，就是存在数k使得ai kb(i 1,2,n)即kk 0记k, 1，k2k，那么存在不全为零的数 K, k2使得&k20即，线性相关。例3.8设向量组,2, 3线性无关，证明：向量组 1 2 2, 23, 1 2 3线性相关证明 证明向量线性相关，一般用定义或用矩阵的秩，也有用其它相关定理的。下面我们给出 两种常用方

26、法的证明过程，希望同学们掌握.(一 )用定义证明设有数k1, k2, k3使得3k31 2 30k1k302k1k20k22k3010 1其系数行列式21 00，根据克莱姆法那么，这个齐次线性方程组有非零解，即存在不全01 2为零的数k1, k2 ,k3使得k1 12 2k223k31230k312k22k330由于1, 2, 3线性无关，根据线性无关的定义上式成立的条件是2Kk1k2根据线性相关的定义，向量组1 2 2 ,23,12 3线性相关。(二)用矩阵的秩证明对向量组122 , 23,123组成的矩阵作初等变换1 1 2 2231235 '2( 23)231235 2C2(0

27、23123那么，R 1 2 2,23,123R 0231232 3所以，向量组 122 , 23,123线性相关例3.9设有向量组A：10,2,1,1 , 2 2, 1,0,1 , 31,0,1,0，向量组B15, 0, 2,1 , 25,3,4,2问向量组A是否线性相关?向量组B能否用向量组A线性表示？表示式是什么？解 对向量组人和B组成的矩阵进行初等行变换:02155210 0310124110 1232 2 a4r3r15110 10 10 20 1130 2 15216511 0 1A 4210 010 12021511012110 132010214 3010 22200115001

28、 1400113000 01001112010210011300002由此可知：R1233，向量组:A：123线性无关；231232152R 1示，表示式为3，所以1可以由向量组A：13线性表R 1性表示.因此，向量组例3.10 k为何值时,B向量组33，所以2不能由向量组A：A线性表示11,1,1,kT,21,1,k,1T,31,2,1,1T不能用向量组解对给出的向量组成的矩阵A进行初等行变换：11 1111112riA001A1231k10k 1B0k11i 2,3,4k 100(1)显然，k 1时，有一个三阶子式0010k1 0k120k100所以R B 3，即R1,2 ,33，那么1,

29、2,3线性无关；而k 1时，R B2，即R1,2,32，此时1 ,2,3 B作初等行变换，化为行最简形：111110ri1001001B000i 2,3,4000000000得到线性关系式：12030.3线性组合与线性相关有关定理定理3.6向量组1, 2, n线性相关的充分必要条件是1, 2, , n中至少有一个向量是其余n-1个向量的线性组合.定理3.7如果向量组1, 2, , n线性无关，添加一个向量后1, 2, , n,线性相关，那么可由1,2, n线性表示，且表示式唯一 定理3.8如果向量组(A) 1, 2, s可由向量组(B) 1, 2, t线性表示，且S t，那么向量组(A)线性相

30、关推论1如果向量组(A) 1, 2, S可由向量组(B) 1, 2, , t线性表示，且向量组(A)线性无关，那么s t.此推论即是上面定理的逆否命题.推论2如果两个向量组(A) 1, 2, , S与(B) 1, 2, , t可以互相表示，且向量组(A)和(B)都线性无关，那么 s t 即两个线性无关的等价向量组所含向量个数相同定理3.9矩阵A经过初等行变换化为 B，那么矩阵 A与B的行向量组等价；对应位置的列向 量局部组具有相同的线性相关性.也就是矩阵 A与B的行向量组可以互相表示；而在A与B中取相同列的向量，A中的几个向量与B中相同位置的几个向量，要么都线性相关，要么都线性无关为下一节求最

31、大无关组和求表示式提供了依据.定义3.11在m维向量组(A)的每个向量后面或者前面添加k个分量，得到m+k维的向量组(A'), 称(A')是(A)的加长向量组.定理3.10如果向量组线性无关那么其加长向量组也线性无关，如果加长向量组线性相关那么原 向量组也线性相关.§向量组的秩和最大线性无关组1最大无关组最大无关组研究的问题是：一个向量组中有没有一局部向量是线性无关的？最多有多少个 向量是线性无关的？定义3.12设 i2, ir是向量组!, 2, n中的r个向量r n，如果i1,i2,ir线性无关；(2)1,2,n可i2, ir由线性表示那么称ii2， , ir是向量

32、组 1, 2, , n的一个最大线性无关局部组，简称最大无关组 定义中条件(2)意味着每一个向量都可以用-,线性表示，可以将其改写为“其余向量可以用h , i2 , , ir线性表示 注意理解最大无关组的两个关键词：最大、线性无关只有一个零向量的向量组没有最大无关组根据定义可知，向量组与它的最大无关组等价，两个最大无关组等价 有了最大无关组，很多研究向量组的问题就变成研究它的最大无关组问题，研究两个向量 组的关系就变成研究它们的最大无关组之间的关系，例如：两个向量组等价相当于它们的最大 无关组等价最大无关组一般不唯一，但有下面的结论：定理3.11最大无关组所含向量个数相同 2向量组的秩定义3.

33、13 一个向量组的最大无关组所含向量的个数称为向量组的秩如果向量组(A)： 1, 2, , n的最大无关组中含有r个向量，那么向量组的秩为r，记作:RA r 或 R 1, 2, n r.规定：只有一个零向量的向量组的秩为零.为了更好地理解最大无关组和向量组的秩，假设R 1, 2, , n r,我们作以下说明：任何r-1个向量都不可能是向量组的最大无关组； 任何r+1个向量都是线性相关的； 任何含有r个向量的线性无关局部组都是最大无关组.定理3.12如果向量组(A)可以由向量组(B)线性表示，那么 R A R B . 推论 假设向量组(A)与向量组(B)等价，那么R A R B .3向量组的秩与

34、矩阵的秩的关系一般用定义求向量组的秩很困难，鉴于向量和矩阵的关系，我们希望找到向量组的秩与矩 阵的秩的关系定义3.14矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩定理3.13矩阵的行秩=矩阵的列秩=矩阵的秩.如果矩阵A的秩=r，那么A中至少有一个r阶子式不为零，这个子式所在的行和列的 r 个向量都是线性无关的.这个定理告诉我们一个求向量组的秩的方法一一初等变换求向量组的秩步骤：(1) 用向量组1, 2 , , n组成一个矩阵1 2 n ；(2) 对矩阵作初等变换，化为阶梯形矩阵；(3) 矩阵的秩就是向量组的秩.求秩的时候，向量在矩阵中写成行向量或列向量都可以但要一致，对矩

35、阵既可作初等行变换又可作初等列变换.如果需要求出一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示，那么建议把向量 写成列向量，对这样的矩阵只能作初等行变换！步骤：(1)把向量组1, 2, n中的向量写成列向量，组成一个矩阵(2) 对矩阵作初等行变换，化为行最简形矩阵；(3) 非零行行数首元个数就是向量组的秩，并且首元所在列对应的向量就是最大无关用最大无关组表小的表小式11315289例3.11向量：1,23J4，求一个最大无关组并把11131317组;(4)把非首元所在列的向量用首元所在列的向量表示，这个表示式就是把该列对应的向量其余向量用该最大无关组线性表示解用1,2,3,4做成矩阵，对其

36、进行初等行变换，化为行最简形矩阵11311131528925107714123411130223 A413174104481 -11311 0 217 r21卜0112r2*011 1232心00000 0 0044200000 0 00首元在第1，2列，所以1 , 2是一个最大无关组，首元以外有第3，4列，所以3,4可以用R 1，2,421 2 212b32 ,4312121qC3b23 -2311C2C41a232a2 1b 41a11 ,2表示，表示式为：3212a例3.12设向量组 13，1a解 1，2，3 ,43> 0 13*0123的秩为2,求参数a,b。12 a 23 3b

37、11312 a 2013 2a b 400 a 25 ba 2,b 5§线性方程组解的解构1齐次线性方程组解的结构1齐次线性方程组 Ax 0解的性质 如果w,V2是齐次线性方程组 Ax0的解，那么V1 V2也是它的解; 如果v是齐次线性方程组 Ax 0的解，k是任意实数，那么 k v也是它的解； 如果vz, ,Vs是齐次线性方程组 Ax 0的解，那么其线性组合匕 Vi + k2V2 +ks Vs也是它的解，其中ki, k2, ks是任意常数.实际上，当k1 k2 1, k3ks 0时，性质 即是性质 ，当k2ks 0时性质就是性质.这几条性质也说明了，齐次线性方程组如果有非零解，就有

38、无穷多个；找到一个解就可以 找到无穷多个.2 Ax 0的根底解系我们知道，当系数矩阵 珞.的秩R(A) n时，方程组Ax 0有非零解，其解向量组一定 线性相关个数大于维数！如果我们能求出它的最大无关组，记作：v1,v2, ,vs，那么最大无关组的任意线性组合 k1 v1 + k2 v2 +ks vs就是方程组的全部解.这句话包含两层意思：1k1v1+k2v2+ks vs是方程组的解；2任意一个解v都可以写成vv?, ,vs的线性组合形式没有其它形式的解由性质，第1条成立，由最大无关组的定义，第2条成立.因此求出解向量组的最大无关组就是求解的根本问题 定义3.15如果m,V2, ,Vs是齐次线性

39、方程组 Ax 0的非零解，且满足：(1) V1, V2, ,Vs线性无关；(2) 任意一个解都可以由 VV2, ,Vs线性表示那么称V1, V2, ,Vs是齐次线性方程组 Ax0的一个根底解系一个根底解系实际上就是解向量组的一个最大无关组如何求根底解系？定理3.14如果n元齐次线性方程组的系数矩阵A的秩R(A) r n，那么方程组的根底解系存在，且每个根底解系恰好含有n-r个解，同时方程组的每一个解都是根底解系的线性组合.根据本定理的证明过程见教材得知求根底解系的方法和过程：(1)写出系数矩阵，施以初等行变换化为阶梯形矩阵，假设R(A) r n，继续作初等行变换化为行最简形矩阵不妨设前r个向量

40、线性无关，那么首元位于第1r列，假设不是前r个向量做法相同：10bnb1,n ra11a12a1 na21Aa22a2nr01br1br ,n r00am1am2a mn00(2)写出等价方程组：b11xr 1b1,n rxnbr,n r xnXr 110 0(3)令自由未知量Xr 2依次取值为初始单位向量组：0J1 0,，得出其它未知Xn00 1量的值：bnb12b1,n rXrbr1, , ,br2br, n r(4)将所有未知量合写在一起，得到方程组的n-r个线性无关的解，即根底解系：bnb12b1,n rbr1br2br,n rv11,v20，vn r0010001Xr 1xr 2在上

41、述步骤(3)中，自由未知量r 2只要取值n-r个线性无关的向量就行，但一般是取初Xn始单位向量组，此时计算量最小几乎不用计算，表达最方便2非齐次线性方程组解的结构1非齐次 线性方程组 Ax b解的性质定义3.16当齐次线性方程组 Ax 0和非齐次线性方程组Ax b的系数矩阵相同时，称Ax 0为Ax b对应的齐次方程组或 导出组.性质 如果u是方程组Ax b的解，v是导出组Ax 0的解，那么u v也是方程组 Ax b的 解； 如果6,上都是方程组Ax b的解，那么 山 U2是其导出组的解这两条性质说明方程组 Ax b的解和它的导出组的解之间有关系，那么Ax b的全部解与导出组的根底解系有着怎样的

42、关系呢？2线性方程组 Ax b的全部解定理3.15 对于n元非齐次线性方程组 Ax的一个特解，而Vi,v2, vn r是导出组Ax示为：b，如果有 R(A) R( A b) r<n,且 u0是 Ax b0的一个根底解系，那么方程组Ax b的全部解表u U0GViC2 V2Cn rVn r定理告诉我们求方程组的全部解，只需要求出一个特解和导出组的根底解系我们已经学会了求根底解系，剩下的问题是求一个特解其实都可以用矩阵的初等行变换.(1) 写出增广矩阵，并施以初等行变换化为阶梯形矩阵，假设R(A) R(Ab) r，继续作初等行变换化为行最简形矩阵：10 bngn r Ci01br 1br,n

43、 r cr0000(2) 写出等价方程组：3线性方程组关于解的等价命题矩阵的秩、向量组的线性关系和方程组是否有解及有多少个解之间有着密切的联系 非齐次线性方程组矩阵形式 Amnx b， 等价命题：非齐次线性方程组 Amnx b有解；增广矩阵与系数矩阵的秩相等，即向量组向量形式1X12X2nXn如果，以下命题都是1 > 2 >向量 可以由1,2,两个向量组的秩相同，即1)n线性表示;R(A b) R(A)；n等价；1 , 2,Am n Xn >向量形式1X1如果齐次线性方程组矩阵形式都是等价命题：齐次线性方程组Am nX 0有非零解； 系数矩阵的秩小于未知量的个数，即 n线性相关； n中至少有一个向量可以由其余向量线性表示0,2X2nXn0,以下命题x1C1 b11xr 1b1,n rxnX rCrb r11br ,nrXn假设rn , 写出它的唯一-解X