正方形中三垂直结构

1、正方形专题一正方形中的三垂直结构一【知识精析】1等腰直角三角形的特征： 边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等都是 450 边之间的关系：任意一边长，可得到其它两边长。2、等腰直角三角形与全等三角形：以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。熟悉以下根本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。1 以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形三垂直模型(1) (2) 2以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形:拓展：双三垂直 ADMHA CBE为等腰直角三角形，F为A

2、B上一动点，假设 DF丄EF那么DF=EF.2假设 ADCD CBE为等腰直角三角形，F为AB上一动点，假设 DF=EF那么DF丄EF.例1 如图，在正方形 ABCD中.1假设点E、F分别在AB AD上，且AE=DF试判断DE与CF的数量及位置关系，并说 明理由；2假设P、Q M N是正方形 ABCD各边上的点，PQ与MN相交，且 PQ=MN问PQL MN成 立吗？为什么？A例2.如图，直线 MN不与正方形的边相交且经过正方形 MN于 N, BRL MN于 R.1求证： ADMA DCN2求证：MN=AM+CN3试猜测BR与MN的数量关系，并证明你的猜测.ABCD的顶点 D, AM! MN于

3、M CNL0C例3如图，四边形 ABCD是正方形，直线l i, 12, 13分别通过A, B, C三点，且l 1 / 12 / l 3,假设1 i与1 2的距离为5, 12与1 3的距离为7,那么正方形ABCD的面积等于C例4.如图在平面直角坐标系中正方形OABC的边OC, OA分别在x轴正半轴上和y轴的负半轴上，点B a,b在第四象限且满足 b a 22 a 2 .1求点B的坐标；2，E,F为OC,OA上的动点，连接 BE , CF交于M点，满足/ OEF=45 °，是否存在点E,F，使得BE丄CF?假设存在，求出 E,F的坐标；假设不存在，请说明理由；3F在线段 OA上，连 BF

4、，作OM丄BF于M , AN丄BF于N，当F在线段 OA上运动 时不与O、A重合，的值是否变化假设变化，求出变化的范围；假设不变，求BN其值.EC、0J JTFA片例5如图，直线AB交x轴正半轴于点Aa, 0，交y轴正半轴于点 B0, b，且a满足 a 4 + |4 - b|=01求A、B两点的坐标；2D为OA的中点，连接 BD过点O作OE! BD于F,交AB于E,求证/ BDOM EDA3如图，P为x轴上A点右侧任意一点, 线MA交y轴于点Q当点P在x轴上运动时: 值；假设变化，求线段 OQ的取值范围.以 BP为边作等腰 Rt PBM 其中PB=PM直线段OQ的长是否发生变化？假设不变，求其

5、例题6、1如图，在正方形 ABCD中，E是AD的中点，BD与CE交于F点，求证:AF 丄 BE。2、正方形 ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN丄DM且交/ CBE 的平分线于N。1求证：MD = MN ;2假设将上述条件中的“M是AB的中点改为“M是AB上任意一点，其余条件不变，那么结论“MD= MN还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。第1题图第2题图1第2题图2例7、如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B ,直角顶点P在射线AC上移动，另一边交 DC于Q.1如图1,当点Q在DC边上时，猜测并写出PB与PQ所满足的数量关

6、系；并加以证明；2如图2,当点Q落在DC的延长线上时，猜测并写出 PB与PQ满足的数量关系，请证 明你的猜测.例8.如图1，四边形ABCD为正方形，E在CD上，/ DAE的平分线交 CD于F, BG丄AF 于G ,交AE于H .1如图 1,Z DEA=60，求证：AH=DF ;2如图2, E是线段CD上不与C、D重合任一点，请问：AH与DF有何数量关系并证明你的结论；3如图3, E是线段DC延长线上一点，假设 F是厶ADE中与/ DAE相邻的外角平分线 与CD的交点，其它条件不变，请判断 AH与DF的数量关系画图，直接写出结论，不需 证明.例9.操作，将一把含45°的直三角尺放在边长

7、为 1的正方形ABCDh，并使它的直角顶点 P在对角线AC上滑行，直角的一边始终经过点B,另一边与射线 DC相交于点Q。探究：设A、P两点间的距离为x。1当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的关系？试证明你观察得到的 结论；2当点Q在边CD上时，设四边形 PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式。X值；如果不可能，请说明理由3当点P在线段AC上滑行时， PCQ是否可能成为等腰三角形，如果可能，指出所有能使 PCQ成为等腰三角形的点 Q的位置，并求出相应的题目中的图形形状大小都相同，供操作用课堂练习1、如图，在正方形 ABCD中，E是AD的中点，BD与CE交于F点，求证：AF丄B

8、E。2、正方形 ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN丄DM且交/ CBE 的平分线于N。1求证：MD = MN ;2假设将上述条件中的 “M是AB的中点改为“M是AB上任意一点，其余条件不变，那么结论“MD= MN还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。第1题图第2题图1第2题图23、如图，ABCD是正方形，P是对角线上的一点， 引PE丄BC于E, PF丄DC于F。求证:1AP = EF; 2AP 丄EF。4、如图1，在正方形 ABCD中，E、F分别是边 AD、DC上的点，且 AF丄BE.1求证：AF=BE;2如图2,在正方形 ABCD中，M、N、P、Q分别是边 AB、BC、CD、DA上的点，且MP丄NQ . MP与NQ是否相等？并说明理由.5、如图，正方形 ABCD的对角线 AC、BD相交于点 0,E是AC上一点，过A作AG丄EB于G , AG交BD于点F,那么0E = OF,对上述命题，假设点E在AC的延长线上，AG丄EB,“0E交EB的延长线于点 G , AG的延长线交DB的延长线于点F,