正弦函数余弦函数的图象

1、正弦函数、余弦函数的图象【自主学习】【学习目标】1、 理解利用单位圆中的三角函数线作出y=sinx,xR的图象的方法，明确图象的形状;2、理解正弦曲线与余弦曲线之间的关系，理解用正弦曲线平移为余弦曲线的方法；3、掌握“五点法，会用“五点法作一个周期内的正弦曲线与余弦曲线；4、理解三角函数图象的平移变换、对称变换，能利用函数图象的平移变换、对称变换作出 简单三角函数图象【教材导析】、情景导入 情景1：回忆数学1中函数概念，以及研究函数的一般方法般方法是：根据解析式确定函数的图象，再结合函数图象探究其定义域、研究函数的值域与最值、单调性、奇偶性、零点等性质.那么摆中漏下的沙子将在木板上显示出振情景

2、2:心电图是检查心脏情况的一个重要方法.用心电图仪可以描出类似以下图的“心电图，医生过观察心电图就可以了解测试者心跳是否有 节律的工作过程.采用类似方法研究简谐运动， 我们也可以设 法把振子在各个时刻的运动情况记录下来， 得到 一张运动图：阅读教材P30，尝试做一个盛沙的锥摆，让其摆动，同时在下边匀速拉动一块木板，动的图象.这个图象与正弦函数或余弦函数的图象相关2 u/vm二、教材导读1. 正弦函数与余弦函数的定义在弧度制下，角的集合与实数集合R之间建立起一一对应的关系，而一个确定的角对应唯一的一个正弦或余弦值 .这样，任给一个实数 x，有唯一确定的值sinx 或cosx 与之对应.由这个对应

3、法那么确定的函数y =si nx或y = cosx叫做正弦函数或余弦函数，其定义域为R.2. 正弦函数的图象阅读教材P31，理解利用单位圆中的三角函数线作正弦函数图象的方法第一步：在直角坐标系的 x轴上任取一点 01 ,以Oi为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n这里n=12等份.把x轴上从0到2 n这一段分成n这里n=12等份.第二步：在单位圆中画出对应于角0,6 ,2 n的正弦线正弦线等价于 列23表.把角x的正弦线向右平行移动，使 得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合， 那么正弦线的终点就是正弦函数图象上的点等价于描点.第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得

4、到正弦函数 2 n的图象.第四步：根据公式一及正弦函数的定义知其图象“周而复始地重复，II*. 2 Hly=sinx , x 0,故 y =sin x, x 2 k二,2( k 1)二,k Z,k = 0 的图象与 y = sin x ,x 0 , 2 n图象形状完全一致，于是将 y=sinx , x 0 , 2 n的图象向左、右平移每次2二个单位，就得到y =sin x, x R 的图象.，-Z丿O 12卫-223JI2Ay观察上图知：y =s inx , xd0,2皿在图像上起关键作用的点有一下5个：0, 0,丄,1,22利用“五点法作正弦函数y二si nx的图象二,0 , 一，-1 ,

5、2二0，只要这5个点确定了，函2数y =sin x在x 0,2二的图像就根本确定.因此，在 精度要求不太高如作草图时，我们可先作出这5 个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来就得到其简图.这种作图法称为“五点法，适用于作正弦函数、余弦函数的图像如以下图仿照平移法，可以画出y = sinx,xR的图象.3.余弦函数的图象1 我们可以仿照正弦函数图象的作法利用单位圆知的三角函数线作余弦函数的图象略.2 利用正弦函数图象和平移变换作余弦函数y=cosx图像由 y =cosx =sinx x = R 知：1 y =cosx x 三 R 和y =s i w x三R 是同一函数；2正弦曲线y =sin x

6、x三R 向左平移二个单位就得到余弦函数y二COSX的图像如图23利用五点法作余弦函数 y =cosx的图像.观察上图知：y =cosx，xW0,2n在图像上起关键作用的点有一下5个：0,1，为，23 二，-1，,0，2二，1，只要这5个点确定了，函数2y =cosx在x. 0,2二的图像就根本确定.因此，在精度要求 不太高如作草图时，我们可先作出这 5个关键点，再用 光滑曲线将它们连接起来 就得到其简图.仿照平移法，可以画出y=cosx, xR的图象.4.作图方法比拟正弦函数和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线1 禾9用单位圆中三角函数线平移作图法的优点是精度较高，但比拟麻烦，以后几乎不

7、要 此法作图.2 五点法的优点是简单快捷，缺点是精确度不高.以后我们作图主要是利用五点法，需多 加练习，尤其是要熟记正弦函数图象与余弦函数图象各自对应哪五个特殊点3利用图象变换作图需厘清是平移变换还是对称变换等，也是以后作图、识图的根本工 具/、【课堂点金】【重难点突破】1. 三角函数作图例1.教材F32例1画出以下函数的简图：1 y =1 sin x, x 0,2 二；2 y _ - cosx, x 0,2 二.【解析】1方法一五点法：按五个关键点列表：x0312313兀22兀y12121描点并将它们用光滑曲线连结起来，得到其图象如下:方法二平移法：作出 y =sinx,x 0,2二的图象，

8、将其向上平移1个单位就得到函数y =1 - sin x, x 0,2 二的图象如图2方法一五点法：按五个关键点列表：x0ji23兀22兀y-1010-1方法二对称变换：作出函数 y =cosx, 0,2二的图象，再作出它关于 x轴对称的图 象，就得到函数 y = -cosx, x 0,2二的图象.【评析】1五点法是以后我们作正弦函数、余弦函数图象的根本方法，需熟练掌握；2 第1小题利用平移变换法那么作图，其一般结论是：y = f x aa = 0的图象是 由y = f x的图象向左a 0或向右a 0平移| a |单位而得；y = f x bb = 0 的图象是由y二f x的图象向上b 0或向下

9、b 0 平移| b |单位而得；3 第2小题利用对称变换法那么作图，其一般结论是：y= f x与y =fx的图象 关于x轴对称【变式1】作出函数y = 2 - sin x0 _ x _ 2二的图象【解析】方法一五点法：按五个关键点列表：x02竺22兀y21232描点并将它们用光滑曲线连结起来，得到其图象如下：方法二(图象变换法)：作出 y =sinx,0,2二的图象，作其关于 x轴对称的图象，得到y二-sin x的图象，再将其向上平移2个单位，就得到y = 2 -sin x(0 _ x _ 2 二)的图象(如图).2. 认识三角函数图象的平移变换与对称变换例2.从图象变换角度说明函数 y =

10、_COS(x )的图象2与y =sin x的图象之间的关系.【解析】先作出函数y =COSX的图象，将其向左平移 一个单位得到y=COS(x一)的图象,2 2再将其关于x对称，得到函数y - -cos(x )的图象，它与y = sinx的图象重合.= cos(x+J2事实上，根据诱导公式知y = -cos(x ) = _(-sin x) =sin x.2【评析】三角函数图象变换非常丰富，理解不同的三角函数结构对应的图象变换，尤其是要 注意函数结构之间的内在关系3兀y = sin(x )和y二cosx的图象，并2【变式2】(教材p4?练习?第2题)想一想函数 在同一坐标系中作出它们的图象 .【解

11、析】个单位而得，所得图象与3兀y =sin(x-)是由y二sinx的图象向右平移21x x、* 丁-iy =cosx的图象重合(如图)事实上：3兀nny -sin(x) - sin( x)-2 )-sin(x) - cosx .222【教材挖掘】直线y = x与正弦曲线y =sinx有几个交点?个交占I八、直线y = x在正弦曲线【解析】由于当0 :：: x【评析】此题是易错题，由于画图的随意性容易错答为 3个交点.【总结提升】通过本课学习，检查是否达成以下学习目标：1. 掌握并能熟练作出正弦曲线和余弦曲线；2. 掌握五点法；3. 理解函数图象变换与三角变换之间的内在联系【三阶评价】【根底测评

12、】1 要得到函数y =sinx的图象，只需将函数y = cos(x )的图象()3A .向右平移一个单位6C.向左平移一个单位3B .向右平移D .向左平移匸个单位二个单位63T【解析】y =si nx=cos( x2z 兀r/ H x JI _)5(-?)5(气)石，应选 A .2. (1)在同一坐标系下作出 y =sinx和y二cosx的图象.(2)根据正弦曲线和余弦曲线写出求函数y二sin x和y二cosx的零点的集合【解析】(1 )如以下图：(2)如图知，函数 y二si nx的零点的集合为x|x二k二，Z，函数y二cosx的零点的集合为x | x 二 k , k Z.23. 用五点法作

13、图：3 二 1(1) y =sin x , x ,2 22 y =cosx , x 三，-2 2描点并将它们用光滑曲线连结起来，得到其图象如下:x20312713兀2y010-102按五个关键点列表:描点并将它们用光滑曲线连结起来，得到其图象如下:【解析】1方法一五点法：按五个关键点列表:x710JI2713兀2y-1010-1二 sin x，1个单位，所得y 二 1 -cos2xitsin2(x )即4【能力提升】一、选择题1. 函数y=1+sinx， x：=0,2二的图象与直线y = 1的交点个数有A.1B.2C.3D.0【答案】C2. 函数fx =sinx-cosx，0,2二的零点的个数

14、是A.1B.2C.3D.0【解析】函数fx二si nx-cosx， x 0,2二的零点的个数就是函数y0,2二和y =cosx，0,2二的交点个数，作出图象知选 B.n3. 2021山东改编将函数y =sin 2x的图象向左平移一个单位，再向上平移4图象的函数解析式是.A. y =cos2xB. y =1 cos2x C. y = 1 sin2x D.4n【解析】将函数y =si n2x的图象向左平移一个单位,得到函数y二4y=Sin(2X 2COS2X的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y =1 cos2x,应选 B.【解析】当Ox 时，y = tanxcosx=sinx，排除

15、B、D；当 x ：二时2 2y = -tanx cosx 二-sin x，排除 A，应选 C.二、填空题5. 用五点法作函数 y=1-cosx(二_ x _ 3二)的图象时，应取的五个关键点是 .宀.3兀5兀【答案】(二，2),(,1),(2 二,0),(,1),(3 二，2).2 26. 函数 y = cosx -1的零点集合是 .【解析】 函数y =cosx1的零点就是函数 y cosx和y = 1的交点的横坐标，观察余弦曲线知，所求为x|x=2k;kZ.7. 函数y = a sin x的图象向左平移 b (b 0)个单位后与函数 y =1 cosx的图象重合，那么实数a=； b的一个可能

16、取值是.【解析】易知a=1，b的可能取值是 ，上等(事实上，b=2k,kN).2 2 2三、解答题38. 确定函数f(x)=si nx，x0,2二的图象与直线g(x)的交点个数，并说明理由2【解析】方法一：用五点法作出f(x)=1 sinx，0,2二的图象如下，观察知它们一共有2个交点.3方法二：函数f (x) =1 si nx，x0,2二的图象与直线g(x)=21的交点个数等价于函数F ( x)二f ( x)g( x)= si nx-在区间211x 0, 2： 的零点个数.令sin x0二sin x，知其在22x 0,2二上有2个零点，故它们有2个交点.【评析】研究函数，一般都要先研究它的图象，再从图象中可以很直观地观察出它的性质9.观察正弦曲线和余弦曲线，在空格内先作图，再填表：表一：函数y =sin x, xw R图像1rx