椭圆的解题方法和技巧

1、椭圆的解题方法和技巧安徽省宿州市褚兰中学 海平一、椭圆的定义的应用椭圆的定义是用椭圆上的点到焦点的距离来描述的， 因此在解题中凡 涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先想到用定义求解，常会有事半 功倍之效。例1 口钦；的三边也、c成等差数列且满足两点的坐标分别是。求顶点*的轨迹。分析：数列与解析几何相联系，往往构成综合性较大的题目，历来 是高考考查的热点之一。解析：丁仪、血、亡成等差数列，二笳=，即刀占匚卜屈+阻| ,又|旳=2,.|血田网=4。a d根据椭圆的定义，易得点的轨迹方程为二。又匕，即|眈| = |朋|,.一忖；“心心。 ,OH h _ 故点占的轨迹是椭圆的一半，方程为4 了 兀小。又

2、当“-三时, 点£、2?、在同一条直线上，不能构成三角形，.。=1点的轨迹方程为三_八丨'' -1：。评注：该例是先由条件找到动点所满足的几何关系， 寻找出满足椭 圆定义的条件，然后确定椭圆的方程。解题时，易忽略这一条件, 因此易漏掉这一限制；由于、丄、三点构成三角形，故应剔 除使-、厂、共线的点:。例2、椭圆16 12 上一点尸到两焦点用、也的距离之差为2,试判 断吐FF屈的形状。分析：由椭圆定义知，I尸用与尸码I的和为定值，且二者之差为题设条 件，故可求出2F邑的两边。解析：由I环两R两两匸，解得11 = 5411 = 3。又I開"，故满足|碍J朋肉。.

3、 AF耳忑为直角三角形。三、利用向量解决椭圆问题 几何中突出向量的工具作用成为高考命题的新亮点，向量本身具有“数与“形的双重身份，常把向量的代数式转化为坐标表示或利用其几何关系求解.例4、最值问题2设椭圆方程为X2 乂 1,过点M 0,1的直线I交椭圆于A B两点，O是坐标原点,4点P满足OP -(OA OB),点N的坐标为(-,丄).当I绕点M旋转时，2 2 2求：1动点P的轨迹方程；2 | NP |的最大值与最小值.解析：1直线I过点M 0,1 ,当斜率存在时，设其斜率为k,那么I的方程为y kx 1.记A(X1, y1), B(X2, y2),kx 1x2I 1,得(4k2)x242kx

4、 30,所以2k4 k2y1y284 k2(4吕,k?)那么 OP 1(OA OB) (3,3)2 2 2设点P的坐标为X, y,贝V,消去k得4x2 y2 y 0.当斜率不存在时，AB的中点为原点 0,0，也满足上述方程所以点P的轨迹方程为4x2 y2 y 0.2由点P的轨迹方程知x2丄，即71216所以 |NP|2 (x £)2 (y )23(x )22 2 6故当x1时，|NP|取得最大值为 J?2(0 1)2 启 x)2 y2,2整理得y21(x0).32所以点C的轨迹方程为x y21(x0)3 ；6 6当x 1时，NP |取得最小值为1.44评注：由向量作为载体的解析几何问

5、题一要利用向量的几何意义，二要熟悉向量的坐标运算.而与椭圆有关的求最值问题那么常与求函数 的值域相联系.例5、参数范围问题点G是 ABC的重心，A0，1, B 0,1，在x轴上有一点M，满足|MA I MC |，GM ABR.1求点C的轨迹方程；2假设斜率为k的直线I与点C的轨迹交于不同的两点P、Q，且满足| AP AQ|，试求k的取值解析：1设C(x, y)，G为ABC的重心，那么G(-律). p p3 3 因为 GM AB( R),所以 GM II AB,而点M在x轴上，贝V M (-,0)_r _r3由 |MA |MC |,得2当k 0时，I与椭圆C有两个不同的交点P、Q,由椭圆的对称性

6、知|AP| |AQ|.当k 0时，可设I的方程为y kX2代入1 y21,整理得，32 2 2 1 3k x 6kmx 3m10,因为直线I与椭圆交于不同的两点， 所以即1 3k设 PX-|,(6 km)24(1 3k2)2 2 m0, *m,yi)，Qg, y2),3(m21)0,设 P(x1,y)那么 XiX2Q(X2, y2),6km k，X1X23(m21 3k2 那么PQ中点N(X0, y。)的坐标为X0 3km.巨，工kX0 又|AP AQ|,所以AN11 3k23km1 3k2所以k kANkXiX22mIkJ，PQ,1,得 1 3k2得m 2所以k 1,0代入*得k21,U 0

7、,1 .综合得，k的取值范围 是1,1 评注：解决参数的取值范围问题常用的方法有两种：不等式组求解法：根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式组，通过解不等式组得出参数的取值范围；函数值域求解法：把所讨论 的参数表示为有关某个变量的函数，通过讨论函数的值域求参数的变 化范围.评注：由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作焦点三角形。利用焦点三角形能有意识地考查定义、三角形正余弦定理、内角 和定理及面积公式能否灵活运用。二、利用待定系数法确定椭圆的标准方程。例3、椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点rJ6,i,巳73,72,求椭圆的方程.【解析】设椭圆方程为 mx* 2 ny2 1m >0,n >0 且 mn.T椭圆经过R , P2点，.R , P2点坐标适合椭圆方程，那么6m+n=1，3m+2n=1，两式联立，解得 m=丄，n=-.932 2二所求椭圆方程为-J 193评注：运用待定系数